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4.利用直尺和圆规作图:已知等腰三角形的底边长为a,底边上的中线长为b,求作这个等腰三角形.
答案
解 如图
.(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=b.
(4)连接AC,CB,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
解析
【分析】
解决本题需结合等腰三角形“三线合一”的性质推导作图思路：等腰三角形底边上的中线同时是底边的垂直平分线，因此等腰三角形的顶点一定在底边的垂直平分线上，且顶点到底边中点的距离等于底边上的中线长b。据此可按“作底边→作底边的垂直平分线→确定顶点→连接三边”的顺序完成作图。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺和圆规作线段AB，使AB的长度等于已知线段a；
2. 作线段AB的垂直平分线MN，MN与AB交于点D，点D就是AB的中点；
3. 在垂直平分线MN上截取线段DC，使DC的长度等于已知线段b，得到点C；
4. 连接AC、BC，得到的△ABC就是所求作的等腰三角形。
【答案】
解 如图.
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=b.
(4)连接AC,CB,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形三线合一；垂直平分线尺规作图；作线段等于已知线段
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，核心考查等腰三角形性质与基本尺规作图操作的结合，解题关键是利用三线合一的性质快速定位等腰三角形顶点的位置，需熟练掌握各类基本尺规作图的操作规范。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合等腰三角形“三线合一”的性质推导作图思路：等腰三角形底边上的中线同时是底边的垂直平分线，因此等腰三角形的顶点一定在底边的垂直平分线上，且顶点到底边中点的距离等于底边上的中线长b。据此可按“作底边→作底边的垂直平分线→确定顶点→连接三边”的顺序完成作图。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺和圆规作线段AB，使AB的长度等于已知线段a；
2. 作线段AB的垂直平分线MN，MN与AB交于点D，点D就是AB的中点；
3. 在垂直平分线MN上截取线段DC，使DC的长度等于已知线段b，得到点C；
4. 连接AC、BC，得到的△ABC就是所求作的等腰三角形。
【答案】
解 如图
.(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使DC=b.
(4)连接AC,CB,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形三线合一；垂直平分线尺规作图；作线段等于已知线段
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，核心考查等腰三角形性质与基本尺规作图操作的结合，解题关键是利用三线合一的性质快速定位等腰三角形顶点的位置，需熟练掌握各类基本尺规作图的操作规范。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$∠ B = ∠ C = 36°$，$∠ ADE = ∠ AED = 72°$，则图中的等腰三角形的个数为(
A.3
B.4
C.5
D.6
D
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
D 解析
∵∠B = ∠C = 36°, ∠ADE=∠AED=72°,
∴△ABC 和△ADE 是等腰三角形.
∵∠B=36°,∠ADE=72°,
∴∠BAD=36°,
∴AD=BD,
∴△ABD 是等腰三角形.
同理,△AEC 是等腰三角形.
∵∠ADE=∠AED=72°,
∴∠DAE=36°,
∴∠CAD=36°+36°=72°,
∴∠CAD=∠CDA=72°,
∴△ADC 是等腰三角形.
同理,△ABE 是等腰三角形.
综上所述,等腰三角形有6个.
故选D.
∵∠B = ∠C = 36°, ∠ADE=∠AED=72°,
∴△ABC 和△ADE 是等腰三角形.
∵∠B=36°,∠ADE=72°,
∴∠BAD=36°,
∴AD=BD,
∴△ABD 是等腰三角形.
同理,△AEC 是等腰三角形.
∵∠ADE=∠AED=72°,
∴∠DAE=36°,
∴∠CAD=36°+36°=72°,
∴∠CAD=∠CDA=72°,
∴△ADC 是等腰三角形.
同理,△ABE 是等腰三角形.
综上所述,等腰三角形有6个.
