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2. 已知关于$x$的一元二次方程:$3x^2-(k+3)x+k=0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程有一个根大于2,求$k$的取值范围.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程有一个根大于2,求$k$的取值范围.
答案
(1)略
(2)$k＞6$
(2)$k＞6$
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是判断根的判别式Δ的符号：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，只要$\Delta≥0$，方程就总有两个实数根。我们只需要代入系数计算$\Delta$，整理为平方的形式即可证明其非负。
(2) 本题属于因式分解法解方程的专项练习，先对左侧多项式十字相乘因式分解求出两个根，再结合“有一个根大于2”的条件列不等式，即可求出$k$的取值范围。
【解析】
(1) 证明：在方程$3x^2-(k+3)x+k=0$中，$a=3$，$b=-(k+3)$，$c=k$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(k+3)]^2 - 4×3× k$
$=k^2+6k+9-12k$
$=k^2-6k+9$
$=(k-3)^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-3)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：对$3x^2-(k+3)x+k=0$左侧因式分解，用十字相乘法可得：
$(3x - k)(x - 1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=\frac{k}{3}$，
∵ $x_1=1＜2$，且方程有一个根大于2，
∴ 只能是$x_2=\frac{k}{3}＞2$，
解不等式得$k＞6$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k＞6$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题基础度较高，既考查了根的判别式的应用，也结合因式分解法解方程考查了参数范围求解，熟练掌握相关基础方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是判断根的判别式Δ的符号：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，只要$\Delta≥0$，方程就总有两个实数根。我们只需要代入系数计算$\Delta$，整理为平方的形式即可证明其非负。
(2) 本题属于因式分解法解方程的专项练习，先对左侧多项式十字相乘因式分解求出两个根，再结合“有一个根大于2”的条件列不等式，即可求出$k$的取值范围。
【解析】
(1) 证明：在方程$3x^2-(k+3)x+k=0$中，$a=3$，$b=-(k+3)$，$c=k$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = [-(k+3)]^2 - 4×3× k$
$=k^2+6k+9-12k$
$=k^2-6k+9$
$=(k-3)^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即$(k-3)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：对$3x^2-(k+3)x+k=0$左侧因式分解，用十字相乘法可得：
$(3x - k)(x - 1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=1$，$x_2=\frac{k}{3}$，
∵ $x_1=1＜2$，且方程有一个根大于2，
∴ 只能是$x_2=\frac{k}{3}＞2$，
解不等式得$k＞6$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k＞6$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式
【点评】
本题基础度较高，既考查了根的判别式的应用，也结合因式分解法解方程考查了参数范围求解，熟练掌握相关基础方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 我们知道可以用公式$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$来分解因式,解一元二次方程.
(1)$x^2+6x+8=0$,方程分解为$\_\_\_\_\_\_=0$;$x^2-7x-30=0$,方程分解为$\_\_\_\_\_\_=0$.
(2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如:$3x^2-7x+2=0$,方程可分解为$(x-2)(3x-1)=0$,从而可以快速求出方程的解.利用此方法解一元二次方程:$4x^2-8x-5=0$.
(1)$x^2+6x+8=0$,方程分解为$\_\_\_\_\_\_=0$;$x^2-7x-30=0$,方程分解为$\_\_\_\_\_\_=0$.
(2)爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如:$3x^2-7x+2=0$,方程可分解为$(x-2)(3x-1)=0$,从而可以快速求出方程的解.利用此方法解一元二次方程:$4x^2-8x-5=0$.
