登录
1. 在一个三角形中，若三个内角的度数之比为$1:2:6$，则这个三角形是（
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
A
）A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的定理，已知三个内角的度数比，我们可以设每份角度为未知数，根据内角和列方程求出三个角的具体度数，重点观察最大角的度数：如果最大角大于90°则为钝角三角形，等于90°为直角三角形，小于90°为锐角三角形，据此即可判断三角形类型。
【解析】
设三角形三个内角的度数分别为$k$、$2k$、$6k$（$k＞0$），根据三角形内角和定理可得：
$k + 2k + 6k = 180°$
合并同类项得：$9k = 180°$
解得：$k = 20°$
因此三个内角的度数分别为$20°$、$40°$、$120°$，最大角为120°属于钝角，所以这个三角形是钝角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，只要熟练掌握内角和定理，结合比例关系求出各角度数即可快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°的定理，已知三个内角的度数比，我们可以设每份角度为未知数，根据内角和列方程求出三个角的具体度数，重点观察最大角的度数：如果最大角大于90°则为钝角三角形，等于90°为直角三角形，小于90°为锐角三角形，据此即可判断三角形类型。
【解析】
设三角形三个内角的度数分别为$k$、$2k$、$6k$（$k＞0$），根据三角形内角和定理可得：
$k + 2k + 6k = 180°$
合并同类项得：$9k = 180°$
解得：$k = 20°$
因此三个内角的度数分别为$20°$、$40°$、$120°$，最大角为120°属于钝角，所以这个三角形是钝角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，只要熟练掌握内角和定理，结合比例关系求出各角度数即可快速判断三角形类型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，BD是边AC上的高，CE是$∠ ACB$的平分线，BD，CE相交于点F。若$∠ AEC=80°$，$∠ BFC=128°$，则$∠ ABC$的度数是（
A.$28°$
B.$38°$
C.$42°$
D.$62°$
C
）A.$28°$
B.$38°$
C.$42°$
D.$62°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：BD是AC边上的高可得90°的直角，CE是角平分线可得相等的两个角。首先利用三角形外角的性质，结合已知∠BFC和直角的度数，先求出CE平分∠ACB得到的∠FCD的度数，即可得到∠BCE的度数；再根据平角的定义求出∠BEC的度数，最后在△BEC中利用三角形内角和定理就能计算出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°。
∵∠BFC是△CDF的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BFC=∠BDC + ∠FCD，
代入数据得：$∠ FCD=∠ BFC - ∠ BDC=128° - 90°=38°$。
∵CE是∠ACB的平分线，
∴$∠ BCE=∠ FCD=38°$。
∵∠AEC与∠BEC组成平角，
∴$∠ BEC=180° - ∠ AEC=180° - 80°=100°$。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，
∴$∠ ABC=180° - ∠ BEC - ∠ BCE=180° - 100° - 38°=42°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形内角与外角的基础综合题，解题的突破口是利用外角性质先求出角平分线分得的角的度数，再结合内角和公式计算所求角，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：BD是AC边上的高可得90°的直角，CE是角平分线可得相等的两个角。首先利用三角形外角的性质，结合已知∠BFC和直角的度数，先求出CE平分∠ACB得到的∠FCD的度数，即可得到∠BCE的度数；再根据平角的定义求出∠BEC的度数，最后在△BEC中利用三角形内角和定理就能计算出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°。
∵∠BFC是△CDF的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BFC=∠BDC + ∠FCD，
代入数据得：$∠ FCD=∠ BFC - ∠ BDC=128° - 90°=38°$。
∵CE是∠ACB的平分线，
∴$∠ BCE=∠ FCD=38°$。
∵∠AEC与∠BEC组成平角，
∴$∠ BEC=180° - ∠ AEC=180° - 80°=100°$。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，
∴$∠ ABC=180° - ∠ BEC - ∠ BCE=180° - 100° - 38°=42°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形内角与外角的基础综合题，解题的突破口是利用外角性质先求出角平分线分得的角的度数，再结合内角和公式计算所求角，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B和点C都与点A重合，折痕分别为DE，MN。若$∠ BAC = 110°$，则$∠ DAM$的度数为（
A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A
）A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质，确定折叠后对应的相等角，即∠B=∠BAD，∠C=∠CAM；再根据三角形内角和定理求出∠B与∠C的和；最后通过角的和差关系，用∠BAC减去∠BAD与∠CAM的和，即可求出∠DAM的度数。
【解析】
∵ 把三角形纸片ABC折叠，点B与点A重合，点C与点A重合
∴ ∠BAD = ∠B，∠CAM = ∠C
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，已知∠BAC=110°
∴ ∠B + ∠C = 180° - 110° = 70°
∴ ∠BAD + ∠CAM = ∠B + ∠C = 70°
∴ ∠DAM = ∠BAC - (∠BAD + ∠CAM) = 110° - 70° = 40°
