15. 如图，点B、E、C在同一条直线上，有下面三个论断：① $AB // CD$；② $∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$；③ $AE ⊥ ED$。选出其中两个作为条件，一个作为结论，可以得到三个命题。
（1）得到的三个命题中，有哪几个真命题？
（2）选择（1）中的一个真命题加以证明。

15. （1）有两个真命题,即命题1:①②⇒③;命题2:②③⇒① （2）选择命题1:①②⇒③.证明如下: $\because CD // AB, \therefore ∠ B + ∠ C = 180°. \because ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°, \therefore ∠ C = ∠ 1 + ∠ 2. \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°. \because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4, \therefore ∠ 2 + ∠ 3 = 90°. \therefore AE ⊥ ED$. 选择命题2:②③⇒①.证明如下:由题意,得 $∠ AED = 90°. \therefore ∠ 2 + ∠ 3 = 90°. \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$. 又 $\because ∠ B = 180° - ∠ 1 - ∠ 2, ∠ C = 180° - ∠ 3 - ∠ 4, \therefore ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ 1 - ∠ 2 + 180° - ∠ 3 - ∠ 4 = 360° - (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4) = 180°. \therefore AB // CD$

【分析】
（1）首先列出所有由两个论断作条件、一个作结论的三个命题，分别是：若①②则③、若①③则②、若②③则①，再结合平行线的性质与判定、三角形内角和定理、垂直的定义逐一判断真假即可。
（2）证明真命题时，若选①②推导③，可先利用平行线的性质得到同旁内角互补，再结合三角形内角和进行角的代换，结合已知角相等的条件推出∠2+∠3=90°，即可得到垂直的结论；若选②③推导①，可先由垂直得到∠2+∠3=90°，结合角相等的条件推出∠B与∠C的和为180°，即可证明两直线平行。
【解析】
（1）首先写出所有组合的三个命题：
命题1：条件①$AB// CD$，②$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，结论③$AE⊥ED$；
命题2：条件①$AB// CD$，③$AE⊥ED$，结论②$∠1=∠2$，$∠3=∠4$；
命题3：条件②$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，③$AE⊥ED$，结论①$AB// CD$。
其中命题1和命题3为真命题，命题2为假命题，因此真命题为①②⇒③、②③⇒①。
（2）选择命题①②⇒③证明：
$\because AB// CD$，$\therefore ∠B+∠C=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
在$△ ABE$中，$∠B+∠1+∠2=180°$（三角形内角和为$180°$），
$\therefore ∠1+∠2=∠C$。
在$△ CDE$中，$∠C+∠3+∠4=180°$，
将$∠C=∠1+∠2$代入得：$∠1+∠2+∠3+∠4=180°$。
$\because ∠1=∠2$，$∠3=∠4$，
$\therefore 2∠2+2∠3=180°$，即$∠2+∠3=90°$。
$\because$点$B、E、C$在同一直线上，$∠ BEC=180°$，
$\therefore ∠AED=180°-(∠2+∠3)=90°$，
$\therefore AE⊥ED$。
（选择命题②③⇒①证明也可，过程如下：
由$AE⊥ED$得$∠AED=90°$，$\therefore ∠2+∠3=90°$。
$\because ∠1=∠2$，$∠3=∠4$，$\therefore ∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=180°$。
在$△ ABE$中$∠B=180°-∠1-∠2$，在$△ CDE$中$∠C=180°-∠3-∠4$，
$\therefore ∠B+∠C=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°$，
$\therefore AB// CD$）
【答案】
（1）有两个真命题，即命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①
（2）示例：选择命题1：①②⇒③，证明如下：$\because AB// CD, \therefore ∠ B + ∠ C = 180°. \because ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°, \therefore ∠ C = ∠ 1 + ∠ 2. \therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°. \because ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4, \therefore ∠ 2 + ∠ 3 = 90°. \therefore AE ⊥ ED$。（选择命题2证明也可）
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理；垂直的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，既考查了命题真假的判断，也考查了几何定理的逻辑应用，解题时要注意推导过程严谨，每一步结论都要有对应的定理作为依据，熟练掌握角的和差换算也是解题的关键。
【难度系数】
0.7

1. 下列说法中，正确的是
【 】

A.全等三角形是指面积相等的三角形
B.全等三角形是指形状完全相同的三角形
C.全等三角形的周长相等
D.所有的等边三角形都是全等三角形

C

【分析】
解决本题首先要明确全等三角形的定义与性质：能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的形状、大小完全相同，对应边、对应角相等，周长、面积也相等。解题时逐一分析每个选项，结合定义和性质判断对错，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，可知全等三角形的形状、大小均完全相同。对各选项逐一判断：
A选项：面积相等的三角形，形状和大小不一定完全相同，无法保证完全重合，不属于全等三角形，故A错误；
B选项：形状完全相同的三角形，大小不一定相等，无法保证完全重合，不属于全等三角形，故B错误；
C选项：全等三角形的对应边全部相等，周长为三边长度之和，因此全等三角形的周长相等，故C正确；
D选项：等边三角形的三个角都是60°，形状相同，但边长不一定相等，因此不是所有等边三角形都全等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的定义；全等三角形的性质
【点评】
本题是对全等三角形基础概念的考查，要注意区分全等与形状相同、面积相等的不同，全等必须同时满足形状、大小都完全一致，做题时紧扣定义和性质逐一判断即可。
【难度系数】
0.8

2. 下列说法中，错误的是
【 】

A.全等三角形的对应边相等，对应角相等
B.若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角
C.形状和大小相同的两个三角形全等
D.对应边就是对边

D

【分析】
本题要求选出错误的说法，解题时需先回忆全等三角形的定义、性质以及对应元素的相关概念，再逐一验证每个选项的正误，最终确定符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：全等三角形的性质就是对应边相等、对应角相等，该说法正确，不符合题意；
B选项：根据全等三角形的对应关系，若两个三角形全等，对应边所对的角一定是对应角，该说法正确，不符合题意；
C选项：全等三角形的定义是能够完全重合的两个三角形，完全重合就意味着形状和大小都相同，该说法正确，不符合题意；
D选项：“对应边”是指两个全等（或相似）的三角形之间互相匹配对应的边，是两个三角形之间的元素关系；“对边”是指同一个三角形中，某个角所对的边，是同一个三角形内部的元素关系，二者概念完全不同，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的定义；对应元素概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易混淆“对应边”和“对边”两个相似概念，学习相关内容时要注意区分不同概念的适用场景，夯实基础。
【难度系数】
0.8

4
3. 如图所示的两个三角形全等,则x的值是 【 】


A.45
B.40
C.35
D.25

3. C

【分析】
要解决本题，首先回忆全等三角形的核心性质：全等三角形的对应角相等。解题时可先利用“一个三角形中最多存在1个钝角”的规律，确定两个三角形中110°的钝角为对应角，再结合边的对应关系找到x对应的相等角，或先通过三角形内角和定理算出某一三角形的未知角，再利用对应角相等求出x的值即可。
【解析】
∵两个三角形全等，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等。
观察图形可知，两个三角形中的110°钝角为对应角，另外一组等长的边所对的角分别为35°和x，二者为对应角，因此x=35°。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确找到对应角，利用“钝角对应钝角”的小技巧可快速锁定对应关系，避免因找错对应角失分。
【难度系数】
0.8