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1. (2024·四川)下列计算正确的是 ()
A.$2(a+2)=2a+2$
B.$a+a=a^2$
C.$3a · 5a=15a^2$
D.$(a+b)^2=a^2+b^2$
A.$2(a+2)=2a+2$
B.$a+a=a^2$
C.$3a · 5a=15a^2$
D.$(a+b)^2=a^2+b^2$
答案
C
解析
【分析】
本题是整式运算的正误判断题，解题核心是熟练掌握整式各类运算法则，逐个验证每个选项的计算是否符合对应法则，排除错误选项即可得到正确答案。解题时依次回忆去括号法则、合并同类项法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式，分别对应四个选项核对即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据去括号法则，括号外的因数要乘括号内的每一项，$2(a+2)=2× a + 2×2=2a+4≠2a+2$，故A错误；
B选项：根据合并同类项法则，同类项相加时系数相加，字母和字母的指数不变，$a+a=2a≠ a^2$，故B错误；
C选项：根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，$3a·5a=(3×5)×(a·a)=15a^2$，计算正确，故C正确；
D选项：根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2≠ a^2+b^2$，漏掉了交叉项$2ab$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
整式的运算、完全平方公式、单项式乘单项式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查整式相关运算法则的掌握情况，需要注意区分易混淆的运算规则，比如合并同类项和同底数幂乘法的区别、完全平方公式不要遗漏交叉项等，夯实基础运算能力即可快速做对这类题目。
【难度系数】
0.8
本题是整式运算的正误判断题，解题核心是熟练掌握整式各类运算法则，逐个验证每个选项的计算是否符合对应法则，排除错误选项即可得到正确答案。解题时依次回忆去括号法则、合并同类项法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式，分别对应四个选项核对即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：根据去括号法则，括号外的因数要乘括号内的每一项，$2(a+2)=2× a + 2×2=2a+4≠2a+2$，故A错误；
B选项：根据合并同类项法则，同类项相加时系数相加，字母和字母的指数不变，$a+a=2a≠ a^2$，故B错误；
C选项：根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，$3a·5a=(3×5)×(a·a)=15a^2$，计算正确，故C正确；
D选项：根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2≠ a^2+b^2$，漏掉了交叉项$2ab$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
整式的运算、完全平方公式、单项式乘单项式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查整式相关运算法则的掌握情况，需要注意区分易混淆的运算规则，比如合并同类项和同底数幂乘法的区别、完全平方公式不要遗漏交叉项等，夯实基础运算能力即可快速做对这类题目。
【难度系数】
0.8
2. (2024·兰州)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= ()
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据AB=AC判断△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠BAC的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质可算出底角∠C的度数；再由DA⊥AC可得∠DAC=90°；最后观察∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和，即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=130°$
∴$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-130°}{2}=25°$
∵$DA⊥ AC$
∴$∠ DAC=90°$
∵$∠ ADB$是$△ ADC$的外角
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=25°+90°=115°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础题，核心是先利用等腰三角形的性质求出底角度数，再结合垂直的性质和三角形外角的相关知识求解，熟练掌握基础几何性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据AB=AC判断△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠BAC的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质可算出底角∠C的度数；再由DA⊥AC可得∠DAC=90°；最后观察∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和，即可计算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=130°$
∴$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-130°}{2}=25°$
∵$DA⊥ AC$
∴$∠ DAC=90°$
∵$∠ ADB$是$△ ADC$的外角
∴$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=25°+90°=115°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础题，核心是先利用等腰三角形的性质求出底角度数，再结合垂直的性质和三角形外角的相关知识求解，熟练掌握基础几何性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. (2026·乐山)若实数$a$、$b$满足$\sqrt{a-2}+(b+3)^2=0$,则$ab$的值是 ()
A.1
B.$-1$
C.$6$
D.$-6$
A.1
B.$-1$
C.$6$
D.$-6$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的相关性质：算术平方根、一个数的平方都属于非负数，取值均大于等于0。当几个非负数的和为0时，只有每一个非负数都等于0才能满足等式成立。因此我们可以先根据该性质分别列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的取值后，再代入计算ab的值即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{a-2} ≥ 0$，$(b+3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a-2}+(b+3)^2=0$