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题是几何基础题，核心是将折叠性质与三角形内角和定理结合运用，解题的关键是准确找到折叠前后相等的角，再通过角的运算推导结果，这类题型是内角和相关知识的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质，确定折叠后对应的相等角，即∠B=∠BAD，∠C=∠CAM；再根据三角形内角和定理求出∠B与∠C的和；最后通过角的和差关系，用∠BAC减去∠BAD与∠CAM的和，即可求出∠DAM的度数。
【解析】
∵ 把三角形纸片ABC折叠，点B与点A重合，点C与点A重合
∴ ∠BAD = ∠B，∠CAM = ∠C
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，已知∠BAC=110°
∴ ∠B + ∠C = 180° - 110° = 70°
∴ ∠BAD + ∠CAM = ∠B + ∠C = 70°
∴ ∠DAM = ∠BAC - (∠BAD + ∠CAM) = 110° - 70° = 40°
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题是几何基础题，核心是将折叠性质与三角形内角和定理结合运用，解题的关键是准确找到折叠前后相等的角，再通过角的运算推导结果，这类题型是内角和相关知识的常见考法。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知 $AD ⊥ BC$，$∠ ABD = ∠ BAD$，$∠ C=65°$，则$∠ BAC$的度数是（
A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
C
）A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先由AD⊥BC可得∠ADB和∠ADC均为直角，先在△ABD中，结合∠ABD=∠BAD与三角形内角和定理求出∠BAD的度数，再在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠CAD的度数，最后将两个角相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=∠BAD，
根据三角形内角和为180°，得∠BAD+∠ABD=180°-90°=90°，
∴∠BAD=∠ABD=90°÷2=45°。
在Rt△ADC中，∠C=65°，
根据直角三角形两锐角互余，得∠CAD=90°-∠C=90°-65°=25°。
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+25°=70°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形内角相关的基础考题，解题的关键是利用垂直条件得到直角，再分别求解两个小三角形中对应锐角的度数，熟练掌握三角形内角相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先由AD⊥BC可得∠ADB和∠ADC均为直角，先在△ABD中，结合∠ABD=∠BAD与三角形内角和定理求出∠BAD的度数，再在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠CAD的度数，最后将两个角相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=∠BAD，
根据三角形内角和为180°，得∠BAD+∠ABD=180°-90°=90°，
∴∠BAD=∠ABD=90°÷2=45°。
在Rt△ADC中，∠C=65°，
根据直角三角形两锐角互余，得∠CAD=90°-∠C=90°-65°=25°。
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+25°=70°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形内角相关的基础考题，解题的关键是利用垂直条件得到直角，再分别求解两个小三角形中对应锐角的度数，熟练掌握三角形内角相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 给出下列条件：①$∠ A + ∠ B = ∠ C$；
②$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1:2:3$；
③$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ C$；
④$∠ A = ∠ B = 2∠ C$；
⑤$∠ A = 2∠ B = 3∠ C$。
其中能确定$△ ABC$为直角三角形的条件有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
②$∠ A : ∠ B : ∠ C = 1:2:3$；
③$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ C$；
④$∠ A = ∠ B = 2∠ C$；
⑤$∠ A = 2∠ B = 3∠ C$。
其中能确定$△ ABC$为直角三角形的条件有（
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
5. B
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形内角和为180°，要判断△ABC是否为直角三角形，只需验证三个内角中是否存在90°的角。我们可以对每个给定的条件，结合内角和定理，通过设未知数的方式计算各内角的度数，逐一判断即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析各条件：
1. 对条件①：已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：
$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
2. 对条件②：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得：
$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
3. 对条件③：已知$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得：
$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
4. 对条件④：已知$∠ A=∠ B=2∠ C$，设$∠ C=x$，则$∠ A=∠ B=2x$，代入得：
