登录
一、选择题(下列各题的备选答案中,有且仅有一个答案是正确的,每小题3分,共30分)
1. 下列计算正确的是 （
A.$(a^2b)^2=a^2b^2$
B.$a^6÷ a^2=a^3$
C.$(3xy^2)^2=6x^2y^4$
D.$(-m)^7÷ (-m)^2=-m^5$
1. 下列计算正确的是 （
D
）A.$(a^2b)^2=a^2b^2$
B.$a^6÷ a^2=a^3$
C.$(3xy^2)^2=6x^2y^4$
D.$(-m)^7÷ (-m)^2=-m^5$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需要逐一根据积的乘方、同底数幂除法、幂的乘方的运算法则，对每个选项的计算结果进行验证，排除错误选项后选出正确答案即可。
【解析】
我们依次分析每个选项：
选项A：根据积的乘方法则，$(a^2b)^2=(a^2)^2· b^2=a^4b^2≠ a^2b^2$，故A错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，$a^6÷ a^2=a^{6-2}=a^4≠ a^3$，故B错误；
选项C：根据积的乘方法则，$(3xy^2)^2=3^2· x^2· (y^2)^2=9x^2y^4≠ 6x^2y^4$，故C错误；
选项D：根据同底数幂的除法法则，$(-m)^7÷ (-m)^2=(-m)^{7-2}=(-m)^5=-m^5$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的各类运算法则的应用，做题时要注意区分不同法则的指数运算规则，同时不要忽略系数的乘方运算，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题时需要逐一根据积的乘方、同底数幂除法、幂的乘方的运算法则，对每个选项的计算结果进行验证，排除错误选项后选出正确答案即可。
【解析】
我们依次分析每个选项：
选项A：根据积的乘方法则，$(a^2b)^2=(a^2)^2· b^2=a^4b^2≠ a^2b^2$，故A错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，$a^6÷ a^2=a^{6-2}=a^4≠ a^3$，故B错误；
选项C：根据积的乘方法则，$(3xy^2)^2=3^2· x^2· (y^2)^2=9x^2y^4≠ 6x^2y^4$，故C错误；
选项D：根据同底数幂的除法法则，$(-m)^7÷ (-m)^2=(-m)^{7-2}=(-m)^5=-m^5$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的各类运算法则的应用，做题时要注意区分不同法则的指数运算规则，同时不要忽略系数的乘方运算，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如果把分式$\frac{10x}{2x - 3y}$中的$x$和$y$都变为原来的10倍，那么分式的值 （
A.不变
B.缩小为原来的十分之一
C.扩大为原来的10倍
D.扩大为原来的100倍
A
）A.不变
B.缩小为原来的十分之一
C.扩大为原来的10倍
D.扩大为原来的100倍
答案
2. A
解析
【分析】
解决这类分式变量同倍数变化后值的变化问题，思路非常明确：首先按照题目要求，把原式中的x、y分别替换为扩大10倍后的10x、10y，得到新的分式；再利用分式的基本性质对新分式化简，最后将化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
根据题意，将原分式中的x替换为10x，y替换为10y，代入得到新分式：
$\frac{10× 10x}{2× 10x - 3× 10y}$
分别化简分子和分母：
分子：$10× 10x=100x$
分母提取公因式10可得：$2×10x -3×10y=10(2x-3y)$
因此新分式可整理为：
$\frac{100x}{10(2x-3y)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的10，约分后得$\frac{10x}{2x-3y}$，和原分式完全相等，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确按照题意替换变量，再结合分式基本性质化简对比即可，不要凭主观臆断直接判断结果。
【难度系数】
0.9
解决这类分式变量同倍数变化后值的变化问题，思路非常明确：首先按照题目要求，把原式中的x、y分别替换为扩大10倍后的10x、10y，得到新的分式；再利用分式的基本性质对新分式化简，最后将化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
根据题意，将原分式中的x替换为10x，y替换为10y，代入得到新分式：
$\frac{10× 10x}{2× 10x - 3× 10y}$
分别化简分子和分母：
分子：$10× 10x=100x$
分母提取公因式10可得：$2×10x -3×10y=10(2x-3y)$
因此新分式可整理为：
$\frac{100x}{10(2x-3y)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的10，约分后得$\frac{10x}{2x-3y}$，和原分式完全相等，因此分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确按照题意替换变量，再结合分式基本性质化简对比即可，不要凭主观臆断直接判断结果。
