1. 把$x^2y^5 - xy^n z$分解因式时，提出的公因式是$xy^5$，则$n$的值可能是().

A.6
B.4
C.3
D.2

A

【分析】
要解决这道题，首先回忆提公因式法中确定公因式的规则：公因式中相同字母的指数，要取多项式各项里该字母的最小指数。本题已知提出的公因式是$xy^5$，我们只需根据y的指数要求推导n的取值范围，再匹配选项即可。首先看多项式的两个项：第一项$x^2y^5$中y的指数是5，第二项$xy^n z$中y的指数是n，公因式里y的指数是5，说明两项中y的最小指数是5，因此n必须大于等于5，这样最小的指数才是5，最后看选项中符合要求的数值即可。
【解析】
根据提公因式法中公因式的确定规则：相同字母的指数取各项中该字母的最小指数。
已知分解因式时提出的公因式是$xy^5$，即公因式中$y$的指数为5，说明多项式两项中$y$的指数的最小值是5。
第一项$x^2y^5$中$y$的指数为5，因此第二项$xy^n z$中$y$的指数$n$需满足$n≥5$。
对比四个选项，只有A选项的6满足$n≥5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的核心规则，重点是理解公因式中相同字母的指数取各项最小指数的要求，属于基础题型，熟练掌握公因式的确定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式：
(1) $4x^2 - 4xy + 8xz$；
(2) $(a + b) - (a + b)^2$；
(3) $(x - 2y)(2x + 3y) - (2y - x)(5x + 3y)$；

解：(1)原式$=4x(x-y+2z)$。
(2)原式$=(a+b)(1-a-b)$。
(3)原式$=(x-2y)(2x+3y+5x+3y)=(x-2y)(7x+6y)$。

【分析】
这三道因式分解题均采用提公因式法求解，解题思路如下：1. 先确定每道题的公因式：（1）中各项系数最大公约数为4，都含字母x且最低次幂为1，公因式为4x；（2）中两项都含多项式公因式$(a+b)$，把$(a+b)$看作整体提取；（3）中注意$2y-x=-(x-2y)$，统一形式后公因式为$(x-2y)$。2. 提取公因式后，对括号内的剩余项化简、合并同类项，保证结果为最简整式乘积形式。
【解析】
(1) 提取公因式$4x$：
原式$=4x· x - 4x· y + 4x· 2z = 4x(x-y+2z)$
(2) 将$(a+b)$看作整体作为公因式提取：
原式$=1·(a+b) - (a+b)·(a+b) = (a+b)[1-(a+b)] = (a+b)(1-a-b)$
(3) 先将$2y-x$变形为$-(x-2y)$，再提取公因式$(x-2y)$，最后合并同类项：
原式$=(x-2y)(2x+3y) + (x-2y)(5x+3y)$
$=(x-2y)(2x+3y+5x+3y)$
$=(x-2y)(7x+6y)$
【答案】
(1) $4x(x-y+2z)$
(2) $(a+b)(1-a-b)$
(3) $(x-2y)(7x+6y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式确定，整体思想
【点评】
这组题目是提公因式法分解因式的常规题型，核心是准确识别公因式，公因式既可以是单项式也可以是多项式，遇到互为相反数的多项式因式时要先统一形式，提取公因式后注意化简剩余项，保证分解彻底。
【难度系数】
0.85

3. 先分解因式，再求值：$2a(a - b) - (a - b)^2 - b(b - a)$，其中$a=1$，$b=\frac{1}{2}$。

解：原式$=(a-b)(2a -a +b +b)=(a-b)(a+2b)$。
当$a=1$，$b=\frac{1}{2}$时，原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+2×\frac{1}{2})=1$。

【分析】
本题要求先分解因式再求值，解题时先观察多项式的各项特征：前两项含有公因式$(a-b)$，第三项的$(b-a)$可变形为$-(a-b)$，因此三项的公因式为$(a-b)$。先统一各项的因式形式，再提取公因式化简，最后代入$a$、$b$的值计算，可避免直接展开计算的繁琐，降低出错率。
【解析】
首先将$b-a$变形为$-(a-b)$，对原式变形得：
$\begin{aligned}原式&=2a(a - b) - (a - b)^2 - b×[-(a - b)]\\&=2a(a - b) - (a - b)^2 + b(a - b)\end{aligned}$
提取公因式$(a-b)$：
$\begin{aligned}原式&=(a - b)[2a - (a - b) + b]\\&=(a - b)(2a - a + b + b)\\&=(a - b)(a + 2b)\end{aligned}$
将$a=1$，$b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=(1 - \frac{1}{2})×(1 + 2×\frac{1}{2})\\&=\frac{1}{2}×2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是准确找到多项式的公因式，注意互为相反数的因式可通过调整符号统一，先因式分解再代入求值的方法能大幅简化计算过程，提升运算准确率。
【难度系数】
0.8

