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10. 黄冈革命烈士陵园是鄂东知名红色教育基地，承载着新民主主义革命、解放战争时期鄂东大地众多革命先烈的英勇事迹，是缅怀英烈、传承红色精神的重要场所. 某校八年级学生去距离学校120 km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先前往，出发1 h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达. 已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，要求慢车的速度，设慢车的速度是x km/h，所列方程正确的是 （
A.$\frac{120}{x}+1=\frac{120}{1.5x}$
B.$\frac{120}{x}-1=\frac{120}{1.5x}$
C.$\frac{120}{x-1}=\frac{120}{1.5x}$
D.$\frac{120}{x+1}=\frac{120}{1.5x}$
B
）A.$\frac{120}{x}+1=\frac{120}{1.5x}$
B.$\frac{120}{x}-1=\frac{120}{1.5x}$
C.$\frac{120}{x-1}=\frac{120}{1.5x}$
D.$\frac{120}{x+1}=\frac{120}{1.5x}$
答案
10. B
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程应用题，解题思路如下：①回忆行程问题基本公式：$时间=路程÷ 速度$；②找核心等量关系：慢车先出发1小时且和快车同时到达，说明慢车行驶全程的时间比快车多1小时，即$\mathrm{慢车行驶时间}-1=\mathrm{快车行驶时间}$；③分别用含x的式子表示慢车、快车的行驶时间，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设慢车的速度是$x$km/h，则快车的速度为$1.5x$km/h。
根据公式$时间=路程÷ 速度$可得：
慢车行驶120km的时间为$\frac{120}{x}$h，
快车行驶120km的时间为$\frac{120}{1.5x}$h。
由“慢车先出发1h，两车同时到达”可知，慢车行驶时间比快车多1h，因此列方程：
$\frac{120}{x}-1=\frac{120}{1.5x}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题公式应用
【点评】
本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键是准确抓住两车的时间差关系，要注意区分两车行驶时间的长短，避免将时间差的加减关系搞反。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程应用题，解题思路如下：①回忆行程问题基本公式：$时间=路程÷ 速度$；②找核心等量关系：慢车先出发1小时且和快车同时到达，说明慢车行驶全程的时间比快车多1小时，即$\mathrm{慢车行驶时间}-1=\mathrm{快车行驶时间}$；③分别用含x的式子表示慢车、快车的行驶时间，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设慢车的速度是$x$km/h，则快车的速度为$1.5x$km/h。
根据公式$时间=路程÷ 速度$可得：
慢车行驶120km的时间为$\frac{120}{x}$h，
快车行驶120km的时间为$\frac{120}{1.5x}$h。
由“慢车先出发1h，两车同时到达”可知，慢车行驶时间比快车多1h，因此列方程：
$\frac{120}{x}-1=\frac{120}{1.5x}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题公式应用
【点评】
本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键是准确抓住两车的时间差关系，要注意区分两车行驶时间的长短，避免将时间差的加减关系搞反。
【难度系数】
0.7
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.若$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$,则$\frac{b}{a+b}=$
11.若$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$,则$\frac{b}{a+b}=$
$\frac{4}{7}$
.答案
11. $\frac{4}{7}$
解析
【分析】
已知a与b的比值，要求含a、b的分式的值，可采用八年级常用的设参数法求解：先根据已知比例设每份为k，将a、b都用含k的代数式表示，再代入待求分式，化简后k会被约去，即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$
∴设$a=3k$，$b=4k$（$k≠0$）
将$a=3k$，$b=4k$代入$\frac{b}{a+b}$得：
$\frac{b}{a+b}=\frac{4k}{3k+4k}=\frac{4k}{7k}$
∵$k≠0$，分子分母同时约去k，得$\frac{4}{7}$
【答案】
