15. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$, $AC=7\ \mathrm{cm}$, $BC=3\ \mathrm{cm}$, $CD$为边$AB$上的高.
(1) 若$∠ ECF=α$,则$∠ CAB=$(用含$α$的代数式表示);
(2) 点$E$从点$B$出发,在直线$BC$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,过点$E$作$BC$的垂线交直线$CD$于点$F$,求当点$E$的运动时间是多少秒时,$CF=AB$.

15. (1) $α$ (2) 由题意,得 $∠ CEF=90°=∠ ACB$. 在 $△ CEF$ 和 $△ ACB$ 中, $\because \begin{cases}∠ ECF=∠ A,\\∠ CEF=∠ ACB,\\CF=AB,\end{cases}$ $\therefore △ CEF ≌ △ ACB. \therefore CE=AC=7\ \mathrm{cm}$. ① 如图,当点 $E$ 在射线 $BC$ 上移动时, $BE=CE+BC=10\ \mathrm{cm}. \because$ 点 $E$ 从点 $B$ 出发,在直线 $BC$ 上以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动, $\therefore$ 点 $E$ 移动了 $10÷2=5(\mathrm{s})$. ② 当点 $E$ 在射线 $CB$ 上移动时, $BE'=AC-BC=4\ \mathrm{cm}. \because$ 点 $E$ 从点 $B$ 出发,在直线 $BC$ 上以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动, $\therefore$ 点 $E$ 移动了 $4÷2=2(\mathrm{s})$. 综上所述,当点 $E$ 的运动时间为 $5\ \mathrm{s}$、$2\ \mathrm{s}$ 时, $CF=AB$

【分析】
(1) 要推导∠CAB与α的关系，可利用直角三角形两锐角互余的性质：在Rt△ACD中，∠CAB和∠ACD互余；又∠ECF=α，α和∠ACD也互余，根据同角的余角相等即可得到二者的等量关系。
(2) 要求CF=AB时的运动时间，首先观察△CEF和△ACB，二者均为直角三角形，结合(1)的结论可证两个三角形全等，得到CE=AC=7cm；再考虑点E在直线BC上运动的两种情况（在射线BC上、在射线CB上），分别计算BE的长度，结合速度即可求出对应运动时间。
【解析】
(1)
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=90°，可得∠CAB + ∠ACD = 90°。
又
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF + ∠ACD = 90°，
根据同角的余角相等，得∠CAB=∠ECF=α。
(2) 由题意得EF⊥BC，
∴∠CEF=90°=∠ACB。
在△CEF和△ACB中：
$\begin{cases}∠ECF=∠CAB\\∠CEF=∠ACB\\CF=AB\end{cases}$
∴△CEF ≌ △ACB（AAS），
∴CE=AC=7cm。
分两种情况讨论：
①当点E在射线BC上移动时：
$BE=CE+BC=7+3=10\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=10÷2=5\ \mathrm{s}$；
②当点E在射线CB上移动时：
$BE'=CE-BC=7-3=4\ \mathrm{cm}$，运动时间$t=4÷2=2\ \mathrm{s}$。
综上，运动时间为2s或5s时，CF=AB。
【答案】
(1) $\boldsymbol{α}$
(2) 当点E的运动时间为$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$、$\boldsymbol{5\ \mathrm{s}}$时，$CF=AB$
【知识点】
直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；动点分类讨论
【点评】
本题结合动点场景考查全等三角形的判定和性质，解题时需注意点在直线上运动要分多种情况讨论，避免漏解，利用同角的余角相等推导角的等量关系是证明全等的关键。
【难度系数】
0.6

1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BE=CE$，直接利用“SSS”可以判定 【 】

A.$△ ABD ≌ △ ACE$
B.$△ ABE ≌ △ DCE$
C.$△ ABE ≌ △ ACE$
D.$△ BED ≌ △ CED$

C

【分析】
首先回忆全等三角形“SSS”判定的内容：三边分别对应相等的两个三角形全等。解题时先梳理题目给出的已知等边条件：$AB=AC$，$BE=CE$，再结合图形中的隐含公共边条件，逐一核对每个选项中的两个三角形是否满足三组对应边相等，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据“SSS”判定的要求逐个分析选项：
1. 选项A：$△ ABD$和$△ ACE$，不存在三组对应边相等的条件，不符合“SSS”判定要求，排除；
2. 选项B：$△ ABE$和$△ DCE$，边不对应相等，不符合“SSS”判定要求，排除；
3. 选项C：在$△ ABE$和$△ ACE$中，已知$AB=AC$，$BE=CE$，且$AE$是两个三角形的公共边，即$AE=AE$，三组对应边分别相等，满足“SSS”判定条件，可以直接用“SSS”判定两三角形全等；
4. 选项D：$△ BED$和$△ CED$，仅已知$BE=CE$，$ED$为公共边，缺少第三组边相等的明确已知条件，无法直接用题目给出的条件通过“SSS”判定，排除。
【答案】
C
【知识点】
SSS判定全等三角形，公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是牢记“SSS”判定的要求，结合已知条件和图形隐含的公共边条件分析选项，同时注意题目“直接利用”给出条件的要求，不要自行添加未明确给出的条件。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB=CD$，$AC=DB$，若要用“SSS”证明$△ ABC ≌ △ DCB$，则还需要添加的条件是 【 】

A.$AE=DE$
B.$BE=EC$
C.$DE=BE$
D.不需要添加

D

【分析】
首先明确"SSS"判定三角形全等的要求：两个三角形的三组对应边分别相等即可判定全等。接下来梳理△ABC与△DCB的边的相等关系：题目已给出AB=CD、AC=DB，再观察图形可知BC是两个三角形的公共边，天然相等，因此三组对应边均已满足相等关系，无需添加额外条件，即可用SSS证明两三角形全等。
【解析】
用"SSS"证明△ABC≌△DCB，需要两个三角形三组对应边相等：
1. 由题已知AB=CD，AC=DB；
2. BC是△ABC和△DCB的公共边，因此BC=CB。
此时△ABC和△DCB的三组对应边全部对应相等，已经满足SSS的全等判定条件，不需要再添加其他条件。
【答案】
D
【知识点】
SSS判定三角形全等、公共边的性质
【点评】
本题是全等判定的基础题型，解题时要注意挖掘图形中隐含的公共边、对顶角这类天然相等的条件，避免不必要的额外条件添加，掌握全等判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9