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17.(6分)解下列分式方程：
(1)$\frac{100}{x}=\frac{30}{x+7}$；
(2)$\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3-x}=\frac{12}{x^2-9}$。
(1)$\frac{100}{x}=\frac{30}{x+7}$；
(2)$\frac{1}{x+3}-\frac{2}{3-x}=\frac{12}{x^2-9}$。
答案
17. (1) 解:方程两边都乘$x(x+7)$,
得$100(x+7)=30x$.
解这个一元一次方程,得$x=-10$.
检验:当$x=-10$,$x(x+7)≠0$.
所以,$x=-10$是原分式方程的根.
(2) 解:方程两边都乘$(x+3)(x-3)$,
得$x-3+2(x+3)=12$.
解这个一元一次方程,得$x=3$.
检验:当$x=3$时,$(x+3)(x-3)=0$.
因此,$x=3$是原分式方程的增根,所以,原分式方程无解.
得$100(x+7)=30x$.
解这个一元一次方程,得$x=-10$.
检验:当$x=-10$,$x(x+7)≠0$.
所以,$x=-10$是原分式方程的根.
(2) 解:方程两边都乘$(x+3)(x-3)$,
得$x-3+2(x+3)=12$.
解这个一元一次方程,得$x=3$.
检验:当$x=3$时,$(x+3)(x-3)=0$.
因此,$x=3$是原分式方程的增根,所以,原分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解，最后必须检验根的合理性，步骤如下：①先确定各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④将求得的根代入最简公分母，若最简公分母不为0，就是原方程的根，若为0则是增根，原方程无解。
第(1)题分母为x和x+7，最简公分母为$x(x+7)$，乘公分母后可转化为一元一次方程求解；第(2)题先将$x^2-9$因式分解为$(x+3)(x-3)$，把$3-x$变形为$-(x-3)$，可得最简公分母为$(x+3)(x-3)$，去分母时注意符号变化，求解后完成检验即可。
【解析】
(1) 解：方程两边都乘$x(x+7)$，得
$100(x+7)=30x$
展开得$100x+700=30x$
移项、合并同类项得$70x=-700$
系数化为1得$x=-10$
检验：当$x=-10$时，$x(x+7)=(-10)×(-3)=30≠0$，所以$x=-10$是原分式方程的根。
(2) 解：先整理方程，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，原方程可变形为$\frac{1}{x+3}+\frac{2}{x-3}=\frac{12}{(x+3)(x-3)}$
方程两边都乘$(x+3)(x-3)$，得
$x-3+2(x+3)=12$
展开得$x-3+2x+6=12$
移项、合并同类项得$3x=9$
系数化为1得$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x+3)(x-3)=6×0=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=-10$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查去分母转化为整式方程的解题思路，易错点在于去分母时符号处理错误、漏乘项，以及忘记检验根的合理性，牢记解分式方程必须检验的步骤可有效避免失分。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解，最后必须检验根的合理性，步骤如下：①先确定各分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④将求得的根代入最简公分母，若最简公分母不为0，就是原方程的根，若为0则是增根，原方程无解。
第(1)题分母为x和x+7，最简公分母为$x(x+7)$，乘公分母后可转化为一元一次方程求解；第(2)题先将$x^2-9$因式分解为$(x+3)(x-3)$，把$3-x$变形为$-(x-3)$，可得最简公分母为$(x+3)(x-3)$，去分母时注意符号变化，求解后完成检验即可。
【解析】
(1) 解：方程两边都乘$x(x+7)$，得
$100(x+7)=30x$
展开得$100x+700=30x$
移项、合并同类项得$70x=-700$
系数化为1得$x=-10$
检验：当$x=-10$时，$x(x+7)=(-10)×(-3)=30≠0$，所以$x=-10$是原分式方程的根。
(2) 解：先整理方程，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，原方程可变形为$\frac{1}{x+3}+\frac{2}{x-3}=\frac{12}{(x+3)(x-3)}$
方程两边都乘$(x+3)(x-3)$，得
$x-3+2(x+3)=12$
展开得$x-3+2x+6=12$
移项、合并同类项得$3x=9$
系数化为1得$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x+3)(x-3)=6×0=0$，因此$x=3$是原分式方程的增根，所以原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=-10$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查去分母转化为整式方程的解题思路，易错点在于去分母时符号处理错误、漏乘项，以及忘记检验根的合理性，牢记解分式方程必须检验的步骤可有效避免失分。
【难度系数】
0.7
18.(6分)计算:
(1)$\frac{x}{x^2 -4} - \frac{1}{x-2}$；
(2)$\frac{m+n}{m-n} + \frac{2m}{n-m}$；
(3)$\frac{x-3}{x+3} ÷ \frac{x^2 -6x +9}{x^2 +3x} - \frac{2}{3 -x}$。
(1)$\frac{x}{x^2 -4} - \frac{1}{x-2}$；
(2)$\frac{m+n}{m-n} + \frac{2m}{n-m}$；
