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13. 如图，$△ ABC$的两条高$AD$、$CE$相交于点$F$，$AF=BC$。
(1) 求证：$△ AEF ≌ △ CEB$；
(2) 若$BE=4$，$CF=5$，求$AE$的长。
(1) 求证：$△ AEF ≌ △ CEB$；
(2) 若$BE=4$，$CF=5$，求$AE$的长。
答案
(1) 由题意,得 $∠ BEC=∠ FEA=90°. \therefore ∠ BCE+∠ B=∠ FAE+∠ B=90°. \therefore ∠ BCE=∠ FAE$. 在 $△ AEF$ 和 $△ CEB$ 中, $\because \begin{cases}∠ FAE=∠ BCE,\\∠ AEF=∠ CEB,\\AF=CB,\end{cases}$ $\therefore △ AEF ≌ △ CEB$ (2) 由(1)知, $△ AEF ≌ △ CEB, \therefore EF=EB=4, AE=CE. \therefore AE=CE=CF+EF=9$
解析
【分析】
(1) 要证明△AEF≌△CEB，首先结合高的性质可得两个三角形都有90°的角，即∠AEF=∠CEB=90°；再根据直角三角形两锐角互余，可推出∠FAE和∠BCE都与∠B互余，根据同角的余角相等得到∠FAE=∠BCE，结合已知AF=BC的条件，满足AAS全等判定的要求，即可完成证明。
(2) 求AE的长可利用全等三角形的性质，由全等可得对应边EF=BE、AE=CE，已知BE和CF的长度，CE等于CF与EF的和，代入数值即可计算得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD、CE是△ABC的两条高，
∴∠BEC=∠FEA=90°，
∴∠BCE+∠B=90°，∠FAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠FAE。
在△AEF和△CEB中：
$\begin{cases}∠FAE=∠BCE \\∠AEF=∠CEB \\AF=CB\end{cases}$
∴△AEF≌△CEB（AAS）。
(2) 解：由(1)的全等结论可得对应边相等：EF=EB，AE=CE。
∵BE=4，
∴EF=4，
又
∵CF=5，
∴CE=CF+EF=5+4=9，
∴AE=CE=9。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $AE=9$
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用题型，解题时需要结合高的性质推导角的等量关系，再通过全等判定定理证明三角形全等，最后利用全等的性质求解线段长度，对三角形相关知识的综合应用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△AEF≌△CEB，首先结合高的性质可得两个三角形都有90°的角，即∠AEF=∠CEB=90°；再根据直角三角形两锐角互余，可推出∠FAE和∠BCE都与∠B互余，根据同角的余角相等得到∠FAE=∠BCE，结合已知AF=BC的条件，满足AAS全等判定的要求，即可完成证明。
(2) 求AE的长可利用全等三角形的性质，由全等可得对应边EF=BE、AE=CE，已知BE和CF的长度，CE等于CF与EF的和，代入数值即可计算得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD、CE是△ABC的两条高，
∴∠BEC=∠FEA=90°，
∴∠BCE+∠B=90°，∠FAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠FAE。
在△AEF和△CEB中：
$\begin{cases}∠FAE=∠BCE \\∠AEF=∠CEB \\AF=CB\end{cases}$
∴△AEF≌△CEB（AAS）。
(2) 解：由(1)的全等结论可得对应边相等：EF=EB，AE=CE。
∵BE=4，
∴EF=4，
又
∵CF=5，
∴CE=CF+EF=5+4=9，
∴AE=CE=9。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $AE=9$
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用题型，解题时需要结合高的性质推导角的等量关系，再通过全等判定定理证明三角形全等，最后利用全等的性质求解线段长度，对三角形相关知识的综合应用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
14. 如图，AB、CD 相交于点 P，连结 AC、BD，M、N 分别为 BP 和 BD 上的点，且 MN // CD，∠C + ∠MND = 180°。
（1）若 CP = MN，求证：△ACP ≌ △BNM；
（2）在（1）的条件下，若 AB = 7，AP = 3，求 PM 的长。
（1）若 CP = MN，求证：△ACP ≌ △BNM；
（2）在（1）的条件下，若 AB = 7，AP = 3，求 PM 的长。
答案
14. (1) $\because MN // CD, \therefore ∠ BMN=∠ BPD. \because ∠ BPD=∠ APC, \therefore ∠ BMN=∠ APC. \because ∠ C+∠ MND=180°, ∠ BNM+∠ MND=180°, \therefore ∠ C=∠ BNM$. 在 $△ ACP$ 和 $△ BNM$ 中, $\because \begin{cases}∠ C=∠ BNM,\\CP=MN,\\∠ APC=∠ BMN,\end{cases}$ $\therefore △ ACP ≌ △ BNM$ (2) 由(1)知, $△ ACP ≌ △ BNM, \therefore BM=AP=3. \because AB=7, \therefore PM=AB-AP-BM=1$
解析
【分析】
（1）要证明△ACP≌△BNM，已知条件给出CP=MN，只需找到两组对应角相等即可通过ASA判定全等。首先根据平行线的性质可得∠BMN=∠BPD，结合对顶角相等可推出∠APC=∠BMN；再根据已知∠C+∠MND=180°，结合邻补角和为180°，利用同角的补角相等可推出∠C=∠BNM，满足ASA的全等判定条件。（2）由全等三角形的性质可得对应边BM=AP，再结合AB的总长度，用AB减去AP、BM的长度即可求出PM的长。
【解析】
（1）证明：
$\because MN// CD$，
$\therefore ∠ BMN=∠ BPD$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ BPD=∠ APC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BMN=∠ APC$。
$\because ∠ C+∠ MND=180°$，$∠ BNM+∠ MND=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ C=∠ BNM$（同角的补角相等）。
在$△ ACP$和$△ BNM$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ BNM,\\CP=MN,\\∠ APC=∠ BMN,\end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ BNM$（ASA）。
（2）解：
由（1）的全等结论可得对应边$BM=AP=3$，
$\because AB=7$，
$\therefore PM=AB-AP-BM=7-3-3=1$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$PM=1$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将平行线、角的等量关系和全等三角形的知识结合考查，解题核心是找准全等的对应边、对应角，理清线段和角的等量转换关系。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ACP≌△BNM，已知条件给出CP=MN，只需找到两组对应角相等即可通过ASA判定全等。首先根据平行线的性质可得∠BMN=∠BPD，结合对顶角相等可推出∠APC=∠BMN；再根据已知∠C+∠MND=180°，结合邻补角和为180°，利用同角的补角相等可推出∠C=∠BNM，满足ASA的全等判定条件。（2）由全等三角形的性质可得对应边BM=AP，再结合AB的总长度，用AB减去AP、BM的长度即可求出PM的长。
【解析】
（1）证明：
$\because MN// CD$，
$\therefore ∠ BMN=∠ BPD$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ BPD=∠ APC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ BMN=∠ APC$。
$\because ∠ C+∠ MND=180°$，$∠ BNM+∠ MND=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠ C=∠ BNM$（同角的补角相等）。
在$△ ACP$和$△ BNM$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ BNM,\\CP=MN,\\∠ APC=∠ BMN,\end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ BNM$（ASA）。
（2）解：
由（1）的全等结论可得对应边$BM=AP=3$，
$\because AB=7$，
$\therefore PM=AB-AP-BM=7-3-3=1$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$PM=1$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将平行线、角的等量关系和全等三角形的知识结合考查，解题核心是找准全等的对应边、对应角，理清线段和角的等量转换关系。
【难度系数】
0.7
