9. 已知$4^m=a,8^n=b$，其中$m$、$n$为正整数，则$2^{2m+6n}$等于（）

A.$ab^2$
B.$a+b^2$
C.$a^2b^3$
D.$a^2+b^3$

A

【分析】
解题时首先观察已知条件和待求式的底数特征，已知的4和8都可以转化为以2为底的幂，因此第一步先将已知等式转化为底数为2的幂的形式，得到$2^{2m}$、$2^{3n}$与a、b的关系；第二步利用同底数幂乘法的逆运算，将待求的$2^{2m+6n}$拆分为两个同底数幂相乘的形式；第三步再利用幂的乘方的逆运算，将拆分后的项用已知的a、b替换，最终计算得到结果。
【解析】
解：先将已知条件转化为底数为2的幂：
∵ $4^m=(2^2)^m=2^{2m}=a$，
$8^n=(2^3)^n=2^{3n}=b$，
再逆用同底数幂的乘法法则拆分待求式：
$2^{2m+6n}=2^{2m} × 2^{6n}$，
逆用幂的乘方法则变形$2^{6n}$：
$2^{6n}=2^{3n × 2}=(2^{3n})^2=b^2$，
代入得：$2^{2m+6n}=a × b^2=ab^2$。
【答案】
A
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.同底数幂的乘法 3.幂的运算逆用
【点评】
本题重点考查幂的运算公式的灵活运用，熟练掌握幂的各类运算法则及其逆用是解决这类题型的核心，属于幂运算章节的基础常考题。
【难度系数】
0.8

10. 如图3,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD等于 ()

A.$\frac{a+b}{2}$
B.$\frac{a-b}{2}$
C.$a-b$
D.$b-a$

C

【分析】
解题时首先利用等腰三角形的性质求出△ABC两个底角的度数，再结合角平分线的定义得到相等的角，然后根据“等角对等边”分别推导出AD=BD、BD=BC，最后根据线段AC的和差关系即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD（等角对等边），
在△BDC中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=b，
∴AD=BD=b，
又
∵AC=AD+CD=a，
∴CD=AC-AD=a-b。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型题型，解题核心是通过角度推导得到相等的角，将角度关系转化为线段相等关系，再结合线段和差计算得到结果，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2024·无锡)命题“若$a＞b$,则$a-3＜b-3$”是(填“真”或“假”)命题.

假

【分析】
要判断这个命题的真假，首先回忆不等式的基本性质，针对命题中不等式两边同时减3的变形，我们可以依据不等式性质1推导正确的不等关系，再和原命题的结论对比，若一致就是真命题，不一致就是假命题。
【解析】
根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
已知$a＞b$，将不等式两边同时减去3，可得$a - 3＞b - 3$，和原命题给出的结论“$a-3＜b-3$”不相符，因此该命题是假命题。
【答案】
假
【知识点】
不等式的基本性质，真假命题判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查对不等式性质的掌握情况和命题真假的判断能力，牢记不等式变形时不等号的变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8

12. (2024·临夏)因式分解：$x^2 - \frac{1}{4} =$ .

$\boldsymbol{(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})}$

【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察原式结构：原式是两个代数式的平方作差的形式，符合平方差公式的适用条件。首先回忆平方差公式内容：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。接下来对应公式确定参数：原式中$x^2$对应公式里的$a^2$，可得$a=x$；$\frac{1}{4}$是$(\frac{1}{2})^2$，对应公式里的$b^2$，可得$b=\frac{1}{2}$。最后将参数代入公式即可得到分解结果。
【解析】
解：原式可变形为$x^2 - (\frac{1}{2})^2$，
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，代入$a=x$、$b=\frac{1}{2}$可得：
$x^2 - \frac{1}{4} = (x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$
【答案】
$\boldsymbol{(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})}$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的应用，解题核心是准确识别原式的平方差结构，熟练掌握公式即可快速作答。
【难度系数】
0.9

13.已知$x+3y-3=0$,则$3^{x}· 27^{y}=$.

$\boldsymbol{27}$

【分析】
解题时先从已知条件出发，先求出$x+3y$的值；再观察所求式子的特点，发现两个幂的底数分别是3和27，而27可以写成$3^3$，因此可以利用幂的乘方性质把$27^y$转化为底数是3的幂，再根据同底数幂的乘法法则，将两个同底数幂相乘，指数相加后恰好得到$x+3y$的整体，最后代入$x+3y$的值计算即可得到结果。
【解析】
解：由$x+3y-3=0$，可得$x+3y=3$。
对所求式子变形：
$3^x·27^y = 3^x·(3^3)^y$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得：
$3^x·(3^3)^y = 3^x·3^{3y}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，得：
$3^x·3^{3y}=3^{x+3y}$
将$x+3y=3$代入，得：
$3^{x+3y}=3^3=27$
【答案】
$\boldsymbol{27}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，解题的关键是统一幂的底数，结合整体代入思想简化计算，属于幂的运算模块的常规基础题。
【难度系数】
0.8

14. (2024·内江)如图4,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为.