【难度系数】
0.9
3. 已知$a=2b$，则$\frac{a - b}{a + b}$的值为（
A.3
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.$\frac{1}{3}$
D
）A.3
B.$\frac{1}{2}$
C.2
D.$\frac{1}{3}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题给出了a和b的等量关系，要求分式的值，解题时可以利用代入消元的思路：首先将a用含b的式子替换，代入到待求的分式中，再根据分式的基本性质化简即可得到结果，要注意分式有意义的隐含条件是分母不为0，因此b≠0，可以约去分子分母的公因式b。
【解析】
已知$a=2b$，由分式有意义的条件可得$a+b≠0$，即$2b + b = 3b≠0$，因此$b≠0$。
将$a=2b$代入$\frac{a - b}{a + b}$中计算：
$\frac{a - b}{a + b}=\frac{2b - b}{2b + b}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
代数式代入求值；分式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入消元法求代数式的值，只要将已知的等量关系代入待求式化简即可得到结果，解题时注意不要混淆分子分母的运算，同时牢记分式有意义的隐含条件即可。
【难度系数】
0.9
本题给出了a和b的等量关系，要求分式的值，解题时可以利用代入消元的思路：首先将a用含b的式子替换，代入到待求的分式中，再根据分式的基本性质化简即可得到结果，要注意分式有意义的隐含条件是分母不为0，因此b≠0，可以约去分子分母的公因式b。
【解析】
已知$a=2b$，由分式有意义的条件可得$a+b≠0$，即$2b + b = 3b≠0$，因此$b≠0$。
将$a=2b$代入$\frac{a - b}{a + b}$中计算：
$\frac{a - b}{a + b}=\frac{2b - b}{2b + b}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}$
【答案】
D
【知识点】
代数式代入求值；分式的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代入消元法求代数式的值，只要将已知的等量关系代入待求式化简即可得到结果，解题时注意不要混淆分子分母的运算，同时牢记分式有意义的隐含条件即可。
【难度系数】
0.9
4.若$(5x+2)(3-x)=-5x^2+kx+p$，则代数式$(k-p)^2$的值为（
A.98
B.49
C.14
D.7
B
）A.98
B.49
C.14
D.7
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先利用多项式乘多项式的法则展开等式左侧的乘积，合并同类项后，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，求出k、p的值，最后代入代数式$(k-p)^2$计算即可得到结果。
【解析】
首先展开等式左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(5x+2)(3-x)&=5x·3 + 5x·(-x) + 2·3 + 2·(-x)\\&=15x -5x^2 +6 -2x\\&=-5x^2 +13x +6\end{aligned}$
已知$(5x+2)(3-x)=-5x^2+kx+p$，因此左右两边多项式的对应项系数相等，可得：
一次项系数$k=13$，常数项$p=6$。
将$k=13$、$p=6$代入$(k-p)^2$得：
$(k-p)^2=(13-6)^2=7^2=49$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件；代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是掌握多项式乘法的运算法则，要注意展开计算时不要弄错各项的符号，多项式相等时对应项系数相等是求解参数的常用方法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用多项式乘多项式的法则展开等式左侧的乘积，合并同类项后，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，求出k、p的值，最后代入代数式$(k-p)^2$计算即可得到结果。
【解析】
首先展开等式左边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(5x+2)(3-x)&=5x·3 + 5x·(-x) + 2·3 + 2·(-x)\\&=15x -5x^2 +6 -2x\\&=-5x^2 +13x +6\end{aligned}$
已知$(5x+2)(3-x)=-5x^2+kx+p$，因此左右两边多项式的对应项系数相等，可得：
一次项系数$k=13$，常数项$p=6$。
