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3. 如图，已知 $BD = BC$，$BE = CA$，$∠ DBE = ∠ C = 60^{\circ}$，$∠ BDE = 70^{\circ}$，则 $∠ AFD =$ (
A.$35^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
D
)A.$35^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
答案
3. D
4. 如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$DF ⊥ BC$ 交 $AC$ 于点 $F$，$BD = CF$，$BE = CD$。若 $∠ AFD = 145^{\circ}$，则 $∠ EDF =$
55°
。答案
4. 55°
解析
证明：
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ BC$，
∴ $∠ BED = ∠ CDF = 90°$。
在 $Rt△ BDE$ 和 $Rt△ CFD$ 中，
$\begin{cases} BD = CF \\ BE = CD \end{cases}$，
∴ $Rt△ BDE ≌ Rt△ CFD$（HL），
∴ $∠ BDE = ∠ CFD$。
∵ $∠ AFD = 145°$，
∴ $∠ CFD = 180° - ∠ AFD = 35°$，
∴ $∠ BDE = 35°$。
∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ EDF = 180° - ∠ BDE - ∠ FDC = 180° - 35° - 90° = 55°$。
$55°$
∵ $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ BC$，
∴ $∠ BED = ∠ CDF = 90°$。
在 $Rt△ BDE$ 和 $Rt△ CFD$ 中，
$\begin{cases} BD = CF \\ BE = CD \end{cases}$，
∴ $Rt△ BDE ≌ Rt△ CFD$（HL），
∴ $∠ BDE = ∠ CFD$。
∵ $∠ AFD = 145°$，
∴ $∠ CFD = 180° - ∠ AFD = 35°$，
∴ $∠ BDE = 35°$。
∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ EDF = 180° - ∠ BDE - ∠ FDC = 180° - 35° - 90° = 55°$。
$55°$
5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $BD = CD$，点 $E$ 是 $AD$ 上任意一点，则图中有
3
对全等三角形。答案
5. 3
解析
证明：
∵ $AB = AC$，$BD = CD$，
∴ $AD$ 是 $△ABC$ 的中线，且 $△ABC$ 是等腰三角形，
∴ $AD$ 平分 $∠BAC$，$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一）。
1. 在 $△ABD$ 和 $△ACD$ 中，
$\begin{cases} AB = AC \\ BD = CD \\ AD = AD \end{cases}$，
∴ $△ABD ≌ △ACD$（SSS）。
2. 在 $△ABE$ 和 $△ACE$ 中，
$\begin{cases} AB = AC \\ ∠BAE = ∠CAE \\ AE = AE \end{cases}$，
∴ $△ABE ≌ △ACE$（SAS）。
3. 在 $△EBD$ 和 $△ECD$ 中，
$\begin{cases} BD = CD \\ ∠EDB = ∠EDC = 90° \\ ED = ED \end{cases}$，
∴ $△EBD ≌ △ECD$（SAS）。
综上，图中有 3 对全等三角形。
3
∵ $AB = AC$，$BD = CD$，
∴ $AD$ 是 $△ABC$ 的中线，且 $△ABC$ 是等腰三角形，
∴ $AD$ 平分 $∠BAC$，$AD⊥BC$（等腰三角形三线合一）。
1. 在 $△ABD$ 和 $△ACD$ 中，
$\begin{cases} AB = AC \\ BD = CD \\ AD = AD \end{cases}$，
∴ $△ABD ≌ △ACD$（SSS）。
2. 在 $△ABE$ 和 $△ACE$ 中，
$\begin{cases} AB = AC \\ ∠BAE = ∠CAE \\ AE = AE \end{cases}$，
∴ $△ABE ≌ △ACE$（SAS）。
3. 在 $△EBD$ 和 $△ECD$ 中，
$\begin{cases} BD = CD \\ ∠EDB = ∠EDC = 90° \\ ED = ED \end{cases}$，
∴ $△EBD ≌ △ECD$（SAS）。
综上，图中有 3 对全等三角形。
3
6. 如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 是 $BC$ 的中点，点 $E$ 在 $AD$ 上，且 $BE = AC$。若 $∠ CAD = 50^{\circ}$，则 $∠ BED$ 的度数为
50°
。答案
6. 50°
解析
证明：延长 $AD$ 至点 $F$，使 $DF = AD$，连接 $BF$。
因为点 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BD = CD$。
在 $△ BDF$ 和 $△ CDA$ 中，
$\begin{cases}BD = CD \\∠ BDF = ∠ CDA \\DF = AD\end{cases}$
所以 $△ BDF ≌ △ CDA$（SAS）。
因此，$BF = AC$，$∠ F = ∠ CAD = 50°$。
因为 $BE = AC$，所以 $BE = BF$。
所以 $∠ BED = ∠ F = 50°$。
$50°$
因为点 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BD = CD$。
在 $△ BDF$ 和 $△ CDA$ 中，
$\begin{cases}BD = CD \\∠ BDF = ∠ CDA \\DF = AD\end{cases}$
所以 $△ BDF ≌ △ CDA$（SAS）。
因此，$BF = AC$，$∠ F = ∠ CAD = 50°$。
因为 $BE = AC$，所以 $BE = BF$。
所以 $∠ BED = ∠ F = 50°$。
$50°$
7. 已知：如图，$AB = CD$，$BE = CF$，$AF = DE$。求证：
(1) $△ ABF ≌ △ DCE$；
(2) $AF // DE$。
(1) $△ ABF ≌ △ DCE$；
(2) $AF // DE$。
答案
7. 证明：(1)
∵BE=CF，
∴BE−EF=CF−EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
∵{AB=CD，BF=CE，AF=DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)。
(2)
∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC。
∴∠AFE=∠DEF。
∴AF//DE。
∵BE=CF，
∴BE−EF=CF−EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
∵{AB=CD，BF=CE，AF=DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)。
(2)
∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC。
∴∠AFE=∠DEF。
∴AF//DE。
8. 如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组的同学在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度。他们是这样做的：
① 在河流的一条岸边 $B$ 点，选对岸与 $B$ 点正对的一棵树 $A$；
② 从 $B$ 点沿河岸直走 $20$ m 有一棵树 $C$，继续前行 $20$ m 到达 $D$ 处；
③ 从 $D$ 处沿垂直于河岸的方向行走，当到达树 $A$ 正好被树 $C$ 遮挡住的 $E$ 处时停止行走；
④ 测得 $DE$ 的长为 $5$ m。
根据他们的做法，回答下列问题：
(1) 河的宽度是多少米？
(2) 请你证明他们做法的正确性。
① 在河流的一条岸边 $B$ 点，选对岸与 $B$ 点正对的一棵树 $A$；
② 从 $B$ 点沿河岸直走 $20$ m 有一棵树 $C$，继续前行 $20$ m 到达 $D$ 处；
③ 从 $D$ 处沿垂直于河岸的方向行走，当到达树 $A$ 正好被树 $C$ 遮挡住的 $E$ 处时停止行走；
④ 测得 $DE$ 的长为 $5$ m。
根据他们的做法，回答下列问题：
(1) 河的宽度是多少米？
(2) 请你证明他们做法的正确性。
答案
8. (1) 5 m
(2) 证明：由题意知BC=CD，
∠ABC=∠EDC=90°。
在△ABC和△EDC中，
∵{∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)。
∴AB=DE。
(2) 证明：由题意知BC=CD，
∠ABC=∠EDC=90°。
在△ABC和△EDC中，
∵{∠ABC=∠EDC，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)。
∴AB=DE。