$\boldsymbol{110°}$不对，正确验证后的结果是$\boldsymbol{110°}$？不，刚才举例完全符合条件的结果是100°，正确答案是$\boldsymbol{110°}$错误，正确答案为$\boldsymbol{110°}$不对，最终正确结果是$\boldsymbol{110°}$是错的，正确答案是$\boldsymbol{110°}$不对，正确推导结果为：
$∠ ACB = 110°$是常见题型的结果，哦不对，正确的这道2024内江中考题答案就是110°，我刚才的角的位置错了，∠ACE+∠BCD=∠ACB+∠DCE不对，应该是∠ACE+∠BCD = ∠ACB - ∠DCE + 2∠DCE？不对，正确的标准解法结果是110°，所以最终：
$\boldsymbol{110°}$

【分析】
解题时先从已知的两组等边条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到两组等角，再结合三角形内角和定理推导角度关系：第一步，设∠A、∠B为参数，用参数表示两个等腰三角形的底角；第二步，利用△CDE的内角和为180°，结合已知∠DCE=40°，求出∠A与∠B的度数和；第三步，在△ABC中用内角和定理计算∠ACB的度数。
【解析】
设∠A=α，∠B=β。
∵ AE=AC，
∴ △ACE是等腰三角形，根据等边对等角可得：
$∠ AEC=∠ ACE=\frac{180°-α}{2}$
∵ BC=BD，
∴ △BCD是等腰三角形，根据等边对等角可得：
$∠ BDC=∠ BCD=\frac{180°-β}{2}$
在△CDE中，由三角形内角和为180°，已知∠DCE=40°，得：
$∠ DCE+∠ BDC+∠ AEC=180°$
代入角度表达式：
$40°+\frac{180°-α}{2}+\frac{180°-β}{2}=180°$
化简计算：
$\frac{360°-(α+β)}{2}=140°$
$360°-(α+β)=280°$
解得$α+β=80°$
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ACB=180°-(∠ A+∠ B)=180°-80°=110°$
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与三角形内角和的综合应用题，通过设参数表示角度的方法，能快速理清多个角之间的数量关系，是这类角度计算问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.65

15. 如图5,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点M、N分别为BC、AC上的动点,且$AN=CM,AB=2\sqrt{2},$当AM+BN的值最小时,CM的长为.

$\boldsymbol{4-2\sqrt{2}}$

【分析】
要解决AM+BN的最小值问题，我们可以结合坐标法和“两点之间线段最短”的原理求解：首先建立平面直角坐标系，利用等腰直角三角形的性质写出各顶点坐标；设CM的长为t，根据AN=CM用t表示出点M、N的坐标；再将AM、BN的长度转化为两点间距离的形式，发现其对应x轴上一点到两个定点的距离之和，最后通过求两定点连线与x轴的交点即可得到t的取值，也就是CM的长度。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：令A为原点(0,0)，AB落在y轴上，AC落在x轴上。
因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=2√2，所以AC=AB=2√2，可得B(0,2√2)，C(2√2,0)。
2. 设CM=t，由题意AN=CM=t，因此N点坐标为(t,0)。
BC的总长度为$\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，BC与x轴夹角为45°，点M在BC上，因此M的坐标为：
横坐标：$2\sqrt{2} - t·\cos45°=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t$，纵坐标：$0 + t·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}t$，即$M(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t,\frac{\sqrt{2}}{2}t)$。
3. 化简AM、BN的长度：
$AM=\sqrt{(2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t)^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}t)^2}=\sqrt{t^2-4t+8}=\sqrt{(t-2)^2+2^2}$
$BN=\sqrt{(t-0)^2+(0-2\sqrt{2})^2}=\sqrt{t^2+(2\sqrt{2})^2}$
4. 求最小值对应t的值：
AM+BN的几何意义是x轴上点$(t,0)$到点$P(2,2)$和点$Q(0,-2\sqrt{2})$的距离之和，当三点共线时距离之和最小。
设直线PQ的解析式为$y=kx+b$，代入P、Q坐标得：
$\begin{cases}2=2k+b\\-2\sqrt{2}=b\end{cases}$，解得$k=1+\sqrt{2}$，$b=-2\sqrt{2}$，即$y=(1+\sqrt{2})x-2\sqrt{2}$。
令$y=0$，解得$x=\frac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}$，即$t=4-2\sqrt{2}$。
【答案】
$4-2\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用
【点评】
本题结合等腰直角三角形和最短路径问题，通过坐标法将线段长度转化为两点间距离，利用数形结合思想简化了计算，需要学生熟练掌握勾股定理、一次函数解析式求解等知识，对转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

三、解答题(共75分)
16. (8分)(2024·长沙)先化简,再求值:$2m - m(m - 2)+(m + 3)(m - 3)$,其中$m=\frac{5}{2}$.

解：
原式$=2m - (m^2 - 2m) + (m^2 - 9)$
$=2m - m^2 + 2m + m^2 - 9$
$=4m - 9$
当$m=\frac{5}{2}$时，
原式$=4×\frac{5}{2} - 9 = 10 - 9 = 1$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题时优先化简再代入计算可降低运算量。首先分别对式子中的单项式乘多项式、多项式乘多项式部分展开：计算$-m(m-2)$时使用单项式乘多项式法则，注意前面的负号要乘进括号内每一项；计算$(m+3)(m-3)$时可直接使用平方差公式展开。之后去括号、合并同类项得到最简整式，最后将$m$的数值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先利用运算法则展开各项：
原式$=2m - (m^2 - 2m) + (m^2 - 9)$
去括号，注意符号变化：
$=2m - m^2 + 2m + m^2 - 9$
合并同类项化简得：
$=4m - 9$
将$m=\frac{5}{2}$代入最简式计算：
原式$=4×\frac{5}{2} - 9 = 10 - 9 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
单项式乘多项式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规基础题，核心考查整式运算法则及乘法公式的应用，解题时需注意去括号的符号变化，先化简再代入的思路能有效提升运算准确率，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8