$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，最大角$∠ A=∠ B=72°≠90°$，故$△ ABC$不是直角三角形；
5. 对条件⑤：已知$∠ A=2∠ B=3∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入得：
$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 180°$，解得$x=\frac{1080}{11}°\approx98.2°≠90°$，故$△ ABC$不是直角三角形。
综上，能确定为直角三角形的条件是①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据角的数量关系合理设未知数，通过解方程求出各内角的度数进而判断三角形形状，计算时需注意通分、系数化一等步骤的准确性。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形内角和为180°，要判断△ABC是否为直角三角形，只需验证三个内角中是否存在90°的角。我们可以对每个给定的条件，结合内角和定理，通过设未知数的方式计算各内角的度数，逐一判断即可。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析各条件：
1. 对条件①：已知$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得：
$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
2. 对条件②：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得：
$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
3. 对条件③：已知$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得：
$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，故$△ ABC$是直角三角形；
4. 对条件④：已知$∠ A=∠ B=2∠ C$，设$∠ C=x$，则$∠ A=∠ B=2x$，代入得：
$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，最大角$∠ A=∠ B=72°≠90°$，故$△ ABC$不是直角三角形；
5. 对条件⑤：已知$∠ A=2∠ B=3∠ C$，设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{x}{2}$，$∠ C=\frac{x}{3}$，代入得：
$x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 180°$，解得$x=\frac{1080}{11}°\approx98.2°≠90°$，故$△ ABC$不是直角三角形。
综上，能确定为直角三角形的条件是①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据角的数量关系合理设未知数，通过解方程求出各内角的度数进而判断三角形形状，计算时需注意通分、系数化一等步骤的准确性。
【难度系数】
0.7
6. 在直角三角形ABC中，$∠ C = 90°$. 若$∠ A:∠ B:∠ C = 5:3:x$, 则$x$的值为
8
.答案
6. 8
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①△ABC为直角三角形，∠C=90°；②三个内角的度数比为∠A:∠B:∠C=5:3:x；③三角形内角和为180°。我们可以利用比例设参数的方法，把三个角的度数用含同一个参数的式子表示，再结合内角和定理先求出参数的值，最后代入∠C的表达式即可求出x的值；也可以根据直角占内角和的一半，直接得到∠C对应的份数等于另外两个角的份数和，快速算出x。
【解析】
解：
∵ ∠A:∠B:∠C = 5:3:x，
∴ 设∠A = 5k，∠B = 3k，∠C = xk（k≠0），
∵ 在△ABC中，∠C=90°，三角形内角和为180°，
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，
代入得：5k + 3k + 90° = 180°，
合并同类项得：8k = 90°，解得k = 90°/8，
又
∵ ∠C = xk = 90°，
将k = 90°/8代入得：$x·\frac{90°}{8}=90°$，
两边同时除以90°得：$\frac{x}{8}=1$，
∴ x = 8。
【答案】
8
【知识点】
三角形内角和定理；比例的应用；直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形内角和与比例结合的基础题型，解题的核心是掌握比例设参的方法，结合直角三角形的已知角度条件列式计算，主要考查对基础概念的应用能力和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①△ABC为直角三角形，∠C=90°；②三个内角的度数比为∠A:∠B:∠C=5:3:x；③三角形内角和为180°。我们可以利用比例设参数的方法，把三个角的度数用含同一个参数的式子表示，再结合内角和定理先求出参数的值，最后代入∠C的表达式即可求出x的值；也可以根据直角占内角和的一半，直接得到∠C对应的份数等于另外两个角的份数和，快速算出x。
【解析】
解：
∵ ∠A:∠B:∠C = 5:3:x，
∴ 设∠A = 5k，∠B = 3k，∠C = xk（k≠0），
∵ 在△ABC中，∠C=90°，三角形内角和为180°，
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，
代入得：5k + 3k + 90° = 180°，
合并同类项得：8k = 90°，解得k = 90°/8，
又
∵ ∠C = xk = 90°，
将k = 90°/8代入得：$x·\frac{90°}{8}=90°$，
两边同时除以90°得：$\frac{x}{8}=1$，
∴ x = 8。
【答案】
8
【知识点】
三角形内角和定理；比例的应用；直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形内角和与比例结合的基础题型，解题的核心是掌握比例设参的方法，结合直角三角形的已知角度条件列式计算，主要考查对基础概念的应用能力和简单运算能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在直角三角形ABC中，∠BAC = 90°，BD平分∠ABC，且∠CAD = ∠CBD. 求证：△ABD是直角三角形.
