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23.(11分)某校为落实劳动教育课程,在校园内开辟了一片劳动实践基地,计划种植番茄和黄瓜两种作物.学校后勤处第一次采购种子情况如下:购买番茄种子的总费用为2 400元,购买黄瓜种子的总费用为1 600元,购买番茄种子的袋数比黄瓜种子少40袋,每袋番茄种子的价格是每袋黄瓜种子价格的2倍.
(1)每袋番茄种子和黄瓜种子的价格分别是多少元?
(2)为满足春耕需要,学校决定再次购买这两种种子共100袋,价格不变.考虑到黄瓜生长周期较短、产量较高,学校计划购买黄瓜种子的袋数不超过番茄种子袋数的2倍,并且本次采购总费用不超过1 360元.请你通过计算说明共有多少种不同的购买方案.
(1)每袋番茄种子和黄瓜种子的价格分别是多少元?
(2)为满足春耕需要,学校决定再次购买这两种种子共100袋,价格不变.考虑到黄瓜生长周期较短、产量较高,学校计划购买黄瓜种子的袋数不超过番茄种子袋数的2倍,并且本次采购总费用不超过1 360元.请你通过计算说明共有多少种不同的购买方案.
答案
23. 解:(1)设每袋黄瓜种子的价格为$x$元,
根据题意得:$\frac{1600}{x} - \frac{2400}{2x} = 40$,
解得$x=10$,
经检验,$x=10$是分式方程的解,
此时$2×10=20$(元),
答:每袋黄瓜种子的价格为10元,每袋番茄种子的价格是20元.
(2)设购买番茄种子$m$袋,$m$为正整数;
根据题意得:$\begin{cases} 100 - m ≤ 2m, \\ 20m + 10(100 - m) ≤ 1360, \end{cases}$
解得$\frac{100}{3} ≤ m ≤ 36$,
∵$m$为正整数,
∴$m$取34,35,36,
共3个不同的值,对应3种不同的购买方案.
答:共有3种不同的购买方案.
根据题意得:$\frac{1600}{x} - \frac{2400}{2x} = 40$,
解得$x=10$,
经检验,$x=10$是分式方程的解,
此时$2×10=20$(元),
答:每袋黄瓜种子的价格为10元,每袋番茄种子的价格是20元.
(2)设购买番茄种子$m$袋,$m$为正整数;
根据题意得:$\begin{cases} 100 - m ≤ 2m, \\ 20m + 10(100 - m) ≤ 1360, \end{cases}$
解得$\frac{100}{3} ≤ m ≤ 36$,
∵$m$为正整数,
∴$m$取34,35,36,
共3个不同的值,对应3种不同的购买方案.
答:共有3种不同的购买方案.
解析
【分析】
(1) 本题属于分式方程实际应用问题，核心利用“数量=总价÷单价”的基本关系解题。首先提取等量关系：购买黄瓜种子的袋数 - 购买番茄种子的袋数 = 40袋。我们可以设每袋黄瓜种子价格为x元，由题意得每袋番茄种子价格为2x元，分别用总价除以单价表示出两种种子的购买数量，代入等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 本题属于不等式组结合方案设计的问题，需要先提取题干中的不等关系：①黄瓜种子袋数 ≤ 2×番茄种子袋数；②本次采购总费用 ≤ 1360元。设购买番茄种子m袋，则黄瓜种子为(100-m)袋，将两个不等关系转化为不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数的实际要求，统计符合条件的m的个数，即为购买方案的数量。
【解析】
(1) 设每袋黄瓜种子的价格为$x$元，则每袋番茄种子的价格为$2x$元。
根据题意列方程：
$\frac{1600}{x} - \frac{2400}{2x} = 40$
化简得$\frac{1600}{x} - \frac{1200}{x} = 40$，即$\frac{400}{x}=40$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则每袋番茄种子的价格为$2×10=20$（元）。
(2) 设购买番茄种子$m$袋（$m$为正整数），则购买黄瓜种子$(100 - m)$袋。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 100 - m ≤ 2m \\ 20m + 10(100 - m) ≤ 1360 \end{cases}$
解第一个不等式：$100 ≤ 3m$，得$m ≥ \frac{100}{3}$；
解第二个不等式：$20m + 1000 - 10m ≤ 1360$，化简得$10m ≤ 360$，得$m ≤ 36$。
因此不等式组的解集为$\frac{100}{3} ≤ m ≤ 36$。
∵$m$为正整数，
∴$m$可取34、35、36，共3个取值，对应3种不同的购买方案。
【答案】
(1) 每袋黄瓜种子的价格为10元，每袋番茄种子的价格为20元；
(2) 共有3种不同的购买方案。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；方案设计问题
【点评】
本题是结合生活实际的代数综合应用题，侧重考查学生提取题干等量关系、不等关系的能力，解题时要注意分式方程必须检验根是否符合实际意义，求解不等式组后要结合实际场景取整数解，是方程与不等式综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于分式方程实际应用问题，核心利用“数量=总价÷单价”的基本关系解题。首先提取等量关系：购买黄瓜种子的袋数 - 购买番茄种子的袋数 = 40袋。我们可以设每袋黄瓜种子价格为x元，由题意得每袋番茄种子价格为2x元，分别用总价除以单价表示出两种种子的购买数量，代入等量关系列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 本题属于不等式组结合方案设计的问题，需要先提取题干中的不等关系：①黄瓜种子袋数 ≤ 2×番茄种子袋数；②本次采购总费用 ≤ 1360元。设购买番茄种子m袋，则黄瓜种子为(100-m)袋，将两个不等关系转化为不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数的实际要求，统计符合条件的m的个数，即为购买方案的数量。
【解析】
(1) 设每袋黄瓜种子的价格为$x$元，则每袋番茄种子的价格为$2x$元。
根据题意列方程：
$\frac{1600}{x} - \frac{2400}{2x} = 40$
