1. 如图，直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，点B均不与点O重合.

（1）如图①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO=40°，求∠AIB的度数.
（2）如图②，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D；
①若∠BAO=40°，则∠ADB=.
②点A，B在运动的过程中，∠ADB的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求∠ADB的度数.
（3）如图③，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI，∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D，F，点A，B在运动的过程中，
①直接写出∠F与∠ABO之间的关系.
②在△ADF中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的5倍，直接写出∠ABO的度数.

1. (1)
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB=90°.
∵∠BAO=40°，
∴∠ABO=90°−∠BAO=90°−40°=50°.
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IAB=1/2∠BAO=1/2×40°=20°，
∠IBA=1/2∠ABO=1/2×50°=25°，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=180°−(20°+25°)=135°.
(2) ① 45°
② ∠ADB大小不变，度数恒为45°，理由如下：
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB=90°.
设∠BAO=m°，则∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+m°.
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠DAB=1/2∠BAO=1/2 m°，∠CBA=1/2∠ABM=1/2(90°+m°)=45°+1/2 m°.
∵∠CBA=∠ADB+∠DAB，
∴∠ADB=∠CBA−∠DAB=45°+1/2 m°−1/2 m°=45°，
∴∠ADB大小不变，度数恒为45°.
(3) ① ∠F=90°−1/2∠ABO.
② ∠ABO的度数为36°或30°.

2.【问题】
(1)如图①,在$△ ABC$中,BE平分$∠ ABC$,CE平分$∠ ACB$.
①若$∠ A=60°$,则$∠ BEC=$;
②若$∠ A=n°$,则$∠ BEC=$.

【探究】
(2)如图②,在$△ ABC$中,BD,BE三等分$∠ ABC$,CD,CE三等分$∠ ACB$.若$∠ A=n°$,则$∠ BEC=$.
(3)如图③,O是$∠ ABC$与外角$∠ ACD$的平分线BO和CO的交点,试分析$∠ BOC$和$∠ A$有怎样的关系?请说明理由.

【应用】
(4)如图④,在四边形ABCD中,BF平分$∠ ABC$,CG平分外角$∠ DCE$,连接FG.若$∠ A=140°$,$∠ D=90°$,求$∠ F+∠ G$的度数.

2. (1) ① 120° ② 90°+1/2 n°
(2) 60°+2/3 n°
(3) ∠BOC=1/2∠A. 理由如下：
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠OCD=∠BOC+∠OBC，
∵O是∠ABC与∠ACD的平分线BO和CO的交点，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，
∴∠A + ∠ABC = ∠ACD = 2 ∠OCD = 2（∠BOC + ∠OBC），
∴∠A=2∠BOC，
∴∠BOC=1/2∠A.
(4) 如图，延长BA和CD交于M，延长BF和CG交于N，
∵BF平分∠ABC，CG平分外角∠DCE，
∴由(3)的结论可知∠N=1/2∠M.
∵∠ADC=90°，
∴∠ADM=180°−90°=90°，
∴∠M=∠BAD−∠ADM=140°−90°=50°，
∴∠N=1/2×50°=25°.
∵∠BFG=∠N+∠FGN，∠CGF=∠N+∠NFG，
∴∠BFG+∠CGF=∠N+∠FGN+∠N+∠NFG=25°+180°=205°.