$\therefore$ 由非负数的性质可得：
$\sqrt{a-2}=0$，$(b+3)^2=0$
即 $a-2=0$，$b+3=0$
解得 $a=2$，$b=-3$
代入计算得：$ab=2×(-3)=-6$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的性质、有理数乘法运算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，常见的非负数类型有算术平方根、偶次幂、绝对值，熟练掌握该性质即可快速求解同类题目。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆非负数的相关性质：算术平方根、一个数的平方都属于非负数，取值均大于等于0。当几个非负数的和为0时，只有每一个非负数都等于0才能满足等式成立。因此我们可以先根据该性质分别列出关于a、b的一元一次方程，求出a、b的取值后，再代入计算ab的值即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{a-2} ≥ 0$，$(b+3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a-2}+(b+3)^2=0$
$\therefore$ 由非负数的性质可得：
$\sqrt{a-2}=0$，$(b+3)^2=0$
即 $a-2=0$，$b+3=0$
解得 $a=2$，$b=-3$
代入计算得：$ab=2×(-3)=-6$
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质、算术平方根的性质、有理数乘法运算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，常见的非负数类型有算术平方根、偶次幂、绝对值，熟练掌握该性质即可快速求解同类题目。
【难度系数】
0.9
4. 用反证法证明命题:“已知$△ ABC,AB=AC$,求证:$∠ B＜90°.$”第一步应先假设 ()
A.$∠ B≥90°$
B.$∠ B＞90°$
C.$∠ B＜90°$
D.$AB≠ AC$
A.$∠ B≥90°$
B.$∠ B＞90°$
C.$∠ B＜90°$
D.$AB≠ AC$
答案
A
解析
【分析】
本题考查反证法的第一步操作，解题思路如下：首先明确反证法的核心步骤，第一步需要假设待证命题的结论不成立，也就是结论的反面成立；接着定位本题要证明的结论是$∠ B ＜ 90°$，我们需要找到这个结论的否定形式，“小于90°”的反面是“大于或等于90°”，也就是$∠ B ≥ 90°$，对应选项即可得到答案。
【解析】
根据反证法的步骤，首先要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题需证明的结论为$∠ B ＜ 90°$，该结论的反面为$∠ B ≥ 90°$，因此证明的第一步应先假设$∠ B ≥ 90°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题属于反证法的基础考点，解题的关键是准确写出待证结论的否定形式，需注意对不等号进行否定时不要遗漏等号的情况，掌握反证法的基本步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查反证法的第一步操作，解题思路如下：首先明确反证法的核心步骤，第一步需要假设待证命题的结论不成立，也就是结论的反面成立；接着定位本题要证明的结论是$∠ B ＜ 90°$，我们需要找到这个结论的否定形式，“小于90°”的反面是“大于或等于90°”，也就是$∠ B ≥ 90°$，对应选项即可得到答案。
【解析】
根据反证法的步骤，首先要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题需证明的结论为$∠ B ＜ 90°$，该结论的反面为$∠ B ≥ 90°$，因此证明的第一步应先假设$∠ B ≥ 90°$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题属于反证法的基础考点，解题的关键是准确写出待证结论的否定形式，需注意对不等号进行否定时不要遗漏等号的情况，掌握反证法的基本步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.8
5.已知$ k $为常数,若多项式$ 25x^2 + kx + 1 $恰好是另一个多项式的平方,则$ k $等于$\ (\ \ )$
A.5
B.$ \pm5 $
C.10
D.$ \pm10 $
A.5
B.$ \pm5 $
C.10
D.$ \pm10 $
答案
D
解析
【分析】
看到题干中多项式是另一个多项式的平方，可判断该多项式是完全平方式，需结合完全平方公式的结构求解。首先识别完全平方式中两个平方项对应的内容，再根据完全平方公式中间项有“加两倍乘积”和“减两倍乘积”两种情况，计算出k的所有可能取值，避免漏解。
【解析】
解：因为多项式$25x^2 + kx + 1$是完全平方式，根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
首先确定平方项：$25x^2=(5x)^2$，$1=1^2$，即对应公式中$a=5x$，$b=1$，
因此中间项$kx=\pm 2×5x×1=\pm10x$，
对比等式两边系数，可得$k=\pm10$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、完全平方式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查完全平方公式的应用，需要注意完全平方式有两种形式，解题时不要只考虑和的平方而漏掉差的平方的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
看到题干中多项式是另一个多项式的平方，可判断该多项式是完全平方式，需结合完全平方公式的结构求解。首先识别完全平方式中两个平方项对应的内容，再根据完全平方公式中间项有“加两倍乘积”和“减两倍乘积”两种情况，计算出k的所有可能取值，避免漏解。
【解析】
解：因为多项式$25x^2 + kx + 1$是完全平方式，根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$：
首先确定平方项：$25x^2=(5x)^2$，$1=1^2$，即对应公式中$a=5x$，$b=1$，
因此中间项$kx=\pm 2×5x×1=\pm10x$，
对比等式两边系数，可得$k=\pm10$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、完全平方式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查完全平方公式的应用，需要注意完全平方式有两种形式，解题时不要只考虑和的平方而漏掉差的平方的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
6. 下列因式分解正确的是 ()
A.$a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)$
B.$a^2 -9b^2=(a-3b)^2$
C.$a^2 +4ab +4b^2=(a+2b)^2$
D.$a^2 -ab +a=a(a-b)$
A.$a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)$
