6. 某工厂要制作两边长分别为2 m和4 m，第三边长为奇数的三角形框架.
(1) 设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架？为什么？
(2) 设计小组成员到建材市场收集数据如下：

根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条可以切割，但不能拼接），求最少费用.

6. 解：(1) 设第三边长为 x，则 4-2＜x＜2+4，即 2＜x＜6.
∵第三边长为奇数，
∴第三边长可以为 3 和 5，
∴可以设计两种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长为 2，3，4 或 2，5，4.
(2) 由表格，可得 4 m 长的铁条每米费用最少.
∵铁条长度可以切割，但不能拼接，
∴应尽可能多地使用 4 m 长的铁条，才能使费用最少. 由 (1) 知两种三角形框架的边长分别为 2，3，4 和 2，5，4，各做一个，
∴可以购买 4 m 的 3 根，3 m 和 5 m 的各一根，费用最少，最少费用为 10×3+8+15=53 (元).
答：购买铁条所需最少费用为 53 元.

【分析】
(1) 求解三角形框架的规格，需先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的限定筛选出符合要求的边长，即可得到不同规格的数量。
(2) 求解最少费用时，首先计算不同规格铁条的每米单价，优先选择单价最低的铁条，再结合“铁条可切割、不可拼接”的限制，合理搭配铁条规格满足所有边长需求，最后计算总费用即可。
【解析】
(1) 设第三边长为$x\ \mathrm{m}$，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$4-2 ＜ x ＜ 4+2$，即$2 ＜ x ＜ 6$
∵第三边长为奇数，
∴$x$可取3、5两个值，
因此可以设计两种不同规格的三角形框架，边长分别为$\quantity{2}{m}$、$\quantity{3}{m}$、$\quantity{4}{m}$和$\quantity{2}{m}$、$\quantity{4}{m}$、$\quantity{5}{m}$。
(2) 先计算各规格铁条的每米单价：
$\quantity{2}{m}$规格：$6÷2=3$元/米；$\quantity{3}{m}$规格：$8÷3\approx2.67$元/米；$\quantity{4}{m}$规格：$10÷4=2.5$元/米；$\quantity{5}{m}$规格：$15÷5=3$元/米；$\quantity{6}{m}$规格：$20÷6\approx3.33$元/米
可知$\quantity{4}{m}$规格的铁条单价最低，应优先选用。
制作两种三角形框架各一个，共需要2根$\quantity{2}{m}$、2根$\quantity{4}{m}$、1根$\quantity{3}{m}$、1根$\quantity{5}{m}$的边。
最优采购方案：购买3根$\quantity{4}{m}$的铁条，其中2根直接用作$\quantity{4}{m}$的边，1根切割为2根$\quantity{2}{m}$的边；再购买1根$\quantity{3}{m}$的铁条、1根$\quantity{5}{m}$的铁条，刚好满足剩余边长需求。
总费用为：$10×3 + 8 +15=53$（元）
【答案】
(1) 2种，三角形框架边长分别为$\quantity{2}{m}$、$\quantity{3}{m}$、$\quantity{4}{m}$和$\quantity{2}{m}$、$\quantity{4}{m}$、$\quantity{5}{m}$；
(2) 最少费用为$\boxed{53}$元。
【知识点】
三角形三边关系；最优方案设计
【点评】
本题结合几何性质与生活实际问题，既考查了三角形三边关系的基础应用，又考查了在给定约束条件下选择最优方案的能力，解题时要注意“可切割不可拼接”的限制，避免因拼接的错误思路导致费用计算错误。
【难度系数】
0.7

7. 已知：如图，P是$△ ABC$内一点，请证明$AB+AC＞PB+PC$. 第7题图

证明：如图所示，延长 BP 交 AC 于点 D，
在△ABD 中，PB+PD＜AB+AD，①
在△PCD 中，PC＜PD+CD，②
①+②，得 PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
故 PB+PC＜AB+AC，即 AB+AC＞PB+PC.

【分析】
要证明线段和的不等关系，可利用三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）求解。由于待证的四条线段AB、AC、PB、PC不在同一个三角形中，因此需要作辅助线构造相关三角形：延长BP交AC于点D，将图形拆分为△ABD和△PCD。分别在两个三角形中应用三边关系得到不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段PD，整理后即可得到待证结论。
【解析】
证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，根据三角形三边关系，得$PB+PD＜AB+AD$ ①，
在△PCD中，根据三角形三边关系，得$PC＜PD+CD$ ②，
将①和②左右两边分别相加，可得：
$PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD$，
两边同时减去PD，得$PB+PC＜AB+(AD+CD)$，
又因为$AD+CD=AC$，因此$PB+PC＜AB+AC$，即$AB+AC＞PB+PC$。
【答案】
证明：如图所示，延长 BP 交 AC 于点 D，
在△ABD 中，PB+PD＜AB+AD，①
在△PCD 中，PC＜PD+CD，②
①+②，得 PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
故 PB+PC＜AB+AC，即 AB+AC＞PB+PC.

【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题的关键是通过合理作辅助线，将分散的待证线段整合到不同三角形中，结合三边关系列出不等式后通过代数变形推导结论，掌握这类辅助线的作法能快速解决线段和的不等关系类证明题。
【难度系数】
0.7

8. (2025·海南) 已知三角形三条边的长分别为3，5，x，则x的值可能是 ()

A.2
B.5
C.8
D.11

8. B

【分析】
本题需利用三角形三边关系求解，解题思路如下：首先回忆三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；接着根据已知的两条边长3和5，列出第三边x的取值范围不等式；最后将各选项的数值代入取值范围验证，选出符合条件的选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之差 ＜ 第三边 ＜ 任意两边之和，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得：$2 ＜ x ＜ 8$
逐一验证选项：
A. $2$，不满足$x＞2$，不符合；
B. $5$，满足$2＜5＜8$，符合；
C. $8$，不满足$x＜8$，不符合；
D. $11$，不满足$x＜8$，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的掌握和应用，只要熟记三边关系的内容，准确计算取值范围即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9

9. (2025·连云港) 下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（）

A.1，2，3
B.2，3，4
C.3，5，8
D.4，5，10

9. B

【分析】
要判断三根小木棒能否搭成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高判断效率，我们只需验证较短两条边的长度之和是否大于最长边的长度即可，若满足该条件则能构成三角形，反之则不能，接下来逐个分析选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系逐一验证各选项：
A选项：较短两边长为1、2，最长边长为3，$1+2=3$，不满足两边之和大于第三边，不能搭成三角形；
B选项：较短两边长为2、3，最长边长为4，$2+3=5＞4$，满足三角形三边关系，可以搭成三角形；
C选项：较短两边长为3、5，最长边长为8，$3+5=8$，不满足两边之和大于第三边，不能搭成三角形；
D选项：较短两边长为4、5，最长边长为10，$4+5=9＜10$，不满足两边之和大于第三边，不能搭成三角形。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查三角形三边关系的应用，掌握“较短两边之和大于最长边即可构成三角形”的判断技巧，可快速完成解题。
【难度系数】
0.9