(3)$\frac{x-3}{x+3} ÷ \frac{x^2 -6x +9}{x^2 +3x} - \frac{2}{3 -x}$。
答案
(1) 原式
$= \frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$= -\frac{2}{x^2 - 4}$;
(2) 原式$= \frac{m + n}{m - n} - \frac{2m}{m - n} = \frac{n - m}{m - n} = -1$;
(3) 原式$= \frac{x - 3}{x + 3} × \frac{x(x + 3)}{(x - 3)^2} + \frac{2}{x - 3} = \frac{x + 2}{x - 3}.$
$= \frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$= -\frac{2}{x^2 - 4}$;
(2) 原式$= \frac{m + n}{m - n} - \frac{2m}{m - n} = \frac{n - m}{m - n} = -1$;
(3) 原式$= \frac{x - 3}{x + 3} × \frac{x(x + 3)}{(x - 3)^2} + \frac{2}{x - 3} = \frac{x + 2}{x - 3}.$
解析
【分析】
这三道题均为分式运算题，解题遵循分式运算的通用规则：①异分母分式加减先通分化为同分母分式，再将分子相加减、分母不变；②分式除法先转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行加减运算；③互为相反数的分母可通过提取负号变形，简化通分过程。
具体每道题的思考方向：(1)先对第一个分式的分母因式分解，确定最简公分母后通分，再计算分子减法；(2)观察到两个分母m-n与n-m互为相反数，将第二个分式变形为同分母分式后计算；(3)先计算除法部分，除号变乘号后因式分解约分，再将后面的分式变形为同分母，合并化简即可。
【解析】
(1) 先对分母因式分解得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，将第二个分式通分：
原式
$= \frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$= \frac{x-(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
$= -\frac{2}{x^2 - 4}$
(2) 由$n-m=-(m-n)$，将第二个分式变形为同分母分式：
原式$= \frac{m + n}{m - n} - \frac{2m}{m - n}$
$= \frac{m+n-2m}{m-n}$
$= \frac{n - m}{m - n} = -1$
(3) 先算除法，将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2+3x=x(x+3)$，再对最后一个分式变形$3-x=-(x-3)$：
原式$= \frac{x - 3}{x + 3} × \frac{x(x + 3)}{(x - 3)^2} + \frac{2}{x - 3}$
$= \frac{x}{x-3} + \frac{2}{x-3}$
$= \frac{x + 2}{x - 3}$
【答案】
(1) $-\frac{2}{x^2 - 4}$；(2) $-1$；(3) $\frac{x + 2}{x - 3}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式通分与约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察分式运算的基本规则，解题时要注意先因式分解分子分母简化运算，遇到互为相反数的分母时要注意符号的正确变化，运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
这三道题均为分式运算题，解题遵循分式运算的通用规则：①异分母分式加减先通分化为同分母分式，再将分子相加减、分母不变；②分式除法先转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行加减运算；③互为相反数的分母可通过提取负号变形，简化通分过程。
具体每道题的思考方向：(1)先对第一个分式的分母因式分解，确定最简公分母后通分，再计算分子减法；(2)观察到两个分母m-n与n-m互为相反数，将第二个分式变形为同分母分式后计算；(3)先计算除法部分，除号变乘号后因式分解约分，再将后面的分式变形为同分母，合并化简即可。
【解析】
(1) 先对分母因式分解得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，将第二个分式通分：
原式
$= \frac{x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$= \frac{x-(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
$= -\frac{2}{x^2 - 4}$
(2) 由$n-m=-(m-n)$，将第二个分式变形为同分母分式：
原式$= \frac{m + n}{m - n} - \frac{2m}{m - n}$
$= \frac{m+n-2m}{m-n}$
$= \frac{n - m}{m - n} = -1$
(3) 先算除法，将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2+3x=x(x+3)$，再对最后一个分式变形$3-x=-(x-3)$：
原式$= \frac{x - 3}{x + 3} × \frac{x(x + 3)}{(x - 3)^2} + \frac{2}{x - 3}$
$= \frac{x}{x-3} + \frac{2}{x-3}$
$= \frac{x + 2}{x - 3}$
【答案】
(1) $-\frac{2}{x^2 - 4}$；(2) $-1$；(3) $\frac{x + 2}{x - 3}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式通分与约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察分式运算的基本规则，解题时要注意先因式分解分子分母简化运算，遇到互为相反数的分母时要注意符号的正确变化，运算结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