$\frac{4}{7}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例求值类基础题，核心是掌握设参数法处理比例问题的技巧，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
已知a与b的比值，要求含a、b的分式的值，可采用八年级常用的设参数法求解：先根据已知比例设每份为k，将a、b都用含k的代数式表示，再代入待求分式，化简后k会被约去，即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$
∴设$a=3k$，$b=4k$（$k≠0$）
将$a=3k$，$b=4k$代入$\frac{b}{a+b}$得：
$\frac{b}{a+b}=\frac{4k}{3k+4k}=\frac{4k}{7k}$
∵$k≠0$，分子分母同时约去k，得$\frac{4}{7}$
【答案】
$\frac{4}{7}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例求值类基础题，核心是掌握设参数法处理比例问题的技巧，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
12. 分式$\frac{3}{x^2 -4}$与$\frac{5}{4 -2x}$的最简公分母是
$2(x+2)(x-2)$
。答案
12. $2(x+2)(x-2)$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按照以下思路思考：首先将两个分式的分母分别进行因式分解，再取各分母系数的最小公倍数，同时取所有出现过的不同因式的最高次幂，二者的乘积就是最简公分母。注意因式分解要彻底，互为相反数的因式可统一转化为同一个因式。
【解析】
1. 对第一个分母因式分解：
$x^2 - 4$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，其系数为1，含因式$(x+2)$、$(x-2)$。
2. 对第二个分母因式分解：
提取公因式可得$4-2x=2(2-x)=-2(x-2)$，其系数的绝对值为2，含因式$(x-2)$。
3. 确定最简公分母：
系数的最小公倍数是2，所有不同的因式为$(x+2)$、$(x-2)$，且均为1次幂，因此最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
【答案】
$2(x+2)(x-2)$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，解题核心是先将分母因式分解彻底，再按照规则确定公分母，需注意互为相反数的因式可统一为同一种形式，避免出错。
【难度系数】
0.8
要确定两个分式的最简公分母，需按照以下思路思考：首先将两个分式的分母分别进行因式分解，再取各分母系数的最小公倍数，同时取所有出现过的不同因式的最高次幂，二者的乘积就是最简公分母。注意因式分解要彻底，互为相反数的因式可统一转化为同一个因式。
【解析】
1. 对第一个分母因式分解：
$x^2 - 4$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此$x^2 -4=(x+2)(x-2)$，其系数为1，含因式$(x+2)$、$(x-2)$。
2. 对第二个分母因式分解：
提取公因式可得$4-2x=2(2-x)=-2(x-2)$，其系数的绝对值为2，含因式$(x-2)$。
3. 确定最简公分母：
系数的最小公倍数是2，所有不同的因式为$(x+2)$、$(x-2)$，且均为1次幂，因此最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
【答案】
$2(x+2)(x-2)$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 因式分解
3. 平方差公式
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，解题核心是先将分母因式分解彻底，再按照规则确定公分母，需注意互为相反数的因式可统一为同一种形式，避免出错。
【难度系数】
0.8
13. 若分式方程$\frac{x-1}{x+a}=2$的解是$x=-3$,则$a=$
1
.答案
13. 1
解析
【分析】
根据方程解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以把已知的解$x=-3$代入原分式方程，此时原方程就转化为只含有未知数$a$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$a$的值，最后验证分母不为0保证分式有意义即可。
【解析】
∵ $x=-3$是分式方程$\frac{x-1}{x+a}=2$的解
∴ 将$x=-3$代入原方程，可得：
$\frac{-3-1}{-3+a}=2$
化简得：$\frac{-4}{a-3}=2$
方程两边同时乘$(a-3)$（$a≠3$），得：
$-4=2(a-3)$
去括号，得：
$-4=2a-6$
移项、合并同类项，得：
$2a=2$
系数化为1，得：
$a=1$
检验：当$a=1$时，原方程分母$x+a=-3+1=-2≠0$，符合分式有意义的条件，因此$a=1$正确。
【答案】
1
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程解的概念的理解，只需将已知解代入原方程转化为常规一元一次方程求解即可，解题时注意要验证分式分母不为0。
