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(2)若$a-b=-5$，求$2(2a+b-1)+5(a-2b+1)-b$的值。
答案
解：
先对原式去括号、合并同类项化简：
$\begin{aligned}&2(2a+b-1)+5(a-2b+1)-b\\=&4a+2b-2+5a-10b+5-b\\=&(4a+5a)+(2b-10b-b)+(-2+5)\\=&9a-9b+3\\=&9(a-b)+3\end{aligned}$
将$a-b=-5$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9×(-5)+3\\&=-45+3\\&=-42\end{aligned}$
先对原式去括号、合并同类项化简：
$\begin{aligned}&2(2a+b-1)+5(a-2b+1)-b\\=&4a+2b-2+5a-10b+5-b\\=&(4a+5a)+(2b-10b-b)+(-2+5)\\=&9a-9b+3\\=&9(a-b)+3\end{aligned}$
将$a-b=-5$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9×(-5)+3\\&=-45+3\\&=-42\end{aligned}$
17.(6分)解下列一元一次方程：
(1)$4 - 3x = x - 2(x - 1)$；
(2)$2x - \frac{x - 1}{2} = 3 - \frac{2x - 1}{3}$。
(1)$4 - 3x = x - 2(x - 1)$；
(2)$2x - \frac{x - 1}{2} = 3 - \frac{2x - 1}{3}$。
答案
解：
(1) 去括号，得
$4 - 3x = x - 2x + 2$
合并同类项，得
$4 - 3x = -x + 2$
移项，得
$-3x + x = 2 - 4$
合并同类项，得
$-2x = -2$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 方程两边同时乘6去分母，得
$12x - 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)$
去括号，得
$12x - 3x + 3 = 18 - 4x + 2$
移项，得
$12x - 3x + 4x = 18 + 2 - 3$
合并同类项，得
$13x = 17$
系数化为1，得
$x = \frac{17}{13}$
(1) 去括号，得
$4 - 3x = x - 2x + 2$
合并同类项，得
$4 - 3x = -x + 2$
移项，得
$-3x + x = 2 - 4$
合并同类项，得
$-2x = -2$
系数化为1，得
$x = 1$
(2) 方程两边同时乘6去分母，得
$12x - 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)$
去括号，得
$12x - 3x + 3 = 18 - 4x + 2$
移项，得
$12x - 3x + 4x = 18 + 2 - 3$
合并同类项，得
$13x = 17$
系数化为1，得
$x = \frac{17}{13}$
18.(6分)出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运是在南北走向的公路上进行的,如果规定向南行驶为正,他这天下午行车的里程(单位:千米)如下:+8,-6,-5,+10,-5,+3,-2,+6,+2,-5.
(1)如果将小李下午的出发地记为0,他将最后一名乘客送抵目的地时,小李距下午的出发地有多远?
(2)如果汽车耗油量为0.4升/千米,油价每升5.80元,那么这天下午汽车共需花费油费为多少元?
(1)如果将小李下午的出发地记为0,他将最后一名乘客送抵目的地时,小李距下午的出发地有多远?
(2)如果汽车耗油量为0.4升/千米,油价每升5.80元,那么这天下午汽车共需花费油费为多少元?
答案
解：
(1) 将所有行车里程相加：
$\begin{aligned}&+8 -6 -5 +10 -5 +3 -2 +6 +2 -5\\=&6\end{aligned}$
结果为正，说明小李在出发地南侧，距出发地6千米。
(2) 计算所有行车里程的绝对值之和，得到总行驶路程：
$\begin{aligned}&|+8|+|-6|+|-5|+|+10|+|-5|+|+3|+|-2|+|+6|+|+2|+|-5|\\=&8+6+5+10+5+3+2+6+2+5\\=&52 \mathrm{（千米）}\end{aligned}$
总油费为：
$52 × 0.4 × 5.80 = 120.64 \mathrm{（元）}$
答：(1) 小李距下午的出发地6千米；(2) 这天下午汽车共需花费油费120.64元。
(1) 将所有行车里程相加：
$\begin{aligned}&+8 -6 -5 +10 -5 +3 -2 +6 +2 -5\\=&6\end{aligned}$
结果为正，说明小李在出发地南侧，距出发地6千米。
(2) 计算所有行车里程的绝对值之和，得到总行驶路程：
$\begin{aligned}&|+8|+|-6|+|-5|+|+10|+|-5|+|+3|+|-2|+|+6|+|+2|+|-5|\\=&8+6+5+10+5+3+2+6+2+5\\=&52 \mathrm{（千米）}\end{aligned}$
总油费为：
$52 × 0.4 × 5.80 = 120.64 \mathrm{（元）}$
答：(1) 小李距下午的出发地6千米；(2) 这天下午汽车共需花费油费120.64元。
19. (8分)已知$A=3a^2b-4ab^2-3$，$B=-5ab^2+2a^2b+4$，并且$A+B+C=0$.
(1)求多项式$C$；
(2)若$a,b$满足$|a|=2$，$|b|=3$，且$a+b＜0$，求(1)中多项式$C$的值.
(1)求多项式$C$；
(2)若$a,b$满足$|a|=2$，$|b|=3$，且$a+b＜0$，求(1)中多项式$C$的值.