将$k=13$、$p=6$代入$(k-p)^2$得：
$(k-p)^2=(13-6)^2=7^2=49$
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式；多项式相等的条件；代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是掌握多项式乘法的运算法则，要注意展开计算时不要弄错各项的符号，多项式相等时对应项系数相等是求解参数的常用方法。
【难度系数】
0.7
5. 若关于$ x $的分式方程$\frac{kx}{x^2 -4}=\frac{3}{x+2}-\frac{2}{x-2}$无解，则$ k $的值为（
A.1或4或－6
B.1或－4或6
C.－4或6
D.4或－6
B
）A.1或4或－6
B.1或－4或6
C.－4或6
D.4或－6
答案
5. B
解析
【分析】
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x的取值）。解题步骤如下：第一步先确定原分式方程的增根，原方程分母为$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此增根只能是$x=2$或$x=-2$；第二步给方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，将分式方程转化为整式方程；第三步分别讨论整式方程无解、整式方程的解为增根的两种情况，求出对应的k值即可。
【解析】
原分式方程的最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$（此时$x≠\pm2$），去分母得：
$kx = 3(x-2) - 2(x+2)$
展开并整理右边的式子：
$kx = 3x - 6 - 2x - 4$
$kx = x - 10$
移项合并同类项得：
$(k-1)x = -10$
分两种情况讨论：
1. 整式方程本身无解：
当$k-1=0$即$k=1$时，方程变为$0· x=-10$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合题意。
2. 整式方程有解，但解是原分式方程的增根：
增根为$x=2$或$x=-2$，分别代入整式方程：
① 把$x=2$代入$(k-1)x=-10$，得：
$2(k-1)=-10$，解得$k=-4$
② 把$x=-2$代入$(k-1)x=-10$，得：
$-2(k-1)=-10$，解得$k=6$
综上，k的值为1或-4或6。
【答案】
B
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程中常见的无解求参题型，解题的关键是不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x的取值）。解题步骤如下：第一步先确定原分式方程的增根，原方程分母为$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此增根只能是$x=2$或$x=-2$；第二步给方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，将分式方程转化为整式方程；第三步分别讨论整式方程无解、整式方程的解为增根的两种情况，求出对应的k值即可。
【解析】
原分式方程的最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$（此时$x≠\pm2$），去分母得：
$kx = 3(x-2) - 2(x+2)$
展开并整理右边的式子：
$kx = 3x - 6 - 2x - 4$
$kx = x - 10$
移项合并同类项得：
$(k-1)x = -10$
分两种情况讨论：
1. 整式方程本身无解：
当$k-1=0$即$k=1$时，方程变为$0· x=-10$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程也无解，符合题意。
2. 整式方程有解，但解是原分式方程的增根：
增根为$x=2$或$x=-2$，分别代入整式方程：
① 把$x=2$代入$(k-1)x=-10$，得：
$2(k-1)=-10$，解得$k=-4$
② 把$x=-2$代入$(k-1)x=-10$，得：
$-2(k-1)=-10$，解得$k=6$
综上，k的值为1或-4或6。
【答案】
B
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解一元一次方程
【点评】
本题是分式方程中常见的无解求参题型，解题的关键是不要遗漏整式方程本身无解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 甲、乙两人匀速骑行，甲骑行$s$千米用时$(x+2)$小时，乙骑行$s$千米用时$(x-2)$小时$(x＞2)$，下列说法正确的是（
A.甲的速度为$\frac{x+2}{s}$千米/时
B.乙的速度比甲快，速度差为$\frac{4s}{x^2 -4}$千米/时
C.若$s=10$，$x=3$，则乙的速度为2千米/时
D.分式$\frac{s}{x-2}$与$\frac{s}{x+2}$的最简公分母是$x-2$
B
）A.甲的速度为$\frac{x+2}{s}$千米/时
B.乙的速度比甲快，速度差为$\frac{4s}{x^2 -4}$千米/时
