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例 2
如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 是 $BC$ 延长线上的点，且 $CD = AB$。过点 $C$ 作 $CE // AB$ 且 $CE = BC$，连接 $DE$ 并延长，分别交 $AC$，$AB$ 于点 $F$，$G$。
(1) 求证：$△ ABC ≌ △ DCE$；
(2) 若 $∠ B = 60^{\circ}$，$∠ D = 22^{\circ}$，求 $∠ AFG$ 的度数。
如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 是 $BC$ 延长线上的点，且 $CD = AB$。过点 $C$ 作 $CE // AB$ 且 $CE = BC$，连接 $DE$ 并延长，分别交 $AC$，$AB$ 于点 $F$，$G$。
(1) 求证：$△ ABC ≌ △ DCE$；
(2) 若 $∠ B = 60^{\circ}$，$∠ D = 22^{\circ}$，求 $∠ AFG$ 的度数。
答案
【点拨】
(1) 由 $CE // AB$ 可得 $∠ B = ∠ DCE$，再由三角形全等即可得出结论。
(2) 根据全等三角形的性质可得 $∠ DCE = ∠ B = 60^{\circ}$，$∠ A = ∠ D = 22^{\circ}$。由平行线的性质易得 $∠ ACE = ∠ A = 22^{\circ}$，再由三角形内角和定理及其推论即可得出结论。
(1)【证明】
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ B = ∠ DCE$。
在 $△ ABC$ 与 $△ DCE$ 中，
$\because \{\begin{array}{l} BC = CE, \\ ∠ B = ∠ DCE, \\ AB = CD, \end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DCE$（SAS）。
(2)【解】
$\because △ ABC ≌ △ DCE$，
$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ D = 22^{\circ}$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ B = 60^{\circ}$，$∠ A = ∠ D = 22^{\circ}$。
在 $△ CED$ 中，$∠ CED + ∠ D + ∠ DCE = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠ CED = 180^{\circ} - 22^{\circ} - 60^{\circ} = 98^{\circ}$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 22^{\circ}$。
$\because ∠ CED = ∠ DFC + ∠ ACE$，
$\therefore ∠ DFC = 98^{\circ} - 22^{\circ} = 76^{\circ}$。
$\therefore ∠ AFG = ∠ DFC = 76^{\circ}$。
(1) 由 $CE // AB$ 可得 $∠ B = ∠ DCE$，再由三角形全等即可得出结论。
(2) 根据全等三角形的性质可得 $∠ DCE = ∠ B = 60^{\circ}$，$∠ A = ∠ D = 22^{\circ}$。由平行线的性质易得 $∠ ACE = ∠ A = 22^{\circ}$，再由三角形内角和定理及其推论即可得出结论。
(1)【证明】
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ B = ∠ DCE$。
在 $△ ABC$ 与 $△ DCE$ 中，
$\because \{\begin{array}{l} BC = CE, \\ ∠ B = ∠ DCE, \\ AB = CD, \end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DCE$（SAS）。
(2)【解】
$\because △ ABC ≌ △ DCE$，
$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ D = 22^{\circ}$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ B = 60^{\circ}$，$∠ A = ∠ D = 22^{\circ}$。
在 $△ CED$ 中，$∠ CED + ∠ D + ∠ DCE = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠ CED = 180^{\circ} - 22^{\circ} - 60^{\circ} = 98^{\circ}$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 22^{\circ}$。
$\because ∠ CED = ∠ DFC + ∠ ACE$，
$\therefore ∠ DFC = 98^{\circ} - 22^{\circ} = 76^{\circ}$。
$\therefore ∠ AFG = ∠ DFC = 76^{\circ}$。
解析
(1)【证明】
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ B = ∠ DCE$。
在$△ ABC$与$△ DCE$中，
$\{\begin{array}{l} BC = CE, \\ ∠ B = ∠ DCE, \\ AB = CD, \end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DCE$（SAS）。
(2)【解】
$\because △ ABC ≌ △ DCE$，$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ D = 22^{\circ}$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ B = 60^{\circ}$，$∠ A = ∠ D = 22^{\circ}$。
在$△ CED$中，$∠ CED = 180^{\circ} - ∠ D - ∠ DCE = 180^{\circ} - 22^{\circ} - 60^{\circ} = 98^{\circ}$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 22^{\circ}$。
$\because ∠ CED = ∠ DFC + ∠ ACE$，
$\therefore ∠ DFC = 98^{\circ} - 22^{\circ} = 76^{\circ}$。
$\therefore ∠ AFG = ∠ DFC = 76^{\circ}$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ B = ∠ DCE$。
在$△ ABC$与$△ DCE$中，
$\{\begin{array}{l} BC = CE, \\ ∠ B = ∠ DCE, \\ AB = CD, \end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DCE$（SAS）。
(2)【解】
$\because △ ABC ≌ △ DCE$，$∠ B = 60^{\circ}$，$∠ D = 22^{\circ}$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ B = 60^{\circ}$，$∠ A = ∠ D = 22^{\circ}$。
在$△ CED$中，$∠ CED = 180^{\circ} - ∠ D - ∠ DCE = 180^{\circ} - 22^{\circ} - 60^{\circ} = 98^{\circ}$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 22^{\circ}$。
$\because ∠ CED = ∠ DFC + ∠ ACE$，
$\therefore ∠ DFC = 98^{\circ} - 22^{\circ} = 76^{\circ}$。
$\therefore ∠ AFG = ∠ DFC = 76^{\circ}$。
【变式训练 2】
如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上，点 $E$ 是 $△ ABC$ 外一点，连接 $AE$，$CE$，$AD$。若 $∠ 1 = ∠ 2$，$∠ E = ∠ D$，求证：$BD = CE$。
如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上，点 $E$ 是 $△ ABC$ 外一点，连接 $AE$，$CE$，$AD$。若 $∠ 1 = ∠ 2$，$∠ E = ∠ D$，求证：$BD = CE$。
答案
变式训练2 证明：
∵∠ACD=∠1+∠B，
∴∠2+∠ACE=∠1+∠B。
又
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠ACE。
在△ABD和△ACE中，
∵{∠B=∠ACE，∠D=∠E，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(AAS)。
∴BD=CE。
∵∠ACD=∠1+∠B，
∴∠2+∠ACE=∠1+∠B。
又
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠ACE。
在△ABD和△ACE中，
∵{∠B=∠ACE，∠D=∠E，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE(AAS)。
∴BD=CE。
1. 如图，已知 $AC // ED$，$∠ B = ∠ E$，$AB = CE$，$AC = 2$，$DE = 5$，则 $BD =$ (
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
C
)A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案
1. C
解析
证明：
∵AC//ED，
∴∠ACB=∠EDC。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠E\\ ∠ACB=∠EDC\\ AB=CE\end{array} $，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=DE=5，CD=AC=2，
∴BD=BC+CD=5+2=7。
7
∵AC//ED，
∴∠ACB=∠EDC。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠E\\ ∠ACB=∠EDC\\ AB=CE\end{array} $，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=DE=5，CD=AC=2，
∴BD=BC+CD=5+2=7。
7
2. 如图，在 $3 × 3$ 的正方形网格中，线段 $AB$，$CD$ 的端点均在格点上，则 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的数量关系是 (
A.$∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}$
B.$∠ 1 = ∠ 2$
C.$∠ 2 = ∠ 1 + 90^{\circ}$
D.$∠ 2 = 2∠ 1$
A
)A.$∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}$
B.$∠ 1 = ∠ 2$
C.$∠ 2 = ∠ 1 + 90^{\circ}$
D.$∠ 2 = 2∠ 1$
答案
2. A