答案
(1)$(x+2)(x+4),(x-10)(x+3)$
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2)$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 对于二次项系数为1的一元二次方程，用十字相乘法分解时，需找到两个数p、q，满足两数乘积等于常数项、两数之和等于一次项系数，再代入十字相乘公式即可完成分解。
(2) 对于二次项系数不为1的一元二次方程，需将二次项系数、常数项分别拆分为两个因数的乘积，调整拆项方式直到交叉相乘的和等于一次项系数，即可将方程分解为两个一次因式乘积为0的形式，再分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) ①方程$x^2+6x+8=0$中，常数项8可拆为$2×4$，一次项系数6等于$2+4$，因此方程分解为$(x+2)(x+4)=0$；
②方程$x^2-7x-30=0$中，常数项-30可拆为$(-10)×3$，一次项系数-7等于$(-10)+3$，因此方程分解为$(x-10)(x+3)=0$。
(2) 解$4x^2-8x-5=0$：
将二次项系数4拆为$2×2$，常数项-5拆为$(-5)×1$，验证交叉相乘的和：$2x×1 + 2x×(-5)=-8x$，与一次项一致，因此方程可分解为：
$(2x-5)(2x+1)=0$
令两个一次因式分别为0，得：
$2x-5=0$ 或 $2x+1=0$
分别解得：
$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+2)(x+4)}$，$\boldsymbol{(x-10)(x+3)}$
(2) $\boldsymbol{x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}}$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查十字相乘法在一元二次方程求解中的应用，掌握十字相乘的拆项规则是解题核心，该方法能简化计算，是一元二次方程的常用求解技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 对于二次项系数为1的一元二次方程，用十字相乘法分解时，需找到两个数p、q，满足两数乘积等于常数项、两数之和等于一次项系数，再代入十字相乘公式即可完成分解。
(2) 对于二次项系数不为1的一元二次方程，需将二次项系数、常数项分别拆分为两个因数的乘积，调整拆项方式直到交叉相乘的和等于一次项系数，即可将方程分解为两个一次因式乘积为0的形式，再分别解两个一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
(1) ①方程$x^2+6x+8=0$中，常数项8可拆为$2×4$，一次项系数6等于$2+4$，因此方程分解为$(x+2)(x+4)=0$；
②方程$x^2-7x-30=0$中，常数项-30可拆为$(-10)×3$，一次项系数-7等于$(-10)+3$，因此方程分解为$(x-10)(x+3)=0$。
(2) 解$4x^2-8x-5=0$：
将二次项系数4拆为$2×2$，常数项-5拆为$(-5)×1$，验证交叉相乘的和：$2x×1 + 2x×(-5)=-8x$，与一次项一致，因此方程可分解为：
$(2x-5)(2x+1)=0$
令两个一次因式分别为0，得：
$2x-5=0$ 或 $2x+1=0$
分别解得：
$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+2)(x+4)}$，$\boldsymbol{(x-10)(x+3)}$
(2) $\boldsymbol{x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}}$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查十字相乘法在一元二次方程求解中的应用，掌握十字相乘的拆项规则是解题核心，该方法能简化计算，是一元二次方程的常用求解技巧。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 关于x的方程$x^2 + x - 3 = 0$（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是(
A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
1. 关于x的方程$x^2 + x - 3 = 0$（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是(
C
)A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况及根的符号，可分两步思考：第一步先通过根的判别式Δ判断方程是否有实数根；第二步若有实根，再利用根与系数的关系，通过两根之积的正负判断根的符号。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x - 3 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$。
1. 计算判别式判断实根情况：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 × 1 × (-3) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，排除D选项。
2. 利用根与系数的关系判断根的符号：
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则两根之积$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3 ＜ 0$，说明两个实数根异号，即一个正根、一个负根，可排除A、B选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础应用题型，解题时先通过判别式确认方程有实根，再根据两根乘积的正负快速判断根的符号，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况及根的符号，可分两步思考：第一步先通过根的判别式Δ判断方程是否有实数根；第二步若有实根，再利用根与系数的关系，通过两根之积的正负判断根的符号。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + x - 3 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$。
1. 计算判别式判断实根情况：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 × 1 × (-3) = 1 + 12 = 13 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，排除D选项。
2. 利用根与系数的关系判断根的符号：
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则两根之积$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3 ＜ 0$，说明两个实数根异号，即一个正根、一个负根，可排除A、B选项。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础应用题型，解题时先通过判别式确认方程有实根，再根据两根乘积的正负快速判断根的符号，熟练掌握相关基础知识点即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2. 已知一元二次方程$3x^2 -6x -1=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2$的值为(
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.-2
A
)A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.-2