【难度系数】
0.9
根据方程解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以把已知的解$x=-3$代入原分式方程，此时原方程就转化为只含有未知数$a$的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出$a$的值，最后验证分母不为0保证分式有意义即可。
【解析】
∵ $x=-3$是分式方程$\frac{x-1}{x+a}=2$的解
∴ 将$x=-3$代入原方程，可得：
$\frac{-3-1}{-3+a}=2$
化简得：$\frac{-4}{a-3}=2$
方程两边同时乘$(a-3)$（$a≠3$），得：
$-4=2(a-3)$
去括号，得：
$-4=2a-6$
移项、合并同类项，得：
$2a=2$
系数化为1，得：
$a=1$
检验：当$a=1$时，原方程分母$x+a=-3+1=-2≠0$，符合分式有意义的条件，因此$a=1$正确。
【答案】
1
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程解的概念的理解，只需将已知解代入原方程转化为常规一元一次方程求解即可，解题时注意要验证分式分母不为0。
【难度系数】
0.9
14.已知$x-\frac{1}{x}=7$,则$x^2+\frac{1}{x^2}$的值是________。
答案
14. 51
解析
【分析】
观察已知条件和所求代数式的结构，可知二者符合完全平方公式的变形特征。我们可以利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将已知等式$x-\frac{1}{x}=7$两边同时平方，展开后结合$x·\frac{1}{x}=1$的特点，通过移项即可求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，不需要单独求出x的取值，用整体代入的思想解题更简便。
【解析】
已知$x-\frac{1}{x}=7$，将等式两边同时平方，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=7^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=49$
化简中间项$2· x· \frac{1}{x}=2$，可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2=49$
移项计算得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=49+2=51$
【答案】
51
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题的关键是准确识别已知式与待求式的结构关联，运用整体代入思想简化计算，是代数式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
观察已知条件和所求代数式的结构，可知二者符合完全平方公式的变形特征。我们可以利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将已知等式$x-\frac{1}{x}=7$两边同时平方，展开后结合$x·\frac{1}{x}=1$的特点，通过移项即可求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，不需要单独求出x的取值，用整体代入的思想解题更简便。
【解析】
已知$x-\frac{1}{x}=7$，将等式两边同时平方，得：
$(x-\frac{1}{x})^2=7^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}=49$
化简中间项$2· x· \frac{1}{x}=2$，可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2=49$
移项计算得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=49+2=51$
【答案】
51
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题的关键是准确识别已知式与待求式的结构关联，运用整体代入思想简化计算，是代数式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
15. 若$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3$，则$\frac{(x-y)^2 + xy}{(x+y)^2 - xy}=$
$\frac{1}{2}$
答案
15. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题已知两个分式的和，要求含x、y的分式的值，解题时可按以下思路推导：首先对已知等式通分变形，得到$x^2+y^2$与$xy$的数量关系；再利用完全平方公式将待求分式的分子、分母展开化简，最后将$x^2+y^2$整体用含$xy$的式子代入，约去公因式后即可得到结果，无需计算x、y的具体值。
【解析】
第一步：化简已知条件
由$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3$，对左边通分（x、y均不为0，公分母为xy）可得：