4. 已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，则$a^2 - ac - ab + bc$的值是。

-5

【分析】
直接求解a、b、c的具体值较为繁琐，因此优先考虑对所求代数式进行因式分解，将其转化为含已知条件的整体形式，再代入计算即可。具体思路为：第一步对多项式分组后提公因式，分解为两个一次因式的乘积；第二步根据已知的两个等式，求出分解后所需的整体值；第三步代入计算得到结果。
【解析】
首先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^2 - ac - ab + bc&=(a^2 - ab) + (-ac + bc)\\&=a(a - b) - c(a - b)\\&=(a - b)(a - c)\end{aligned}$
已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，将两式相加可得：
$a - b + b - c = 5 + (-6)$，即$a - c = -1$
将$a - b = 5$，$a - c = -1$代入分解后的式子：
原式$=5×(-1)=-5$
【答案】
-5
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过分组提公因式将多项式转化为可用已知条件表示的形式，利用整体思想简化计算，避免了求解单个字母值的繁琐。
【难度系数】
0.7

5. 已知 $2x - y = \frac{1}{3}$，$xy = 3$，求 $2x^4y^3 - x^3y^4$ 的值。

解：原式$=x^3y^3 · 2x - x^3y^3 · y = x^3y^3 · (2x-y)$。$\because 2x-y=\frac{1}{3}$，$xy=3$，$\therefore$ 原式$=(xy)^3(2x-y)=3^3×\frac{1}{3}=9$。

【分析】
本题属于代数式求值类题目，若直接求解x、y的取值计算量较大，因此优先通过因式分解简化待求式。首先观察待求多项式的两项，可发现两项的公因式为$x^3y^3$，提取公因式后就能将待求式转化为包含已知条件$2x-y$和$xy$的形式，再整体代入已知数值即可快速计算出结果，无需单独求x、y的值。
【解析】
先对待求式提取公因式：
$\begin{aligned}2x^4y^3 - x^3y^4&=x^3y^3· 2x - x^3y^3· y\\&=x^3y^3(2x-y)\end{aligned}$
根据积的乘方逆运算，$x^3y^3=(xy)^3$，因此原式可变形为：
$2x^4y^3 - x^3y^4=(xy)^3(2x-y)$
将已知$2x-y=\frac{1}{3}$，$xy=3$代入上式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^3×\frac{1}{3}\\&=27×\frac{1}{3}\\&=9\end{aligned}$
【答案】
$9$
【知识点】
提公因式法因式分解，整体代入求值，积的乘方逆运算
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是熟练掌握提公因式法，将待求式转化为含已知条件的结构，利用整体代入思想简化计算，规避了直接求解未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.75

6. 阅读下列因式分解的过程，并回答问题.
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)$
$=(1+x)^3$
(1)上述分解因式的方法是____________，共用了____________次；
(2)分解因式：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^4=$；
(3)分解因式：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$.(n为正整数)

(1)提公因式法 2
(2)$(1+x)^5$
(3)解：原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-2}]=\dots=(1+x)^n(1+x)=(1+x)^{n+1}$。

【分析】
(1)观察给出的因式分解过程，每一步均提取公因式$(1+x)$，统计提取次数即可得到答案；
(2)可仿照示例的分解步骤，反复提取公因式$(1+x)$，也可通过找规律：原式中$(x+1)$的最高次为4，结合示例的结果规律直接推导答案；
(3)对于含n的一般式，每次提取公因式$(1+x)$后，剩余式子中$(x+1)$的最高次降低1，重复提取n次后即可得到最终结果。
【解析】
(1)观察分解过程，每一步都使用了提公因式法，共提取了2次公因式$(1+x)$，因此方法是提公因式法，共用了2次；
(2)仿照示例分解：
$\begin{aligned}原式&=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+x(x+1)^3]\\&=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2]\\&=(1+x)^3[1+x+x(x+1)]\\&=(1+x)^4(1+x)\\&=(1+x)^5\end{aligned}$
(3)反复提取公因式$(1+x)$：
$\begin{aligned}原式&=(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]\\&=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-2}]\\&\dots\\&=(1+x)^n(1+x)\\&=(1+x)^{n+1}\end{aligned}$
【答案】
(1)提公因式法，2；
(2)$(1+x)^5$；
(3)$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法，因式分解，规律探究
【点评】
本题以提公因式法分解因式为基础，引导学生从特殊示例中总结规律，再推广到一般情况，侧重考查对因式分解方法的熟练度和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7