故选D.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理来判断。解题思路为：首先梳理出图中所有的三角形，再结合已知角的度数，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质计算每个三角形的各个内角度数，按顺序逐个判断是否存在两个相等的内角，注意不要遗漏三角形，避免少算等腰三角形的个数。
【解析】
解：① 已知$∠ B=∠ C=36°$，根据等角对等边，可得$△ ABC$是等腰三角形；
已知$∠ ADE=∠ AED=72°$，同理可得$△ ADE$是等腰三角形。
② $∠ ADE$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，代入角度计算得$∠ BAD=72°-36°=36°$，即$∠ BAD=∠ B=36°$，因此$AD=BD$，$△ ABD$是等腰三角形；
同理，$∠ AED$是$△ AEC$的外角，计算得$∠ EAC=72°-36°=36°=∠ C$，因此$AE=EC$，$△ AEC$是等腰三角形。
③ 在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，计算得$∠ DAE=180°-72°-72°=36°$，则$∠ CAD=∠ DAE+∠ EAC=36°+36°=72°$，又$∠ CDA=∠ ADE=72°$，即$∠ CAD=∠ CDA$，因此$AC=CD$，$△ ADC$是等腰三角形；
同理，$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=36°+36°=72°$，又$∠ AEB=∠ AED=72°$，即$∠ BAE=∠ AEB$，因此$AB=BE$，$△ ABE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有$△ ABC$、$△ ADE$、$△ ABD$、$△ AEC$、$△ ADC$、$△ ABE$，共6个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用角度计算的相关性质，按照固定顺序逐个判断三角形的类型，能有效避免漏数、错数的问题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理来判断。解题思路为：首先梳理出图中所有的三角形，再结合已知角的度数，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质计算每个三角形的各个内角度数，按顺序逐个判断是否存在两个相等的内角，注意不要遗漏三角形，避免少算等腰三角形的个数。
【解析】
解：① 已知$∠ B=∠ C=36°$，根据等角对等边，可得$△ ABC$是等腰三角形；
已知$∠ ADE=∠ AED=72°$，同理可得$△ ADE$是等腰三角形。
② $∠ ADE$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADE=∠ B+∠ BAD$，代入角度计算得$∠ BAD=72°-36°=36°$，即$∠ BAD=∠ B=36°$，因此$AD=BD$，$△ ABD$是等腰三角形；
同理，$∠ AED$是$△ AEC$的外角，计算得$∠ EAC=72°-36°=36°=∠ C$，因此$AE=EC$，$△ AEC$是等腰三角形。
③ 在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，计算得$∠ DAE=180°-72°-72°=36°$，则$∠ CAD=∠ DAE+∠ EAC=36°+36°=72°$，又$∠ CDA=∠ ADE=72°$，即$∠ CAD=∠ CDA$，因此$AC=CD$，$△ ADC$是等腰三角形；
同理，$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=36°+36°=72°$，又$∠ AEB=∠ AED=72°$，即$∠ BAE=∠ AEB$，因此$AB=BE$，$△ ABE$是等腰三角形。
综上，等腰三角形共有$△ ABC$、$△ ADE$、$△ ABD$、$△ AEC$、$△ ADC$、$△ ABE$，共6个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用角度计算的相关性质，按照固定顺序逐个判断三角形的类型，能有效避免漏数、错数的问题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点$F$，过点$F$作$DE // BC$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$D$。
(1)试确定$BE$，$DE$，$CD$之间的数量关系，并说明理由；
(2)若$AB+AC=a$，求$△ AED$的周长。
(1)试确定$BE$，$DE$，$CD$之间的数量关系，并说明理由；
(2)若$AB+AC=a$，求$△ AED$的周长。
答案
解 (1)DE=BE+CD.
理由:
∵ BF 平分∠ABC,CF 平分∠ACB，
∴∠EBF=∠CBF,∠DCF=∠BCF.
∵DE//BC，
∴∠EFB=∠CBF,∠DFC=∠BCF，
∴∠EFB=∠EBF,∠DFC=∠DCF，
∴BE=EF,CD=DF.
∵DE=EF+DF，
∴DE=BE+CD.
(2)
∵AB+AC=a，
∴AE+BE+AD+CD=a.
∵由(1)得 ED=BE+CD，
∴AE+AD+ED=a，
∴△AED 的周长为a.
理由:
∵ BF 平分∠ABC,CF 平分∠ACB，
∴∠EBF=∠CBF,∠DCF=∠BCF.