C.若$s=10$，$x=3$，则乙的速度为2千米/时
D.分式$\frac{s}{x-2}$与$\frac{s}{x+2}$的最简公分母是$x-2$
答案
6. B
解析
【分析】
这是一道结合行程问题的分式应用选择题，解题时可遵循以下思路：①首先回忆行程问题基本公式“速度=路程÷时间”，先分别求出甲、乙的速度表达式；②再逐个分析每个选项：对选项A直接对照速度公式判断；对选项B先比较甲乙速度大小，再通过分式减法运算计算速度差；对选项C代入给定数值直接计算乙的速度验证；对选项D根据最简公分母的确定规则判断，最终选出正确选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：根据速度=路程÷时间，甲骑行$s$千米用时$(x+2)$小时，因此甲的速度为$\frac{s}{x+2}$千米/时，不是$\frac{x+2}{s}$，故A错误。
2. 分析选项B：乙的速度为$\frac{s}{x-2}$千米/时，已知$x＞2$，则$x-2＜x+2$，且$s＞0$，因此$\frac{s}{x-2}＞\frac{s}{x+2}$，即乙的速度比甲快。
计算速度差：
$\frac{s}{x-2}-\frac{s}{x+2}=\frac{s(x+2)-s(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{sx+2s-sx+2s}{x^2-4}=\frac{4s}{x^2-4}$（千米/时），故B正确。
3. 分析选项C：当$s=10$，$x=3$时，乙的速度为$\frac{10}{3-2}=10$千米/时，不是2千米/时，故C错误。
4. 分析选项D：分式$\frac{s}{x-2}$与$\frac{s}{x+2}$的分母分别为$x-2$和$x+2$，二者互质，因此最简公分母是$(x-2)(x+2)=x^2-4$，不是$x-2$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本公式；分式的加减运算；最简公分母的确定
【点评】
本题综合考查了分式的基础运算和行程问题的数量关系，解题时只需逐个验证选项即可，需要注意通分运算的规则和最简公分母的判断方法，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
这是一道结合行程问题的分式应用选择题，解题时可遵循以下思路：①首先回忆行程问题基本公式“速度=路程÷时间”，先分别求出甲、乙的速度表达式；②再逐个分析每个选项：对选项A直接对照速度公式判断；对选项B先比较甲乙速度大小，再通过分式减法运算计算速度差；对选项C代入给定数值直接计算乙的速度验证；对选项D根据最简公分母的确定规则判断，最终选出正确选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：根据速度=路程÷时间，甲骑行$s$千米用时$(x+2)$小时，因此甲的速度为$\frac{s}{x+2}$千米/时，不是$\frac{x+2}{s}$，故A错误。
2. 分析选项B：乙的速度为$\frac{s}{x-2}$千米/时，已知$x＞2$，则$x-2＜x+2$，且$s＞0$，因此$\frac{s}{x-2}＞\frac{s}{x+2}$，即乙的速度比甲快。
计算速度差：
$\frac{s}{x-2}-\frac{s}{x+2}=\frac{s(x+2)-s(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{sx+2s-sx+2s}{x^2-4}=\frac{4s}{x^2-4}$（千米/时），故B正确。
3. 分析选项C：当$s=10$，$x=3$时，乙的速度为$\frac{10}{3-2}=10$千米/时，不是2千米/时，故C错误。
4. 分析选项D：分式$\frac{s}{x-2}$与$\frac{s}{x+2}$的分母分别为$x-2$和$x+2$，二者互质，因此最简公分母是$(x-2)(x+2)=x^2-4$，不是$x-2$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
行程问题基本公式；分式的加减运算；最简公分母的确定
【点评】
本题综合考查了分式的基础运算和行程问题的数量关系，解题时只需逐个验证选项即可，需要注意通分运算的规则和最简公分母的判断方法，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
7. 如图1是湖北省博物馆馆藏唐代青瓷六系盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径CD的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有$△ ABO ≌ △ DCO$，因此量出的A，B两点之间的距离即为CD的长，其中判定三角形全等的依据是（
A.ASA
B.SSS
C.SAS
D.AAS
C
）A.ASA
B.SSS
C.SAS
D.AAS
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先提取题目已知条件：两根细木条的中点都是O，可得到两组对应边相等；再观察两个三角形的夹角为对顶角，根据对顶角性质可得夹角相等，结合全等三角形的判定定理，判断符合两边及其夹角对应相等的判定依据即可。