化简得$\frac{1600}{x} - \frac{1200}{x} = 40$，即$\frac{400}{x}=40$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则每袋番茄种子的价格为$2×10=20$（元）。
(2) 设购买番茄种子$m$袋（$m$为正整数），则购买黄瓜种子$(100 - m)$袋。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 100 - m ≤ 2m \\ 20m + 10(100 - m) ≤ 1360 \end{cases}$
解第一个不等式：$100 ≤ 3m$，得$m ≥ \frac{100}{3}$；
解第二个不等式：$20m + 1000 - 10m ≤ 1360$，化简得$10m ≤ 360$，得$m ≤ 36$。
因此不等式组的解集为$\frac{100}{3} ≤ m ≤ 36$。
∵$m$为正整数，
∴$m$可取34、35、36，共3个取值，对应3种不同的购买方案。
【答案】
(1) 每袋黄瓜种子的价格为10元，每袋番茄种子的价格为20元；
(2) 共有3种不同的购买方案。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；方案设计问题
【点评】
本题是结合生活实际的代数综合应用题，侧重考查学生提取题干等量关系、不等关系的能力，解题时要注意分式方程必须检验根是否符合实际意义，求解不等式组后要结合实际场景取整数解，是方程与不等式综合应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
24.(12分)定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:$\frac{4x^2 -8x}{x-2}=\frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,$4x$为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)下列分式中是“巧分式”的有
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$
;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$.
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$(m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求m的值;
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$.
①求整式A;
②$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$
是“巧分式”吗?
(1)下列分式中是“巧分式”的有
①③
(填序号);①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$
;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x + y}$.(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+3}$(m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求m的值;
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$.
①求整式A;
②$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$
是“巧分式”吗?答案
24. (1) ①③
(2) 解:
∵分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + 3}$($m$为常数)是一个"巧分式",它的"巧整式"为$x-7$,
∴$(x+3)(x-7) = x^2 -4x + m$,
∴$x^2 -4x -21 = x^2 -4x + m$,
∴$m=-21$;
(3) ① 解:
∵分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的"巧整式"为$1-x$.
∴$A= \frac{-2x^3 + 2x}{1 - x}$,
∴$A= \frac{2x(1 - x^2)}{1 - x}$
$= \frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}$
$= 2x(1 + x)$,
即$A=2x^2 + 2x$;
② 解:
∵$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{2x^2 + 2x}$
$= \frac{2x(x^2 + 2x + 1)}{2x(x + 1)}$
$= \frac{(x + 1)^2}{(x + 1)} = x + 1$,
又$x+1$是整式,
∴原式是"巧分式".
(2) 解:
∵分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + 3}$($m$为常数)是一个"巧分式",它的"巧整式"为$x-7$,
∴$(x+3)(x-7) = x^2 -4x + m$,
∴$x^2 -4x -21 = x^2 -4x + m$,
∴$m=-21$;
(3) ① 解:
∵分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的"巧整式"为$1-x$.
∴$A= \frac{-2x^3 + 2x}{1 - x}$,
∴$A= \frac{2x(1 - x^2)}{1 - x}$
$= \frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}$
$= 2x(1 + x)$,
即$A=2x^2 + 2x$;
② 解:
∵$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{2x^2 + 2x}$
$= \frac{2x(x^2 + 2x + 1)}{2x(x + 1)}$
$= \frac{(x + 1)^2}{(x + 1)} = x + 1$,
又$x+1$是整式,
∴原式是"巧分式".