$\frac{x^2+y^2}{xy}=3$
两边同乘$xy$，得：$x^2+y^2=3xy$
第二步：展开待求分式的分子、分母
分子：$(x-y)^2 + xy = x^2 - 2xy + y^2 + xy = x^2 + y^2 - xy$
分母：$(x+y)^2 - xy = x^2 + 2xy + y^2 - xy = x^2 + y^2 + xy$
第三步：整体代入求值
将$x^2+y^2=3xy$代入化简后的分子、分母：
原式$=\frac{3xy - xy}{3xy + xy}=\frac{2xy}{4xy}$
∵$xy≠0$，约去公因式$xy$，得原式$=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式化简求值 2. 完全平方公式 3. 整体代入法
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题核心是通过对已知条件变形得到$x^2+y^2$与$xy$的关系，再利用整体代入的方法简化计算，避免了求解x、y具体值的繁琐过程，要求熟练掌握完全平方公式的展开规则和分式的基本性质。
【难度系数】
0.7
本题已知两个分式的和，要求含x、y的分式的值，解题时可按以下思路推导：首先对已知等式通分变形，得到$x^2+y^2$与$xy$的数量关系；再利用完全平方公式将待求分式的分子、分母展开化简，最后将$x^2+y^2$整体用含$xy$的式子代入，约去公因式后即可得到结果，无需计算x、y的具体值。
【解析】
第一步：化简已知条件
由$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3$，对左边通分（x、y均不为0，公分母为xy）可得：
$\frac{x^2+y^2}{xy}=3$
两边同乘$xy$，得：$x^2+y^2=3xy$
第二步：展开待求分式的分子、分母
分子：$(x-y)^2 + xy = x^2 - 2xy + y^2 + xy = x^2 + y^2 - xy$
分母：$(x+y)^2 - xy = x^2 + 2xy + y^2 - xy = x^2 + y^2 + xy$
第三步：整体代入求值
将$x^2+y^2=3xy$代入化简后的分子、分母：
原式$=\frac{3xy - xy}{3xy + xy}=\frac{2xy}{4xy}$
∵$xy≠0$，约去公因式$xy$，得原式$=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式化简求值 2. 完全平方公式 3. 整体代入法
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题核心是通过对已知条件变形得到$x^2+y^2$与$xy$的关系，再利用整体代入的方法简化计算，避免了求解x、y具体值的繁琐过程，要求熟练掌握完全平方公式的展开规则和分式的基本性质。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)计算:
(1)$(-2ab^{-1})^3 · \frac{b^3}{6a^2b}$;
(2)下面是小茗同学化简分式的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
化简分式:$\frac{m^2 -4}{m^2 -4m +4} ÷ (1 - \frac{2}{m-2})$
解:原式$=\frac{(m-2)(m+2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{1-2}{m-2}$ 第一步
$=\frac{m+2}{m-2} × (2 - m)$ 第二步
$=-m -2$ 第三步
任务1:上述化简过程中,第
任务2:请写出该分式正确的化简过程.
16.(6分)计算:
(1)$(-2ab^{-1})^3 · \frac{b^3}{6a^2b}$;
(2)下面是小茗同学化简分式的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
化简分式:$\frac{m^2 -4}{m^2 -4m +4} ÷ (1 - \frac{2}{m-2})$
解:原式$=\frac{(m-2)(m+2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{1-2}{m-2}$ 第一步
$=\frac{m+2}{m-2} × (2 - m)$ 第二步
$=-m -2$ 第三步
任务1:上述化简过程中,第
一
步开始出现了错误.任务2:请写出该分式正确的化简过程.
答案
16. (1) 解:$(-2ab^{-1})^3· \frac{b^3}{6a^2b}$
$= \frac{-8a^3}{b^3} · \frac{b^3}{6a^2b}$
$= -\frac{4a}{3b}$
(2) ①第一步;
②原式$= \frac{(m - 2)(m + 2)}{(m - 2)^2} ÷ \frac{m - 2 - 2}{m - 2}$
$= \frac{m + 2}{m - 2} · \frac{m - 2}{m - 4}$
$= \frac{m + 2}{m - 4}.$
$= \frac{-8a^3}{b^3} · \frac{b^3}{6a^2b}$
$= -\frac{4a}{3b}$
(2) ①第一步;
②原式$= \frac{(m - 2)(m + 2)}{(m - 2)^2} ÷ \frac{m - 2 - 2}{m - 2}$