【解析】
∵ O是两根细木条的公共中点，
∴ OA=OD，OB=OC，
又
∵ ∠AOB与∠DOC是对顶角，
∴ ∠AOB=∠DOC。
在△ABO和△DCO中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD \\∠AOB=∠DOC \\OB=OC\end{array} $
∴ △ABO≌△DCO（SAS），
因此判定三角形全等的依据是SAS。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质；线段中点的定义
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的判定，需要准确梳理已知条件中的相等边、相等角，匹配对应的全等判定定理即可，是几何知识解决实际问题的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题目已知条件：两根细木条的中点都是O，可得到两组对应边相等；再观察两个三角形的夹角为对顶角，根据对顶角性质可得夹角相等，结合全等三角形的判定定理，判断符合两边及其夹角对应相等的判定依据即可。
【解析】
∵ O是两根细木条的公共中点，
∴ OA=OD，OB=OC，
又
∵ ∠AOB与∠DOC是对顶角，
∴ ∠AOB=∠DOC。
在△ABO和△DCO中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD \\∠AOB=∠DOC \\OB=OC\end{array} $
∴ △ABO≌△DCO（SAS），
因此判定三角形全等的依据是SAS。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形SAS判定；对顶角的性质；线段中点的定义
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的判定，需要准确梳理已知条件中的相等边、相等角，匹配对应的全等判定定理即可，是几何知识解决实际问题的典型基础题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为 （
A.60°
B.50°
C.80°
D.30°
A
）A.60°
B.50°
C.80°
D.30°
答案
8. A
解析
【分析】
这道题是等腰三角形角度计算问题，可通过设未知数结合等腰三角形性质、三角形相关角度定理求解。首先设∠DAE为x，利用AD=DE可得∠AED=x；再根据三角形外角性质，推导∠C=x-10°，结合AB=AC可得∠B=∠C=x-10°；最后利用△ABC内角和为180°列方程计算即可得到结果。
【解析】
解：设∠DAE的度数为x。
∵AD=DE，根据等腰三角形两底角相等，
∴∠AED=∠DAE=x。
∵∠AED是△EDC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AED=∠C+∠EDC。
已知∠EDC=10°，代入得：x=∠C+10°，即∠C=x-10°。
∵AB=AC，根据等腰三角形两底角相等，
∴∠B=∠C=x-10°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，有∠BAC+∠B+∠C=180°，
其中∠BAC=∠BAD+∠DAE=20°+x，代入得：
(20°+x)+(x-10°)+(x-10°)=180°
化简得3x=180°，解得x=60°，即∠DAE=60°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形与角度计算结合的典型题型，通过设未知数建立方程求解是这类问题的常用思路，需要熟练掌握等腰三角形性质、内角和与外角定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6
这道题是等腰三角形角度计算问题，可通过设未知数结合等腰三角形性质、三角形相关角度定理求解。首先设∠DAE为x，利用AD=DE可得∠AED=x；再根据三角形外角性质，推导∠C=x-10°，结合AB=AC可得∠B=∠C=x-10°；最后利用△ABC内角和为180°列方程计算即可得到结果。
【解析】
解：设∠DAE的度数为x。
∵AD=DE，根据等腰三角形两底角相等，
∴∠AED=∠DAE=x。
∵∠AED是△EDC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AED=∠C+∠EDC。
已知∠EDC=10°，代入得：x=∠C+10°，即∠C=x-10°。
∵AB=AC，根据等腰三角形两底角相等，
∴∠B=∠C=x-10°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，有∠BAC+∠B+∠C=180°，
其中∠BAC=∠BAD+∠DAE=20°+x，代入得：
(20°+x)+(x-10°)+(x-10°)=180°
化简得3x=180°，解得x=60°，即∠DAE=60°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形与角度计算结合的典型题型，通过设未知数建立方程求解是这类问题的常用思路，需要熟练掌握等腰三角形性质、内角和与外角定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6