∵DE//BC，
∴∠EFB=∠CBF,∠DFC=∠BCF，
∴∠EFB=∠EBF,∠DFC=∠DCF，
∴BE=EF,CD=DF.
∵DE=EF+DF，
∴DE=BE+CD.
(2)
∵AB+AC=a，
∴AE+BE+AD+CD=a.
∵由(1)得 ED=BE+CD，
∴AE+AD+ED=a，
∴△AED 的周长为a.
解析
【分析】
(1)要确定BE、DE、CD的数量关系，首先观察线段DE的构成：DE被点F分为EF和DF两段，因此只需证明BE=EF、CD=DF即可推出三者关系。结合已知条件，BF、CF是角平分线可得两组等角；再由DE//BC，利用平行线的内错角相等，通过等量代换可得到两个等腰三角形，证得BE=EF、CD=DF，即可推导出结论。
(2)△AED的周长为AE+AD+DE，结合(1)得到的DE=BE+CD，将DE替换后周长可转化为AE+BE+AD+CD，刚好对应AB+AC的长度，代入已知条件即可求出周长。
【解析】
(1) $DE=BE+CD$，理由如下：
∵ BF平分$∠ ABC$，CF平分$∠ ACB$，
∴ $∠ EBF=∠ CBF$，$∠ DCF=∠ BCF$。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EFB=∠ CBF$，$∠ DFC=∠ BCF$，
∴ $∠ EFB=∠ EBF$，$∠ DFC=∠ DCF$，
∴ $BE=EF$，$CD=DF$。
又
∵ $DE=EF+DF$，
∴ $DE=BE+CD$。
(2) $△ AED$的周长$=AE+AD+DE$，
∵ $AB+AC=AE+BE+AD+CD=a$，
结合(1)的结论$DE=BE+CD$，代入周长表达式得：
$△ AED$的周长$=AE+AD+BE+CD=(AE+BE)+(AD+CD)=AB+AC=a$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BE+CD}$；
(2) $△ AED$的周长为$\boldsymbol{a}$。
【知识点】
等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，核心是掌握“角平分线+平行线”的基本模型，该模型可推出等腰三角形，实现线段的等量转化；第二问借助第一问的结论进行整体代入求解，体现了转化的数学思想，是几何中线段关系推导和周长计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1)要确定BE、DE、CD的数量关系，首先观察线段DE的构成：DE被点F分为EF和DF两段，因此只需证明BE=EF、CD=DF即可推出三者关系。结合已知条件，BF、CF是角平分线可得两组等角；再由DE//BC，利用平行线的内错角相等，通过等量代换可得到两个等腰三角形，证得BE=EF、CD=DF，即可推导出结论。
(2)△AED的周长为AE+AD+DE，结合(1)得到的DE=BE+CD，将DE替换后周长可转化为AE+BE+AD+CD，刚好对应AB+AC的长度，代入已知条件即可求出周长。
【解析】
(1) $DE=BE+CD$，理由如下：
∵ BF平分$∠ ABC$，CF平分$∠ ACB$，
∴ $∠ EBF=∠ CBF$，$∠ DCF=∠ BCF$。
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ EFB=∠ CBF$，$∠ DFC=∠ BCF$，
∴ $∠ EFB=∠ EBF$，$∠ DFC=∠ DCF$，
∴ $BE=EF$，$CD=DF$。
又
∵ $DE=EF+DF$，
∴ $DE=BE+CD$。
(2) $△ AED$的周长$=AE+AD+DE$，
∵ $AB+AC=AE+BE+AD+CD=a$，
结合(1)的结论$DE=BE+CD$，代入周长表达式得：
$△ AED$的周长$=AE+AD+BE+CD=(AE+BE)+(AD+CD)=AB+AC=a$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BE+CD}$；
(2) $△ AED$的周长为$\boldsymbol{a}$。
【知识点】
等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，核心是掌握“角平分线+平行线”的基本模型，该模型可推出等腰三角形，实现线段的等量转化；第二问借助第一问的结论进行整体代入求解，体现了转化的数学思想，是几何中线段关系推导和周长计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
