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1.在下列条件中,可以判定$△ ABC$是等腰三角形的是(
A.$∠ B=40°,∠ C=80°$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.$2∠ A=∠ B+∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=2:2:1$
D
).A.$∠ B=40°,∠ C=80°$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.$2∠ A=∠ B+∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=2:2:1$
答案
D
解析
【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，需验证三角形中是否存在两个相等的内角，解题时结合三角形内角和为180°的性质，逐一计算各选项中三个内角的度数，判断是否有两个角相等即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，等腰三角形的判定定理：有两个内角相等的三角形是等腰三角形，逐一分析选项：
A选项：∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，三个内角分别为40°、60°、80°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：设三个角分别为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，三个内角分别为30°、60°、90°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：由2∠A=∠B+∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，仅能得到∠B+∠C=120°，无法确定∠B和∠C是否相等，不能判定为等腰三角形；
D选项：设三个角分别为2x、2x、x，则2x+2x+x=180°，解得x=36°，三个内角分别为72°、72°、36°，有两个相等的内角，可以判定为等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置，结合三角形内角和性质考查基础应用能力，解题核心是通过已知角的关系计算各内角度数，确认是否存在等角，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是等腰三角形，需验证三角形中是否存在两个相等的内角，解题时结合三角形内角和为180°的性质，逐一计算各选项中三个内角的度数，判断是否有两个角相等即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，等腰三角形的判定定理：有两个内角相等的三角形是等腰三角形，逐一分析选项：
A选项：∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，三个内角分别为40°、60°、80°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
B选项：设三个角分别为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，三个内角分别为30°、60°、90°，无相等内角，不能判定为等腰三角形；
C选项：由2∠A=∠B+∠C，结合∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，仅能得到∠B+∠C=120°，无法确定∠B和∠C是否相等，不能判定为等腰三角形；
D选项：设三个角分别为2x、2x、x，则2x+2x+x=180°，解得x=36°，三个内角分别为72°、72°、36°，有两个相等的内角，可以判定为等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置，结合三角形内角和性质考查基础应用能力，解题核心是通过已知角的关系计算各内角度数，确认是否存在等角，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东$70°$方向的M处，它以40海里每小时的速度向正北方向航行，两个小时后到达位于灯塔P的北偏东$40°$的N处，则N处与灯塔P的距离为
80
海里。答案
80
解析
【分析】
解题时首先根据行程公式“路程=速度×时间”计算出M到N的距离MN；再结合方位角的性质，计算△PMN的内角度数，判断三角形为等腰三角形，最后根据等腰三角形等角对等边的性质得到NP与MN的等量关系，即可求出N到灯塔P的距离。
【解析】
1. 计算MN的长度：
海轮速度为40海里/小时，航行时间为2小时，根据路程公式可得：
$MN=40×2=80$（海里）
2. 计算△PMN的内角：
由方位角可知，MN为正北方向，与过P的南北方向线平行，因此内错角相等，得$∠ NMP=70°$；
根据平角定义，$∠ NPM=180°-40°-70°=70°$；
因此$∠ NMP=∠ NPM$。
3. 根据等腰三角形判定“等角对等边”，可得$PN=MN=80$海里。
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的判定；方位角的应用；路程计算
【点评】
本题将方位角知识和等腰三角形判定结合考查，解题的核心是通过角度关系识别等腰三角形，再结合行程公式求解，是几何知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据行程公式“路程=速度×时间”计算出M到N的距离MN；再结合方位角的性质，计算△PMN的内角度数，判断三角形为等腰三角形，最后根据等腰三角形等角对等边的性质得到NP与MN的等量关系，即可求出N到灯塔P的距离。
【解析】
1. 计算MN的长度：
海轮速度为40海里/小时，航行时间为2小时，根据路程公式可得：
$MN=40×2=80$（海里）
2. 计算△PMN的内角：
由方位角可知，MN为正北方向，与过P的南北方向线平行，因此内错角相等，得$∠ NMP=70°$；
根据平角定义，$∠ NPM=180°-40°-70°=70°$；
因此$∠ NMP=∠ NPM$。
3. 根据等腰三角形判定“等角对等边”，可得$PN=MN=80$海里。
【答案】
80
【知识点】
等腰三角形的判定；方位角的应用；路程计算
【点评】
本题将方位角知识和等腰三角形判定结合考查，解题的核心是通过角度关系识别等腰三角形，再结合行程公式求解，是几何知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$BF$平分$∠ ABC$交$CD$于点$E$，交$AC$于点$F$.求证$CE = CF$.
答案
证明
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF + ∠CFB = ∠DBE + ∠DEB=90°.
∵BF 平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
∴∠CFB=∠DEB.
又∠FEC=∠DEB，
∴∠CFB=∠FEC，
∴CE=CF.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF + ∠CFB = ∠DBE + ∠DEB=90°.
∵BF 平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
∴∠CFB=∠DEB.
又∠FEC=∠DEB，
∴∠CFB=∠FEC，
∴CE=CF.
解析
【分析】
要证明CE=CF，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠CFE=∠CEF即可。首先从已知的直角条件出发，直角三角形的两个锐角互余，可得∠CBF与∠CFB互余、∠DBE与∠DEB互余；再结合BF平分∠ABC的条件，得到∠CBF=∠DBE，进而推出∠CFB=∠DEB；最后利用对顶角相等，将∠DEB替换为∠FEC，即可得到∠CFB=∠FEC，从而证得结论。
【解析】
证明：
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF + ∠CFB = 90°，∠DBE + ∠DEB=90°。
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
根据等角的余角相等，可得∠CFB=∠DEB。
又
∵∠FEC和∠DEB是对顶角，
∴∠FEC=∠DEB，
等量代换得∠CFB=∠FEC，
根据等角对等边，可得CE=CF。
【答案】
证明
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF + ∠CFB = ∠DBE + ∠DEB=90°.
∵BF 平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
∴∠CFB=∠DEB.
又∠FEC=∠DEB，
∴∠CFB=∠FEC，
∴CE=CF.
【知识点】
等腰三角形的判定、直角三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题的关键是通过直角三角形两锐角互余、角平分线定义、对顶角相等完成角的等量代换，推导得到相等的角后即可利用等角对等边证明边相等，这类题型需要熟练掌握角的关系转换方法。
【难度系数】
0.8
要证明CE=CF，可利用等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠CFE=∠CEF即可。首先从已知的直角条件出发，直角三角形的两个锐角互余，可得∠CBF与∠CFB互余、∠DBE与∠DEB互余；再结合BF平分∠ABC的条件，得到∠CBF=∠DBE，进而推出∠CFB=∠DEB；最后利用对顶角相等，将∠DEB替换为∠FEC，即可得到∠CFB=∠FEC，从而证得结论。
【解析】
证明：
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF + ∠CFB = 90°，∠DBE + ∠DEB=90°。
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
根据等角的余角相等，可得∠CFB=∠DEB。
又
∵∠FEC和∠DEB是对顶角，
∴∠FEC=∠DEB，
等量代换得∠CFB=∠FEC，
根据等角对等边，可得CE=CF。
【答案】
证明
∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠CBF + ∠CFB = ∠DBE + ∠DEB=90°.
∵BF 平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
∴∠CFB=∠DEB.
又∠FEC=∠DEB，
∴∠CFB=∠FEC，
∴CE=CF.
【知识点】
等腰三角形的判定、直角三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题的关键是通过直角三角形两锐角互余、角平分线定义、对顶角相等完成角的等量代换，推导得到相等的角后即可利用等角对等边证明边相等，这类题型需要熟练掌握角的关系转换方法。
【难度系数】
0.8