19.(8分)先化简$(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1})÷\dfrac{a}{2a^2-2}$，然后从$1$、$\sqrt{2}$、$-1$中选取一个你认为合适的数作为$a$的值代入求值。
答案
解:$(\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}) ÷ \frac{a}{2a^2 - 2}$
$= (\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}) × \frac{2(a + 1)(a - 1)}{a}$
$= \frac{2(a + 1)}{a} - \frac{2(a - 1)}{a} = \frac{2a + 2 - 2a + 2}{a} = \frac{4}{a}$,
由于$a≠±1,0$,
所以当$a= \sqrt{2}$时,
原式$= \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.$
$= (\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1}) × \frac{2(a + 1)(a - 1)}{a}$
$= \frac{2(a + 1)}{a} - \frac{2(a - 1)}{a} = \frac{2a + 2 - 2a + 2}{a} = \frac{4}{a}$,
由于$a≠±1,0$,
所以当$a= \sqrt{2}$时,
原式$= \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：首先按照分式运算规则，先将除法转化为乘法，同时对多项式先因式分解；其次可以利用乘法分配律简化运算，也可先计算括号内的分式减法，再计算乘法，最后约分化简得到最简结果；最后要先确定原式有意义的a的取值范围，排除使所有分母为0的数值，再选取合适的a代入最简式计算结果。
【解析】
先对原式变形、化简：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1})÷\dfrac{a}{2a^2-2}&=(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1})×\dfrac{2(a^2-1)}{a}\\&=(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1})×\dfrac{2(a+1)(a-1)}{a}\\&=\dfrac{1}{a-1}×\dfrac{2(a+1)(a-1)}{a}-\dfrac{1}{a+1}×\dfrac{2(a+1)(a-1)}{a}\\&=\dfrac{2(a+1)}{a}-\dfrac{2(a-1)}{a}\\&=\dfrac{2a+2-2a+2}{a}\\&=\dfrac{4}{a}\end{aligned}$
要使原式有意义，则分母不能为0，即$a-1≠0$，$a+1≠0$，$a≠0$，得$a≠\pm1$且$a≠0$，因此只能选取$a=\sqrt{2}$代入：
原式$=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{4}{a}$，当$a=\sqrt{2}$时，原式的值为$2\sqrt{2}$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的典型常考题，易错点为选取a的取值时，忽略原式所有分母不能为0的要求，误选1或-1导致失分，计算过程中要注意通分、约分的准确性，代入后二次根式需要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：首先按照分式运算规则，先将除法转化为乘法，同时对多项式先因式分解；其次可以利用乘法分配律简化运算，也可先计算括号内的分式减法，再计算乘法，最后约分化简得到最简结果；最后要先确定原式有意义的a的取值范围，排除使所有分母为0的数值，再选取合适的a代入最简式计算结果。
【解析】
先对原式变形、化简：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1})÷\dfrac{a}{2a^2-2}&=(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1})×\dfrac{2(a^2-1)}{a}\\&=(\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{1}{a+1})×\dfrac{2(a+1)(a-1)}{a}\\&=\dfrac{1}{a-1}×\dfrac{2(a+1)(a-1)}{a}-\dfrac{1}{a+1}×\dfrac{2(a+1)(a-1)}{a}\\&=\dfrac{2(a+1)}{a}-\dfrac{2(a-1)}{a}\\&=\dfrac{2a+2-2a+2}{a}\\&=\dfrac{4}{a}\end{aligned}$
要使原式有意义，则分母不能为0，即$a-1≠0$，$a+1≠0$，$a≠0$，得$a≠\pm1$且$a≠0$，因此只能选取$a=\sqrt{2}$代入：
原式$=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{4}{a}$，当$a=\sqrt{2}$时，原式的值为$2\sqrt{2}$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的典型常考题，易错点为选取a的取值时，忽略原式所有分母不能为0的要求，误选1或-1导致失分，计算过程中要注意通分、约分的准确性，代入后二次根式需要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
20.(8分)若$\frac{4}{a+1}$表示一个整数，则整数a可以取哪些值？
答案
20. 解:易知$a+1=±1,a+1=±2,a+1=±4$,
解得$a=0$或$a=-2$或$a=1$或$a=-3$或$a=3$或$a=-5$.