答案
7. 证明 在直角三角形 ABC 中，
因为$∠BAC=90°$,
所以$∠BAD+∠CAD=90°$.
因为 BD 平分$∠ABC$, 所以$∠ABD=∠CBD$.
因为$∠CAD=∠CBD$, 所以$∠ABD=∠CAD$.
所以$∠BAD+∠ABD=90°$.
所以$△ABD$是直角三角形.
因为$∠BAC=90°$,
所以$∠BAD+∠CAD=90°$.
因为 BD 平分$∠ABC$, 所以$∠ABD=∠CBD$.
因为$∠CAD=∠CBD$, 所以$∠ABD=∠CAD$.
所以$∠BAD+∠ABD=90°$.
所以$△ABD$是直角三角形.
解析
【分析】
要证明△ABD是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个内角为90°，或两个锐角互余。首先从已知Rt△ABC的∠BAC=90°入手，可得∠BAD与∠CAD的和为90°；再利用角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD，结合题目给出的∠CAD=∠CBD，通过等量代换将∠CAD替换为∠ABD，即可得到∠BAD+∠ABD=90°，进而推出∠ADB=90°，完成证明。
【解析】
证明：在直角三角形ABC中，
∵ $∠ BAC=90°$,
∴ $∠ BAD+∠ CAD=90°$.
∵ BD平分$∠ ABC$,
∴ $∠ ABD=∠ CBD$.
∵ $∠ CAD=∠ CBD$,
∴ $∠ ABD=∠ CAD$（等量代换）,
∴ $∠ BAD+∠ ABD=90°$,
∴ $∠ ADB=180°-(∠ BAD+∠ ABD)=90°$,
∴ $△ ABD$是直角三角形.
【答案】
$△ ABD$是直角三角形，证明过程如下：
在直角三角形ABC中，$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ BAD+∠ CAD=90°$。$\because$ BD平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。$\because ∠ CAD=∠ CBD$，$\therefore ∠ ABD=∠ CAD$，$\therefore ∠ BAD+∠ ABD=90°$，$\therefore △ ABD$是直角三角形。
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角的等量代换能力，解题时需要结合已知条件梳理角之间的数量关系，熟练掌握角平分线的性质和直角三角形的判定方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个内角为90°，或两个锐角互余。首先从已知Rt△ABC的∠BAC=90°入手，可得∠BAD与∠CAD的和为90°；再利用角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD，结合题目给出的∠CAD=∠CBD，通过等量代换将∠CAD替换为∠ABD，即可得到∠BAD+∠ABD=90°，进而推出∠ADB=90°，完成证明。
【解析】
证明：在直角三角形ABC中，
∵ $∠ BAC=90°$,
∴ $∠ BAD+∠ CAD=90°$.
∵ BD平分$∠ ABC$,
∴ $∠ ABD=∠ CBD$.
∵ $∠ CAD=∠ CBD$,
∴ $∠ ABD=∠ CAD$（等量代换）,
∴ $∠ BAD+∠ ABD=90°$,
∴ $∠ ADB=180°-(∠ BAD+∠ ABD)=90°$,
∴ $△ ABD$是直角三角形.
【答案】
$△ ABD$是直角三角形，证明过程如下：
在直角三角形ABC中，$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ BAD+∠ CAD=90°$。$\because$ BD平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$。$\because ∠ CAD=∠ CBD$，$\therefore ∠ ABD=∠ CAD$，$\therefore ∠ BAD+∠ ABD=90°$，$\therefore △ ABD$是直角三角形。
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角的等量代换能力，解题时需要结合已知条件梳理角之间的数量关系，熟练掌握角平分线的性质和直角三角形的判定方法即可轻松解决。
【难度系数】
0.8
