把整式乘法的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的等号两边互换，就得到$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，即两个数的，等于这两个数的与这两个数的的积。

平方差、和、差

【分析】
解题时先明确本题考查平方差公式因式分解形式的文字表述，首先观察给出的公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构：等号左边是两个数分别平方后相减的形式，等号右边是两个因式的乘积，分别对应两个数相加、两个数相减，将公式结构和文字描述一一对应即可完成填空。
【解析】
观察因式分解的平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，其中$a^2 - b^2$表示两个数的平方差，$(a+b)$表示这两个数的和，$(a-b)$表示这两个数的差，因此三个空依次填入平方差、和、差。
【答案】
平方差、和、差
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对平方差公式因式分解形式的理解与记忆，掌握公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9

例1 下列多项式，能用平方差公式分解因式的是().

A.$a^2 + b^2$
B.$4m^2 -16m$
C.$x^2 + (-y)^2$
D.$x^2 -16$

D

【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的结构特征：多项式需为二项式，两项都能表示为某个整式的平方的形式，且两项符号相反（一正一负）。我们只需要对照这个特征逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，满足的条件为：①是二项式；②两项均为整式的平方形式；③两项符号相反。
逐一分析选项：
A选项：$a^2 + b^2$是两项平方项，但两项符号均为正，不符合“异号”的要求，不能用平方差公式分解，排除；
B选项：$4m^2 -16m$的第二项$16m$是一次项，不是某个整式的平方，不符合要求，排除；
C选项：$x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$，两项均为正的平方项，符号相同，不符合要求，排除；
D选项：$x^2 -16$是二项式，$x^2$是$x$的平方，$16$是$4$的平方，且两项一正一负，符合平方差公式的结构，可分解为$(x+4)(x-4)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式，多项式结构判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记平方差公式分解因式的“两项、平方、异号”三个特征，掌握该特征就能快速准确选出答案，是因式分解部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

例2（教材改编）分解因式：
(1) $4x^2 - 9y^2$；
(2) $25m^2 - n^4$；
(3) $(3a - 1)^2 - \frac{1}{9}$。

解：(1)原式$=(2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$.
(2)原式$=(5m)^2-(n^2)^2=(5m+n^2)(5m-n^2)$.
(3)原式$=(3a-1)^2-(\frac{1}{3})^2=(3a-1+\frac{1}{3})(3a-1-\frac{1}{3})=(3a-\frac{2}{3})(3a-\frac{4}{3})$.

【分析】
这三道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：首先判断式子是否满足“两项、符号相反、两项均可写成某个整式的平方”这三个平方差公式的适用条件，再分别确定公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$中对应的$a$和$b$（$a、b$既可以是单项式也可以是多项式），最后套用公式展开，有同类项的要合并同类项即可。
【解析】
(1) 把$4x^2$变形为$(2x)^2$，$9y^2$变形为$(3y)^2$，对应$a=2x$，$b=3y$，代入公式得：
原式$=(2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$
(2) 把$25m^2$变形为$(5m)^2$，$n^4$变形为$(n^2)^2$，对应$a=5m$，$b=n^2$，代入公式得：
原式$=(5m)^2-(n^2)^2=(5m+n^2)(5m-n^2)$
(3) 把$\frac{1}{9}$变形为$(\frac{1}{3})^2$，对应$a=3a-1$，$b=\frac{1}{3}$，代入公式后合并同类项得：
原式$=(3a-1)^2-(\frac{1}{3})^2=(3a-1+\frac{1}{3})(3a-1-\frac{1}{3})=(3a-\frac{2}{3})(3a-\frac{4}{3})$
【答案】
(1) $(2x+3y)(2x-3y)$
(2) $(5m+n^2)(5m-n^2)$
(3) $(3a-\frac{2}{3})(3a-\frac{4}{3})$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 整式乘方变形
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，套用公式时注意整体思想的运用，合并同类项时计算准确即可快速求解。
【难度系数】
0.85

例3 (教材改编)利用因式分解计算：
$1001^2 - 999^2$
【学以致用】

解：原式$=(1\ 001+999)×(1\ 001-999)=2\ 000×2=4\ 000$.