∴整数$a$可以取0、-2、1、-3、3、-5.
解得$a=0$或$a=-2$或$a=1$或$a=-3$或$a=3$或$a=-5$.
∴整数$a$可以取0、-2、1、-3、3、-5.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确核心逻辑：若分式的值为整数，且分子、分母均为整数时，分母一定是分子的整数约数（包含正约数和负约数）。本题中分子是4，首先找出4的所有整数约数，再令分母$a+1$分别等于这些约数，逐一求解即可得到整数$a$的取值，注意不要遗漏负约数，避免漏解。
【解析】
解：$\because \frac{4}{a+1}$表示整数，且$a$为整数，
$\therefore a+1$是4的整数因数，4的所有整数因数为$\pm1、\pm2、\pm4$，分情况讨论：
1. 当$a+1=1$时，解得$a=0$；
2. 当$a+1=-1$时，解得$a=-2$；
3. 当$a+1=2$时，解得$a=1$；
4. 当$a+1=-2$时，解得$a=-3$；
5. 当$a+1=4$时，解得$a=3$；
6. 当$a+1=-4$时，解得$a=-5$。
【答案】
整数$a$可以取0、-2、1、-3、3、-5。
【知识点】
1. 整除的性质 2. 分式值为整数的条件 3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式相关的基础常考题型，解题核心是掌握分式值为整数时的取值规律，解题时需注意兼顾正负约数两种情况，避免因遗漏负约数出现漏解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确核心逻辑：若分式的值为整数，且分子、分母均为整数时，分母一定是分子的整数约数（包含正约数和负约数）。本题中分子是4，首先找出4的所有整数约数，再令分母$a+1$分别等于这些约数，逐一求解即可得到整数$a$的取值，注意不要遗漏负约数，避免漏解。
【解析】
解：$\because \frac{4}{a+1}$表示整数，且$a$为整数，
$\therefore a+1$是4的整数因数，4的所有整数因数为$\pm1、\pm2、\pm4$，分情况讨论：
1. 当$a+1=1$时，解得$a=0$；
2. 当$a+1=-1$时，解得$a=-2$；
3. 当$a+1=2$时，解得$a=1$；
4. 当$a+1=-2$时，解得$a=-3$；
5. 当$a+1=4$时，解得$a=3$；
6. 当$a+1=-4$时，解得$a=-5$。
【答案】
整数$a$可以取0、-2、1、-3、3、-5。
【知识点】
1. 整除的性质 2. 分式值为整数的条件 3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式相关的基础常考题型，解题核心是掌握分式值为整数时的取值规律，解题时需注意兼顾正负约数两种情况，避免因遗漏负约数出现漏解。
【难度系数】
0.7
21. (8分)已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=3$，求代数式$\frac{2a -5ab +4b}{4ab -3a -6b}$的值.
答案
解:由$\frac{1}{a} + \frac{1}{2b} = 3$可得$\frac{2b + a}{2ab} = 3$.
∴$a + 2b = 6ab$.
原式$= \frac{2(a + 2b) - 5ab}{4ab - 3(a + 2b)}$
$= \frac{2×6ab - 5ab}{4ab - 3×6ab}$
$= \frac{7ab}{-14ab} = -\frac{1}{2}.$
∴$a + 2b = 6ab$.
