1.等边三角形的性质
等边三角形的三个角都，并且
每一个角都等于。

1.相等 $60°$

【分析】
解题时可结合已学的三角形相关性质推导：首先等边三角形三条边全部相等，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出三个内角相等；再结合三角形内角和为180°的定理，就能算出每个内角的具体度数。
【解析】
1. 推导三个角的关系：等边三角形的三条边都相等，由“等边对等角”可知，三条边对应的三个内角都相等；
2. 计算单个角的度数：已知三角形内角和为180°，三个角大小相等，因此每个角的度数为$180°÷3=60°$。
【答案】
相等；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考察题，重点考查对等边三角形核心性质的记忆与简单推导，是等边三角形相关题型的入门考点，需牢固掌握该基础性质。
【难度系数】
0.9

2.等边三角形的判定
（1）三边都的三角形是等边三角形.
（2）三个角都的三角形是等边三角形.
（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

2.(1)相等 (2)相等 (3)$60°$

【分析】
本题考查等边三角形的三个判定定理，可分别从边、角、等腰三角形加特殊角三个维度思考作答：①从定义出发，等边三角形本质是特殊的三边相等的三角形；②从角的特征出发，结合三角形内角和推导三个角相等时的三角形特征；③结合等腰三角形两底角相等的性质，推导有一个60°角的等腰三角形的内角特征，即可得出对应结论。
【解析】
(1) 根据等边三角形的定义，三边都相等的三角形是等边三角形，因此此处填“相等”；
(2) 三角形内角和为$180°$，若三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，满足等边三角形的角的特征，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，此处填“相等”；
(3) 等腰三角形的两个底角相等，若等腰三角形有一个角是$60°$：若该角为顶角，则两个底角均为$(180°-60°)÷2=60°$；若该角为底角，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个角都相等，为等边三角形，因此此处填$60°$。
【答案】
(1)相等 (2)相等 (3)$60°$
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对等边三角形判定规则的识记与理解，掌握不同分类下的判定依据是解题的关键，是等边三角形相关知识的核心基础考点。
【难度系数】
0.9

典例 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$∠ 1=∠ 2=∠ 3$，求$∠ BEC$的度数.

规律方法 (1)已知三条边之间的关系，则选用定义进行判定.
(2)已知三个角之间的关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定.
(3)边角综合，先说明这个三角形是等腰三角形，再说明有一个角等于$60°$.

解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°，即∠3 + ∠BCE = 60°。
又∵ ∠2 = ∠3，
∴ ∠2 + ∠BCE = 60°。
在△BEC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BEC = 180° - (∠2 + ∠BCE) = 180° - 60° = 120°。
∴ ∠BEC的度数为120°。

【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都为60°，由此可得∠ACB=60°，即∠3 + ∠BCE = 60°。再结合已知条件∠2=∠3，通过等量代换可得到∠2 + ∠BCE = 60°。最后要求∠BEC，利用三角形内角和为180°的性质，在△BEC中用180°减去另外两个内角的和即可求出结果。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB = 60°，即∠3 + ∠BCE = 60°。
又
∵ ∠2 = ∠3，
∴ ∠2 + ∠BCE = 60°。
在△BEC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BEC = 180° - (∠2 + ∠BCE) = 180° - 60° = 120°。
【答案】
$120°$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形性质与三角形内角和定理的基础综合应用题，解题核心是利用已知的等角条件完成角的等量代换，求出所求三角形中两个未知内角的和，进而求出目标角的度数，是等边三角形相关的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图，
△ABC是等边三角形，
BD⊥AC，AE⊥BC，垂足
分别为D，E，连接DE.
(1)若BE＝6，求AB的长.
(2)求证：△CDE是等边三角形.

典例解析
典例
解 ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝
BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝
60°. ∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠BAC－∠1＝∠ABC－∠2＝
∠BCA－∠3，
即∠CAF＝∠ABD＝∠BCE.
∵在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}∠1＝∠2，\\AB＝BC，\\∠ABD＝∠BCE，\end{array} $
∴△ABD≌△BCE(ASA)，∴AD＝
BE，BD＝CE.
同理△BCE≌△CAF，△ABD≌
△CAF，
∴AD＝BE＝CF，BD＝CE＝AF，
∴AD－AF＝BE－BD＝CF－CE，
即FD＝DE＝EF.
∴△DEF是等边三角形.
∴∠FED＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠FED＝180°－
60°＝120°.

(1)解
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC.
∵AE⊥BC,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB,
∴AB=2BE=2×6=12.
(2)证明
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC,∠C=60°.
∵BD⊥AC,AE⊥BC,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC,CD=$\frac{1}{2}$AC,
∴CE=CD,
即△CED 是等腰三角形.
又∠C=60°,
∴△CDE 是等边三角形.

【分析】
(1) 求解AB的长时，首先结合等边三角形三边相等的性质，可知AB=BC；再由AE是等边三角形BC边上的高，根据等边三角形“三线合一”的性质可得E是BC中点，即BE为BC的一半，也等于AB的一半，代入BE的数值即可求出AB。
(2) 证明△CDE是等边三角形时，可利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理推导：首先由等边三角形的性质得AC=BC，∠C=60°；再结合BD、AE分别是AC、BC边上的高，利用三线合一可得D、E分别是AC、BC的中点，推出CD=CE，即△CDE是等腰三角形，结合∠C=60°即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC。
∵AE⊥BC，
∴E为BC的中点，即$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$，
∴$AB=2BE=2×6=12$。
(2) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠C=60°。
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴D为AC的中点，E为BC的中点，
∴$CE=\frac{1}{2}BC$，$CD=\frac{1}{2}AC$，
∴CE=CD，即△CDE是等腰三角形。
又
∵∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形。
【答案】
(1) AB的长为12；
(2) △CDE是等边三角形，证明如上。
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 等边三角形的判定
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于等边三角形性质与判定的基础应用题，解题核心是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，以及“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定方法，理清线段间的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8