B.$a^2 -9b^2=(a-3b)^2$
C.$a^2 +4ab +4b^2=(a+2b)^2$
D.$a^2 -ab +a=a(a-b)$
答案
C
解析
【分析】
本题考查因式分解的正误判断，解题思路是逐个验证每个选项：先明确因式分解的要求（等式左右两边恒等，右边是整式乘积的形式），再分别用提公因式法、平方差公式、完全平方公式核对每个选项的变形是否正确即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：对$a(a-b)-b(a-b)$提公因式$(a-b)$，可得$(a-b)(a-b)=(a-b)^2$，与选项给出的$(a-b)(a+b)$不符，故A错误。
选项B：$a^2-9b^2$符合平方差公式结构，分解应为$a^2-(3b)^2=(a-3b)(a+3b)$，而$(a-3b)^2=a^2-6ab+9b^2$，与原式不符，故B错误。
选项C：$a^2+4ab+4b^2$符合完全平方和公式的结构，即$a^2+2· a· 2b+(2b)^2=(a+2b)^2$，变形正确，故C正确。
选项D：对$a^2-ab+a$提公因式$a$，可得$a(a-b+1)$，选项漏了常数项1，与正确结果不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题的关键是熟练掌握提公因式的操作要点和乘法公式的结构特征，避免出现漏项、公式混淆的常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的正误判断，解题思路是逐个验证每个选项：先明确因式分解的要求（等式左右两边恒等，右边是整式乘积的形式），再分别用提公因式法、平方差公式、完全平方公式核对每个选项的变形是否正确即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：对$a(a-b)-b(a-b)$提公因式$(a-b)$，可得$(a-b)(a-b)=(a-b)^2$，与选项给出的$(a-b)(a+b)$不符，故A错误。
选项B：$a^2-9b^2$符合平方差公式结构，分解应为$a^2-(3b)^2=(a-3b)(a+3b)$，而$(a-3b)^2=a^2-6ab+9b^2$，与原式不符，故B错误。
选项C：$a^2+4ab+4b^2$符合完全平方和公式的结构，即$a^2+2· a· 2b+(2b)^2=(a+2b)^2$，变形正确，故C正确。
选项D：对$a^2-ab+a$提公因式$a$，可得$a(a-b+1)$，选项漏了常数项1，与正确结果不符，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题的关键是熟练掌握提公因式的操作要点和乘法公式的结构特征，避免出现漏项、公式混淆的常见错误。
【难度系数】
0.8
7. (2024·眉山)如图2,在$△ ABC$中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A、点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧交于点E、F,过点E、F作直线交AC于点D,连接BD,则$△ BCD$的周长为 ()
A.7
B.8
C.10
D.12
A.7
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
【分析】
首先观察题中的尺规作图方法，可判断直线EF是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。要求△BCD的周长，即求BC+CD+BD的长度，将BD等量替换为AD后，周长可转化为BC+CD+AD，而CD+AD=AC，因此只需代入已知的AC和BC的长度即可求出结果，无需单独计算未知线段的长度。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线EF是线段AB的垂直平分线。
∵点D在直线EF上，
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD。
△BCD的周长 = BC + CD + BD
将BD替换为AD，得：
周长 = BC + CD + AD = BC + AC
已知AC=6，BC=4，代入得：
周长 = 4 + 6 = 10
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线；三角形周长计算
【点评】
本题解题的核心是识别尺规作图的类型，结合垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，降低了计算难度，是几何中周长计算的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
首先观察题中的尺规作图方法，可判断直线EF是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。要求△BCD的周长，即求BC+CD+BD的长度，将BD等量替换为AD后，周长可转化为BC+CD+AD，而CD+AD=AC，因此只需代入已知的AC和BC的长度即可求出结果，无需单独计算未知线段的长度。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线EF是线段AB的垂直平分线。
∵点D在直线EF上，
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD。
△BCD的周长 = BC + CD + BD
将BD替换为AD，得：
周长 = BC + CD + AD = BC + AC
已知AC=6，BC=4，代入得：
周长 = 4 + 6 = 10
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线；三角形周长计算
【点评】
本题解题的核心是识别尺规作图的类型，结合垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，降低了计算难度，是几何中周长计算的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
8.一组数据的最大值是131,最小值是88,将这组数据进行分组时,取组距为5,则组数是 （）
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
C
解析
【分析】要计算分组的组数，首先需明确组数的确定方法：第一步先求出数据的极差（最大值与最小值的差），第二步用极差除以组距，注意组数必须为正整数，若计算结果不是整数，需采用“进一法”取整，不能直接四舍五入或舍去小数部分。
【解析】
第一步：计算极差，极差为数据最大值减去最小值：
$131-88=43$
第二步：用极差除以组距求组数：
$43÷5=8.6$
由于组数必须为正整数，需向上取整，因此组数为9。
【答案】C
【知识点】极差的计算；组数的确定
【点评】本题考查数据分组时组数的计算，易错点是对计算得到的商直接取整或四舍五入，需牢记当商不是整数时，要向上进1得到最终组数。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：计算极差，极差为数据最大值减去最小值：
$131-88=43$
第二步：用极差除以组距求组数：
$43÷5=8.6$
由于组数必须为正整数，需向上取整，因此组数为9。
【答案】C
【知识点】极差的计算；组数的确定
【点评】本题考查数据分组时组数的计算，易错点是对计算得到的商直接取整或四舍五入，需牢记当商不是整数时，要向上进1得到最终组数。
【难度系数】0.7