原式$= \frac{2(a + 2b) - 5ab}{4ab - 3(a + 2b)}$
$= \frac{2×6ab - 5ab}{4ab - 3×6ab}$
$= \frac{7ab}{-14ab} = -\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
观察题目可知，已知条件仅给出一个含两个未知数的分式等式，无法求出a、b的具体取值，因此需采用整体代入法求解。第一步先对已知等式通分，整理得到a+2b与ab的数量关系；第二步将待求代数式的分子、分母变形，拼凑出含有a+2b和ab的整体结构；第三步将得到的关系整体代入待求式，约分后即可得到结果。
【解析】
解：由$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=3$，对左侧通分得$\frac{2b + a}{2ab}=3$，
由原式可知$a≠0、b≠0$，因此$ab≠0$，两边同乘$2ab$得：$a + 2b = 6ab$。
对待求式变形整理：
$\frac{2a -5ab +4b}{4ab -3a -6b}=\frac{2(a + 2b) - 5ab}{4ab - 3(a + 2b)}$
将$a + 2b = 6ab$代入上式：
原式$=\frac{2×6ab - 5ab}{4ab - 3×6ab}=\frac{12ab - 5ab}{4ab - 18ab}=\frac{7ab}{-14ab}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值；整体代入思想；分式的基本性质
【点评】
本题是分式化简求值的常见典型题，核心考查整体代入的解题思想，不需要计算单个未知数的取值，只需对已知条件和待求式做合理变形，找到可整体代换的式子即可简化计算，解题时要注意整体拼凑时的系数准确性，避免变形出错。
【难度系数】
0.7
观察题目可知，已知条件仅给出一个含两个未知数的分式等式，无法求出a、b的具体取值，因此需采用整体代入法求解。第一步先对已知等式通分，整理得到a+2b与ab的数量关系；第二步将待求代数式的分子、分母变形，拼凑出含有a+2b和ab的整体结构；第三步将得到的关系整体代入待求式，约分后即可得到结果。
【解析】
解：由$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=3$，对左侧通分得$\frac{2b + a}{2ab}=3$，
由原式可知$a≠0、b≠0$，因此$ab≠0$，两边同乘$2ab$得：$a + 2b = 6ab$。
对待求式变形整理：
$\frac{2a -5ab +4b}{4ab -3a -6b}=\frac{2(a + 2b) - 5ab}{4ab - 3(a + 2b)}$
将$a + 2b = 6ab$代入上式：
原式$=\frac{2×6ab - 5ab}{4ab - 3×6ab}=\frac{12ab - 5ab}{4ab - 18ab}=\frac{7ab}{-14ab}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值；整体代入思想；分式的基本性质
【点评】
本题是分式化简求值的常见典型题，核心考查整体代入的解题思想，不需要计算单个未知数的取值，只需对已知条件和待求式做合理变形，找到可整体代换的式子即可简化计算，解题时要注意整体拼凑时的系数准确性，避免变形出错。
【难度系数】
0.7
22.(10分)例:若$\frac{3x-2}{x+1}=3+\frac{m}{x+1}$,求$m$的值.小刚在做的时候想到一种方法如下:
解:$\frac{3x-2}{x+1}=\frac{3(x+1)-3-2}{x+1}=\frac{3(x+1)-5}{x+1}=3-\frac{5}{x+1}$,
由$\frac{3x-2}{x+1}=3+\frac{m}{x+1}$,可知$m=-5$.
此方法经过查证,叫作分离整式法,请利用此方法解决下列问题.
(1)若$\frac{5x-3}{x+2}=5+\frac{k}{x+2}$,则$k$的值为
(2)若代数式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数,求满足条件的整数$x$的值.
解:$\frac{3x-2}{x+1}=\frac{3(x+1)-3-2}{x+1}=\frac{3(x+1)-5}{x+1}=3-\frac{5}{x+1}$,
由$\frac{3x-2}{x+1}=3+\frac{m}{x+1}$,可知$m=-5$.
此方法经过查证,叫作分离整式法,请利用此方法解决下列问题.
(1)若$\frac{5x-3}{x+2}=5+\frac{k}{x+2}$,则$k$的值为
-13
;(2)若代数式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数,求满足条件的整数$x$的值.
答案
22. (1) -13
(2) 解:$\frac{4x - 3}{x - 1} = \frac{4(x - 1) + 4 - 3}{x - 1} = 4 + \frac{1}{x - 1}$
要使$\frac{4x - 3}{x - 1}$的值为整数,
即$\frac{1}{x - 1}$的值为整数.