$= \frac{m + 2}{m - 2} · \frac{m - 2}{m - 4}$
$= \frac{m + 2}{m - 4}.$
解析
【分析】
（1）本题是含负整数指数幂的分式乘法运算，解题思路如下：第一步先根据积的乘方运算法则计算$(-2ab^{-1})^3$，将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式；第二步按照分式乘法规则，分子乘分子、分母乘分母，最后约分化为最简分式即可。
（2）任务1判断错误步骤：计算$1-\frac{2}{m-2}$时，需先将1通分为分母为$m-2$的分式$\frac{m-2}{m-2}$，再和$\frac{2}{m-2}$相减，分子应为$(m-2)-2=m-4$，小茗第一步直接将分子写为1-2，通分错误，因此从第一步开始出错。
任务2正确化简思路：先对分式的分子分母因式分解，再正确计算括号内的分式减法，将除法转化为乘法后约分化简即可。
【解析】
(1) 计算$(-2ab^{-1})^3 · \frac{b^3}{6a^2b}$：
先计算乘方：
$(-2ab^{-1})^3=(-2)^3· a^3· (b^{-1})^3=-8a^3b^{-3}=\frac{-8a^3}{b^3}$
再计算分式乘法并约分：
$\frac{-8a^3}{b^3} · \frac{b^3}{6a^2b} = \frac{-8a^3b^3}{6a^2b^4} = -\frac{4a}{3b}$
(2) 任务1：小茗第一步计算括号内的减法时通分错误，未将1转化为$\frac{m-2}{m-2}$，直接用分子1减2，因此第$\boldsymbol{一}$步开始出现错误。
任务2正确化简过程：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m - 2)(m + 2)}{(m - 2)^2} ÷ (\frac{m-2}{m-2} - \frac{2}{m-2})\\&=\frac{m+2}{m-2} ÷ \frac{m - 2 - 2}{m - 2}\\&=\frac{m + 2}{m - 2} · \frac{m - 2}{m - 4}\\&= \frac{m + 2}{m - 4} \quad (m≠2且m≠4)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{4a}{3b}$
(2) 任务1：一；任务2：$\frac{m+2}{m-4}$
【知识点】
负整数指数幂运算，分式混合运算，因式分解
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察幂的运算法则和分式化简的规范步骤，易错点为分式加减通分时漏乘整数项的分子、负指数幂运算时符号出错，计算时需注意运算顺序，先算乘方再算乘除，有括号先算括号内的内容。
【难度系数】
0.75
（1）本题是含负整数指数幂的分式乘法运算，解题思路如下：第一步先根据积的乘方运算法则计算$(-2ab^{-1})^3$，将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式；第二步按照分式乘法规则，分子乘分子、分母乘分母，最后约分化为最简分式即可。
（2）任务1判断错误步骤：计算$1-\frac{2}{m-2}$时，需先将1通分为分母为$m-2$的分式$\frac{m-2}{m-2}$，再和$\frac{2}{m-2}$相减，分子应为$(m-2)-2=m-4$，小茗第一步直接将分子写为1-2，通分错误，因此从第一步开始出错。
任务2正确化简思路：先对分式的分子分母因式分解，再正确计算括号内的分式减法，将除法转化为乘法后约分化简即可。
【解析】
(1) 计算$(-2ab^{-1})^3 · \frac{b^3}{6a^2b}$：
先计算乘方：
$(-2ab^{-1})^3=(-2)^3· a^3· (b^{-1})^3=-8a^3b^{-3}=\frac{-8a^3}{b^3}$
再计算分式乘法并约分：
$\frac{-8a^3}{b^3} · \frac{b^3}{6a^2b} = \frac{-8a^3b^3}{6a^2b^4} = -\frac{4a}{3b}$
(2) 任务1：小茗第一步计算括号内的减法时通分错误，未将1转化为$\frac{m-2}{m-2}$，直接用分子1减2，因此第$\boldsymbol{一}$步开始出现错误。
任务2正确化简过程：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m - 2)(m + 2)}{(m - 2)^2} ÷ (\frac{m-2}{m-2} - \frac{2}{m-2})\\&=\frac{m+2}{m-2} ÷ \frac{m - 2 - 2}{m - 2}\\&=\frac{m + 2}{m - 2} · \frac{m - 2}{m - 4}\\&= \frac{m + 2}{m - 4} \quad (m≠2且m≠4)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{4a}{3b}$
(2) 任务1：一；任务2：$\frac{m+2}{m-4}$
【知识点】
负整数指数幂运算，分式混合运算，因式分解
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察幂的运算法则和分式化简的规范步骤，易错点为分式加减通分时漏乘整数项的分子、负指数幂运算时符号出错，计算时需注意运算顺序，先算乘方再算乘除，有括号先算括号内的内容。
【难度系数】
0.75