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“巧分式”“巧整式”的定义：若分式约分后为整式，则该分式是巧分式，约分得到的整式就是巧整式。
(1) 逐个判断三个分式约分后是否为整式即可：①分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约去后得到整式，符合定义；②分子分母没有公因式，约分后仍为分式，不符合定义；③分子可由平方差公式分解，约去公因式$x+y$后得到整式，符合定义。
(2) 根据巧分式的定义，分子=分母×巧整式，将等式右边展开后对比同类项系数即可求出$m$的值。
(3) ①根据分式运算关系，分母$A$=分子÷巧整式，对分子因式分解后约分即可得到整式$A$；②将求出的$A$代入分式，对分子因式分解后约分，判断结果是否为整式，即可确定是不是巧分式。
【解析】
(1) 逐一分析：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=2x-3$，约分后是整式，属于巧分式；
②$\frac{2x+5}{x+3}=2-\frac{1}{x+3}$，结果不是整式，不属于巧分式；
③$\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}=x-y$，约分后是整式，属于巧分式。
故填①③。
(2) 解：
∵分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + 3}$是“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$，
∴$(x+3)(x-7) = x^2 -4x + m$，
展开左边得$x^2 -4x -21 = x^2 -4x + m$，
对比等式两边常数项可得$m=-21$。
(3) ① 解：
∵分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，
∴$A= \frac{-2x^3 + 2x}{1 - x}$，
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$，
代入化简得$A=\frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}=2x(1 + x)=2x^2 + 2x$。
② 解：
将$A=2x^2+2x$代入分式得：
$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{2x^2 + 2x}=\frac{2x(x^2 + 2x + 1)}{2x(x + 1)}=\frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1$，
∵$x+1$是整式，
∴该分式是“巧分式”。
【答案】
(1) ①③
(2) $m=-21$
(3) ①$A=2x^2+2x$；②是“巧分式”
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，整式乘除运算
【点评】
本题以新定义为载体，考查对新概念的理解能力和代数运算能力，解题的关键是紧扣新定义，结合分式约分、因式分解等基础知识点逐步推导，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“巧分式”“巧整式”的定义：若分式约分后为整式，则该分式是巧分式，约分得到的整式就是巧整式。
(1) 逐个判断三个分式约分后是否为整式即可：①分子分母有公因式$(x-1)(x+2)$，约去后得到整式，符合定义；②分子分母没有公因式，约分后仍为分式，不符合定义；③分子可由平方差公式分解，约去公因式$x+y$后得到整式，符合定义。
(2) 根据巧分式的定义，分子=分母×巧整式，将等式右边展开后对比同类项系数即可求出$m$的值。
(3) ①根据分式运算关系，分母$A$=分子÷巧整式，对分子因式分解后约分即可得到整式$A$；②将求出的$A$代入分式，对分子因式分解后约分，判断结果是否为整式，即可确定是不是巧分式。
【解析】
(1) 逐一分析：
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=2x-3$，约分后是整式，属于巧分式；
②$\frac{2x+5}{x+3}=2-\frac{1}{x+3}$，结果不是整式，不属于巧分式；
③$\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}=x-y$，约分后是整式，属于巧分式。
故填①③。
(2) 解：
∵分式$\frac{x^2 - 4x + m}{x + 3}$是“巧分式”，它的“巧整式”为$x-7$，
∴$(x+3)(x-7) = x^2 -4x + m$，
展开左边得$x^2 -4x -21 = x^2 -4x + m$，
对比等式两边常数项可得$m=-21$。
(3) ① 解：
∵分式$\frac{-2x^3 + 2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$，
∴$A= \frac{-2x^3 + 2x}{1 - x}$，
对分子因式分解：$-2x^3+2x=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$，
代入化简得$A=\frac{2x(1 - x)(1 + x)}{1 - x}=2x(1 + x)=2x^2 + 2x$。
② 解：
将$A=2x^2+2x$代入分式得：
$\frac{2x^3 + 4x^2 + 2x}{2x^2 + 2x}=\frac{2x(x^2 + 2x + 1)}{2x(x + 1)}=\frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1$，
∵$x+1$是整式，
∴该分式是“巧分式”。
【答案】
(1) ①③
(2) $m=-21$
(3) ①$A=2x^2+2x$；②是“巧分式”
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，整式乘除运算
【点评】
本题以新定义为载体，考查对新概念的理解能力和代数运算能力，解题的关键是紧扣新定义，结合分式约分、因式分解等基础知识点逐步推导，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
