3. 阅读下列材料并解答问题：
定义:如果两个角的差是$30°$,就称这两个角互为“黄金角”,其中一个角叫作另一个角的“黄金角”.例如$α=72°,β=42°,α-β=30°$,则$α,β$互为“黄金角”,即$α$是$β$的“黄金角”,$β$也是$α$的“黄金角”.
(1)已知$∠ 1$与$∠ 2$互为“黄金角”,且$∠ 1＞∠ 2$,若$∠ 1$与$∠ 2$互余,则$∠ 1=$$°$.
(2)如图,在$△ ABC$中,$∠ BCA=90°$,过点$C$作$AB$的平行线$CF$,作$∠ CAB$的平分线$AD$,$AD$分别交$CB,CF$于$D,E$两点.

备用图
①若$∠ B＞∠ AEC$,且$∠ B$与$∠ AEC$互为“黄金角”,则$∠ B$的度数为.
②如图,若$CG$为$△ ABC$的$AB$边上的高,垂足为$G$,$∠ AEC=20°$,判断$∠ DCG$与$∠ CDA$是否互为“黄金角”,请说明理由.

3. (1) 60
(2) ① 50°
② ∠CDA是∠DCG的黄金角，理由如下：
如图，CG为△ABC的AB边上的高，垂足为G，
∵CF//AB，
∴∠DAB=∠AEC=20°。
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB=20°，
∴∠CAB=40°.
∵∠BCA=90°，
∴∠B=90°−∠CAB=90°−40°=50°.
∵∠CDA+∠BDA=∠B+∠DAB+∠BDA=180°，
∴∠CDA=∠B+∠DAB=50°+20°=70°.
∵CG为△ABC的AB边上的高，
∴∠CGA=90°，
∴∠GCA=90°−40°=50°，
∴∠DCG=90°−50°=40°，
∴∠CDA=∠DCG+30°，
即∠CDA−∠DCG=30°，
∴∠DCG是∠CDA的黄金角.

4. 如图1，AB与CD交于点E，

(1)求证:$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$；
(2)如图2，$AD// BC$，$AF// CD$，AE平分$∠ DAF$，$AF⊥ BF$，求证:$∠ C=2∠ ABF$；
(3)如图3，$AD// BC$，AN平分$∠ BAD$，CN平分$∠ BCD$，AN与CN交于点N，$DM⊥ AB$，$BM⊥ CD$，DM与BM交于点M，试探究$∠ M$与$∠ N$的数量关系，并证明你的结论。

4. (1) 证明:
∵∠A+∠D=180°−∠AED，
∠B+∠C=180°−∠BEC，
∠AED=∠BEC，
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
(2) 证明:设∠ABF=α，设BF与CD交于点G，
∵AF⊥BF，
∴∠FAB=180°−90°−α=90°−α.
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAB=∠FAB=90°−α.
∵AD//BC，
∴∠ABC=∠DAB=90°−α，
∴∠CBF=∠ABC−∠ABF=90°−2α.
∵AF//CD，
∴∠BGE=∠F=90°，
∴∠BGC=180°−∠BGE=90°，
∴∠C=180°−90°−∠CBF=2α，
即∠C=2∠ABF.
(3) 解:∠M+2∠N=180°，理由如下：
设∠DAN=∠1，∠DCN=∠2，
∵AN平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠DAE=2∠1，∠BCE=2∠2.
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠BCE=2∠2.
由(1)的结论得∠DAN+∠ADC=∠DCN+∠N，即∠1+2∠2=∠2+∠N，
∴∠N=∠1+∠2.
在△AED中，∠AED=180°−(∠EAD+∠EDA)=180°−2(∠1+∠2).
∵DM⊥AB，BM⊥CD，
由四边形内角和定理知∠M=360°−90°−90°−∠AEC=180°−∠AEC=∠AED，
∴∠M=180°−2(∠1+∠2)，
∴∠M=180°−2∠N，
∴∠M+2∠N=180°.