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时无需解方程求出两根具体值，直接套用公式即可。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若其两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。解题第一步先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入公式计算，计算时注意符号不要出错。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当方程有两个实数根时，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
对应题目中的方程$3x^2 -6x -1=0$，可得：
$a=3$，$b=-6$，
代入公式计算得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{3}=\frac{6}{3}=2$。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查根与系数关系的直接应用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的符号，只要准确提取各项系数代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题时无需解方程求出两根具体值，直接套用公式即可。首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若其两根为$x_1,x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。解题第一步先从给定方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$，再代入公式计算，计算时注意符号不要出错。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当方程有两个实数根时，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
对应题目中的方程$3x^2 -6x -1=0$，可得：
$a=3$，$b=-6$，
代入公式计算得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{3}=\frac{6}{3}=2$。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查根与系数关系的直接应用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的符号，只要准确提取各项系数代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 设$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的两个根，则$x_1 + x_2 - x_1x_2$的值是(
A.0
B.-2
C.4
D.-4
C
)A.0
B.-2
C.4
D.-4
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先观察所求代数式是关于两根之和、两根之积的组合形式，无需解方程求出两根的具体值，直接利用韦达定理求解即可。第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的值；第三步将求得的结果代入所求代数式计算即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知一元二次方程为$x^2 - 2x - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-2$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1x_2$得：
原式$=2 - (-2)=2+2=4$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是熟记根与系数的关系公式，解题时要注意准确识别方程各项的系数，代入计算时要注意负号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先观察所求代数式是关于两根之和、两根之积的组合形式，无需解方程求出两根的具体值，直接利用韦达定理求解即可。第一步先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的值；第三步将求得的结果代入所求代数式计算即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知一元二次方程为$x^2 - 2x - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-2$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1x_2$得：
原式$=2 - (-2)=2+2=4$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是熟记根与系数的关系公式，解题时要注意准确识别方程各项的系数，代入计算时要注意负号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
4. 设$m,n$是一元二次方程$x^2+2x-7=0$的两个根,则$m^2+3m+n$的值为(
A.$-2$
B.$-5$
C.$-7$
D.$5$
D
)A.$-2$
B.$-5$
C.$-7$
D.$5$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时可分三步思考：①因为m是方程的根，根据一元二次方程根的定义，把x=m代入方程可得到m²+2m=7，能将所求式子中的二次项降次；②观察所求式子m²+3m+n，可拆分为(m²+2m)+(m+n)，其中m+n是方程两根之和，可通过根与系数的关系（韦达定理）直接求出；③将两个已知结果代入拆分后的式子即可算出最终值，不需要单独求出m、n的具体数值，简化计算。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2+2x-7=0$的根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2+2m-7=0$，即$m^2+2m=7$。
又
∵m、n是方程$x^2+2x-7=0$的两个根，
根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$。
对所求代数式变形可得：
$m^2+3m+n=(m^2+2m)+(m+n)$
将$m^2+2m=7$，$m+n=-2$代入上式：
原式$=7+(-2)=5$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查对根的定义和韦达定理的灵活运用，通过拆分变形避免了求解方程根的繁琐，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步思考：①因为m是方程的根，根据一元二次方程根的定义，把x=m代入方程可得到m²+2m=7，能将所求式子中的二次项降次；②观察所求式子m²+3m+n，可拆分为(m²+2m)+(m+n)，其中m+n是方程两根之和，可通过根与系数的关系（韦达定理）直接求出；③将两个已知结果代入拆分后的式子即可算出最终值，不需要单独求出m、n的具体数值，简化计算。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2+2x-7=0$的根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2+2m-7=0$，即$m^2+2m=7$。
又
∵m、n是方程$x^2+2x-7=0$的两个根，
根据根与系数的关系，两根之和$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$。
对所求代数式变形可得：
$m^2+3m+n=(m^2+2m)+(m+n)$
将$m^2+2m=7$，$m+n=-2$代入上式：
原式$=7+(-2)=5$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查对根的定义和韦达定理的灵活运用，通过拆分变形避免了求解方程根的繁琐，是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