【分析】
观察待计算的式子，是两个数的平方作差的形式，刚好匹配平方差公式的结构$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。我们可以把1001看作公式里的$a$，999看作公式里的$b$，先套用平方差公式对原式因式分解，再计算分解后的整数加法和乘法，比直接计算两个四位数的平方再相减要简便很多。
【解析】
解：原式$=(1001+999)×(1001-999)$
$=2000×2$
$=4000$
【答案】
$4000$
【知识点】
平方差公式、因式分解的应用
【点评】
本题考查利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是准确识别算式的平方差结构，灵活运用因式分解简化计算过程，降低计算量，避免大数平方计算的繁琐和失误。
【难度系数】
0.9

1. 如果$x+y=3$，$x-y=1$，那么$x^2 - y^2$的值为().

A.1
B.2
C.3
D.$-3$

C

【分析】
首先观察所求代数式$x^2-y^2$，它符合平方差公式的结构特征，我们可以逆用平方差公式将其分解因式，转化为含有已知条件$x+y$和$x-y$的形式，再整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解$x$、$y$的值，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式的逆用可得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
已知$x+y=3$，$x-y=1$，将两个值代入上式：
原式$=3×1=3$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过逆用平方差公式将所求式子转化为已知条件的形式，整体代入即可快速求解，避免了单独解方程组的繁琐，是因式分解简化计算的典型应用。
【难度系数】
0.9

2. 计算 $10.5^{2} - 9.5^{2}$ 的结果是 .

20

【分析】
观察待计算的式子，是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可以利用平方差公式对式子因式分解，简化计算过程，无需分别计算两个数的平方再相减。首先确定公式中的$a=10.5$，$b=9.5$，代入公式后分别计算两个括号的结果，再相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$\begin{aligned}10.5^2 - 9.5^2&=(10.5+9.5)×(10.5-9.5)\\&=20×1\\&=20\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，直接计算两个数的平方再相减也可得到结果，但利用平方差公式因式分解能大幅简化计算，降低计算失误的概率。解题时要先观察式子的结构特征，优先选择更简便的运算方法。
【难度系数】
0.9

3. 分解因式：$-a^2b^2+81.$

解：原式$=9^2-(ab)^2=(9+ab)(9-ab)$.

【分析】
首先观察多项式的结构，该多项式共两项，且两项符号相反，其中常数项81可写成$9^2$，含字母的项$a^2b^2$可写成$(ab)^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此先将原式调整为平方差的标准形式，再套用公式完成分解即可。
【解析】
解：原式$=81-a^2b^2=9^2-(ab)^2=(9+ab)(9-ab)$
【答案】
$(9+ab)(9-ab)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别符合平方差结构的式子，套用公式时注意不要混淆符号。
【难度系数】
0.9

4. 先化简，再求值：$(\dfrac{x+y}{3})^2 - (\dfrac{x-y}{3})^2$，其中$x=-\dfrac{9}{4}$，$y=111$.

解：原式$=(\frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{3})(\frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{3})=\frac{2x}{3}·\frac{2y}{3}=\frac{4}{9}xy$. 当 $x = -\frac{9}{4},\ y = 111$ 时，原式 $=\frac{4}{9}×(-\frac{9}{4})×111=-111$.

【分析】观察所求式子，是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此优先考虑用平方差公式因式分解来化简，比直接展开两个完全平方更简便。首先将$\frac{x+y}{3}$看作公式中的$a$，$\frac{x-y}{3}$看作公式中的$b$，代入公式后分别计算两个括号内的整式加减，再将结果相乘得到最简式，最后代入$x$、$y$的数值计算即可。
【解析】
解：原式利用平方差公式因式分解可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{x+y}{3}+\frac{x-y}{3})(\frac{x+y}{3}-\frac{x-y}{3})\\&=\frac{x+y+x-y}{3} · \frac{x+y-(x-y)}{3}\\&=\frac{2x}{3} · \frac{2y}{3}\\&=\frac{4}{9}xy\end{aligned}$
当$x=-\frac{9}{4}$，$y=111$时，代入最简式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{4}{9} × (-\frac{9}{4}) × 111\\&=-1 × 111\\&=-111\end{aligned}$
【答案】$-111$
【知识点】平方差公式；因式分解；代数式求值
【点评】本题考查整式的化简求值，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，运用因式分解的方法简化运算，避免直接展开完全平方带来的繁琐计算，减少出错概率。
【难度系数】0.8