答案
解：
(1) 由$A+B+C=0$，得$C=-A-B$。
将$A=3a^2b-4ab^2-3$，$B=-5ab^2+2a^2b+4$代入得：
$\begin{aligned}C&=-(3a^2b-4ab^2-3)-(-5ab^2+2a^2b+4)\\&=-3a^2b+4ab^2+3+5ab^2-2a^2b-4\\&=-5a^2b+9ab^2-1\end{aligned}$
(2) 由$|a|=2$得$a=\pm2$，由$|b|=3$得$b=\pm3$。
结合$a+b＜0$，满足条件的$a,b$取值为$\begin{cases}a=2\\b=-3\end{cases}$和$\begin{cases}a=-2\\b=-3\end{cases}$。
① 当$a=2,b=-3$时：
$\begin{aligned}C&=-5×2^2×(-3)+9×2×(-3)^2-1\\&=60+162-1\\&=221\end{aligned}$
② 当$a=-2,b=-3$时：
$\begin{aligned}C&=-5×(-2)^2×(-3)+9×(-2)×(-3)^2-1\\&=60-162-1\\&=-103\end{aligned}$
综上，多项式$C=-5a^2b+9ab^2-1$，对应的值为221或-103。
(1) 由$A+B+C=0$，得$C=-A-B$。
将$A=3a^2b-4ab^2-3$，$B=-5ab^2+2a^2b+4$代入得：
$\begin{aligned}C&=-(3a^2b-4ab^2-3)-(-5ab^2+2a^2b+4)\\&=-3a^2b+4ab^2+3+5ab^2-2a^2b-4\\&=-5a^2b+9ab^2-1\end{aligned}$
(2) 由$|a|=2$得$a=\pm2$，由$|b|=3$得$b=\pm3$。
结合$a+b＜0$，满足条件的$a,b$取值为$\begin{cases}a=2\\b=-3\end{cases}$和$\begin{cases}a=-2\\b=-3\end{cases}$。
① 当$a=2,b=-3$时：
$\begin{aligned}C&=-5×2^2×(-3)+9×2×(-3)^2-1\\&=60+162-1\\&=221\end{aligned}$
② 当$a=-2,b=-3$时：
$\begin{aligned}C&=-5×(-2)^2×(-3)+9×(-2)×(-3)^2-1\\&=60-162-1\\&=-103\end{aligned}$
综上，多项式$C=-5a^2b+9ab^2-1$，对应的值为221或-103。
20. (8分)如图,在射线AM上取一点B,使$AB=12\ \mathrm{cm}.$
(1)若点C是线段AB上任意一点,且点D,E分别平分AC,BC,求线段DE的长.
(2)若点C是射线AM上的任意一点,且点D,E分别平分AC,BC,求线段DE的长.
(1)若点C是线段AB上任意一点,且点D,E分别平分AC,BC,求线段DE的长.
(2)若点C是射线AM上的任意一点,且点D,E分别平分AC,BC,求线段DE的长.
答案
解：(1)
∵ 点D平分AC，点E平分BC，
∴ $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=DC+EC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
∵ $AC+BC=AB=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，由(1)得$DE=6\ \mathrm{cm}$；
② 当点C在线段AB的延长线上时，
∵ 点D平分AC，点E平分BC，
∴ $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=DC-EC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$
∵ $AC-BC=AB=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
综上，线段DE的长为$6\ \mathrm{cm}$。
∵ 点D平分AC，点E平分BC，
∴ $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=DC+EC=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
∵ $AC+BC=AB=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点C在线段AB上时，由(1)得$DE=6\ \mathrm{cm}$；
② 当点C在线段AB的延长线上时，
∵ 点D平分AC，点E平分BC，
∴ $DC=\frac{1}{2}AC$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $DE=DC-EC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$
∵ $AC-BC=AB=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $DE=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
综上，线段DE的长为$6\ \mathrm{cm}$。
21.(8分)某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生,购买了钢笔30支,毛笔45支,共用了1755元,其中每支毛笔比钢笔贵4元.
(1)求钢笔和毛笔的单价各为多少元;
(2)学校仍需要购买上面的两种笔共105支(每种笔的单价不变).陈老师做完预算后,向财务处王老师说:“我这次买这两种笔需支领2 447元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了.
这两种笔的账算错了.
(1)求钢笔和毛笔的单价各为多少元;
(2)学校仍需要购买上面的两种笔共105支(每种笔的单价不变).陈老师做完预算后,向财务处王老师说:“我这次买这两种笔需支领2 447元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了.
这两种笔的账算错了.
答案
解：
(1) 设钢笔的单价为$x$元，则毛笔的单价为$(x+4)$元。
根据题意列方程：
$30x + 45(x+4) = 1755$
去括号得：$30x + 45x + 180 = 1755$
移项、合并同类项得：$75x = 1575$
系数化为1得：$x = 21$
则毛笔的单价为$x+4=21+4=25$（元）。
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元。
(2) 设购买钢笔$z$支，则购买毛笔$(105-z)$支。
根据题意列方程：
$21z + 25(105-z) = 2447$
去括号得：$21z + 2625 - 25z = 2447$
移项、合并同类项得：$-4z = -178$
系数化为1得：$z = 44.5$
因为笔的支数只能是正整数，$z=44.5$不符合实际意义，所以陈老师的账肯定算错了。
(1) 设钢笔的单价为$x$元，则毛笔的单价为$(x+4)$元。
根据题意列方程：
$30x + 45(x+4) = 1755$
去括号得：$30x + 45x + 180 = 1755$
移项、合并同类项得：$75x = 1575$
系数化为1得：$x = 21$
则毛笔的单价为$x+4=21+4=25$（元）。
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元。
(2) 设购买钢笔$z$支，则购买毛笔$(105-z)$支。
根据题意列方程：
$21z + 25(105-z) = 2447$
去括号得：$21z + 2625 - 25z = 2447$
移项、合并同类项得：$-4z = -178$
系数化为1得：$z = 44.5$
因为笔的支数只能是正整数，$z=44.5$不符合实际意义，所以陈老师的账肯定算错了。