∴$x - 1$为1的因数且$x≠1$.
∵$x$为整数,
∴$x$的值为2或0.
(2) 解:$\frac{4x - 3}{x - 1} = \frac{4(x - 1) + 4 - 3}{x - 1} = 4 + \frac{1}{x - 1}$
要使$\frac{4x - 3}{x - 1}$的值为整数,
即$\frac{1}{x - 1}$的值为整数.
∴$x - 1$为1的因数且$x≠1$.
∵$x$为整数,
∴$x$的值为2或0.
解析
【分析】
本题考查分离整式法的应用，解题思路如下：
(1) 仿照题中给出的分离整式法，将等式左侧分式的分子凑成分母的倍数与常数的和的形式，拆分分式后与右侧式子对比，即可直接求出k的值；
(2) 先用分离整式法将给定的代数式拆分为“整数+分式”的形式，要使整个代数式的值为整数，则拆分后的分式部分的值必须为整数，即分式的分母是分子的整数因数，同时注意分母不能为0，结合x为整数的条件即可求出x的取值。
【解析】
(1) 对左侧分式分离整式：
$\frac{5x-3}{x+2}=\frac{5(x+2)-10-3}{x+2}=\frac{5(x+2)-13}{x+2}=5-\frac{13}{x+2}$
已知$\frac{5x-3}{x+2}=5+\frac{k}{x+2}$，对比可得$k=-13$。
(2) 先对代数式分离整式：
$\frac{4x - 3}{x - 1} = \frac{4(x - 1) + 4 - 3}{x - 1} = \frac{4(x - 1) + 1}{x - 1}=4 + \frac{1}{x - 1}$
要使$\frac{4x - 3}{x - 1}$的值为整数，则$\frac{1}{x - 1}$的值必须为整数，且分母$x-1≠0$即$x≠1$。
∵$x$为整数，
∴$x-1$是1的整数因数，1的整数因数为$\pm1$：
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=-1$时，$x=0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) 满足条件的整数$x$的值为$\boldsymbol{0}$和$\boldsymbol{2}$
【知识点】
分离整式法，分式有意义的条件，整数因数的性质
【点评】
本题核心是掌握分离整式法的凑项技巧，第二问需要结合整数的性质求解，解题时注意不要遗漏分母不为0的限制条件，属于基础方法的应用类题目。
【难度系数】
0.7
本题考查分离整式法的应用，解题思路如下：
(1) 仿照题中给出的分离整式法，将等式左侧分式的分子凑成分母的倍数与常数的和的形式，拆分分式后与右侧式子对比，即可直接求出k的值；
(2) 先用分离整式法将给定的代数式拆分为“整数+分式”的形式，要使整个代数式的值为整数，则拆分后的分式部分的值必须为整数，即分式的分母是分子的整数因数，同时注意分母不能为0，结合x为整数的条件即可求出x的取值。
【解析】
(1) 对左侧分式分离整式：
$\frac{5x-3}{x+2}=\frac{5(x+2)-10-3}{x+2}=\frac{5(x+2)-13}{x+2}=5-\frac{13}{x+2}$
已知$\frac{5x-3}{x+2}=5+\frac{k}{x+2}$，对比可得$k=-13$。
(2) 先对代数式分离整式：
$\frac{4x - 3}{x - 1} = \frac{4(x - 1) + 4 - 3}{x - 1} = \frac{4(x - 1) + 1}{x - 1}=4 + \frac{1}{x - 1}$
要使$\frac{4x - 3}{x - 1}$的值为整数，则$\frac{1}{x - 1}$的值必须为整数，且分母$x-1≠0$即$x≠1$。
∵$x$为整数，
∴$x-1$是1的整数因数，1的整数因数为$\pm1$：
当$x-1=1$时，$x=2$；
当$x-1=-1$时，$x=0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-13}$；(2) 满足条件的整数$x$的值为$\boldsymbol{0}$和$\boldsymbol{2}$
【知识点】
分离整式法，分式有意义的条件，整数因数的性质
【点评】
本题核心是掌握分离整式法的凑项技巧，第二问需要结合整数的性质求解，解题时注意不要遗漏分母不为0的限制条件，属于基础方法的应用类题目。
【难度系数】
0.7
