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1.已知C是线段AB的中点,有下列结论:①$AC=\frac{1}{2}AB$;②$AB=2BC$;③$AC=BC$;④$AC+BC=AB$.其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。我们可以结合中点的性质和线段和的基本概念，逐个判断4个结论是否正确即可。
【解析】
已知C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可知：点C在线段AB上，且$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
1. 对结论①：由$AC=\frac{1}{2}AB$，可知①正确；
2. 对结论②：由$BC=\frac{1}{2}AB$，变形可得$AB=2BC$，可知②正确；
3. 对结论③：中点的性质就是分线段为两条相等的线段，即$AC=BC$，可知③正确；
4. 对结论④：因为C在线段AB上，根据线段和的概念，整条线段的长度等于各分线段长度之和，因此$AC+BC=AB$，可知④正确。
综上，4个结论都正确，应选D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题主要考查线段中点的性质，同时涉及线段和的基本概念，属于基础题型，解题时要注意只要点在对应线段上，分线段的和就等于整条线段的长度，需熟练掌握中点的相关性质。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。我们可以结合中点的性质和线段和的基本概念，逐个判断4个结论是否正确即可。
【解析】
已知C是线段AB的中点，根据线段中点的定义可知：点C在线段AB上，且$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
1. 对结论①：由$AC=\frac{1}{2}AB$，可知①正确；
2. 对结论②：由$BC=\frac{1}{2}AB$，变形可得$AB=2BC$，可知②正确；
3. 对结论③：中点的性质就是分线段为两条相等的线段，即$AC=BC$，可知③正确；
4. 对结论④：因为C在线段AB上，根据线段和的概念，整条线段的长度等于各分线段长度之和，因此$AC+BC=AB$，可知④正确。
综上，4个结论都正确，应选D。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题主要考查线段中点的性质，同时涉及线段和的基本概念，属于基础题型，解题时要注意只要点在对应线段上，分线段的和就等于整条线段的长度，需熟练掌握中点的相关性质。
【难度系数】
0.9
2.如图,在线段 BA 的延长线上取一点 C,使 $CA=4AB$.若线段 $CA=8$,则 BC 的长为(
A.8
B.9
C.10
D.12
C
).A.8
B.9
C.10
D.12
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路：首先根据题目给出的CA与AB的倍分关系，结合已知CA的长度先求出AB的长度；再观察图形，点C在BA的延长线上，可知线段BC由AB和CA两段组成，将两段长度相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：已知$CA=4AB$，且$CA=8$，
则$AB = CA÷4 = 8÷4 = 2$。
由图可知，点C在BA的延长线上，因此$BC = AB + CA$，
代入数值计算得：$BC = 2 + 8 = 10$。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算、线段的倍分关系
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是先利用已知的倍分关系求出未知线段AB的长度，再结合图形明确各线段的和差关系即可求解，认真审题理清线段位置关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据题目给出的CA与AB的倍分关系，结合已知CA的长度先求出AB的长度；再观察图形，点C在BA的延长线上，可知线段BC由AB和CA两段组成，将两段长度相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：已知$CA=4AB$，且$CA=8$，
则$AB = CA÷4 = 8÷4 = 2$。
由图可知，点C在BA的延长线上，因此$BC = AB + CA$，
代入数值计算得：$BC = 2 + 8 = 10$。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算、线段的倍分关系
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是先利用已知的倍分关系求出未知线段AB的长度，再结合图形明确各线段的和差关系即可求解，认真审题理清线段位置关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
3.如图,点 C 在线段AB 上,AB =5 cm,AC =2 cm,D 是 BC 的中点,则 BD 的长为(
A.3 cm
B.2.5 cm
C.1.5 cm
D.1 cm
C
).A.3 cm
B.2.5 cm
C.1.5 cm
D.1 cm
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知线段AB总长为5cm，线段AC长为2cm，点C在线段AB上，D是BC的中点，要求BD的长度。首先根据线段的和差关系，AB由AC和BC两部分组成，因此可以先通过AB减去AC计算出BC的长度；再根据线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两段，即BD等于BC的一半，代入BC的数值计算即可得到BD的长度，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵点C在线段AB上，
∴BC = AB - AC，
又
∵AB = 5cm，AC = 2cm，
∴BC = 5 - 2 = 3（cm），
∵D是BC的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×3 = 1.5（cm），
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是先利用线段的和差关系求出未知线段BC的长度，再结合线段中点的性质计算目标线段长度，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知线段AB总长为5cm，线段AC长为2cm，点C在线段AB上，D是BC的中点，要求BD的长度。首先根据线段的和差关系，AB由AC和BC两部分组成，因此可以先通过AB减去AC计算出BC的长度；再根据线段中点的定义，中点将线段分为长度相等的两段，即BD等于BC的一半，代入BC的数值计算即可得到BD的长度，对应选出正确选项。
【解析】
解：
∵点C在线段AB上，
∴BC = AB - AC，
又
∵AB = 5cm，AC = 2cm，
∴BC = 5 - 2 = 3（cm），
∵D是BC的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×3 = 1.5（cm），
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是先利用线段的和差关系求出未知线段BC的长度，再结合线段中点的性质计算目标线段长度，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4.如图，M是线段AB的中点，AB=12 cm，C是线段MB的一个三等分点，且MC：CB=1：2，则AC的长为（
A.8 cm
B.9 cm
C.10 cm
D.12 cm
A
）.A.8 cm
B.9 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先利用线段中点的性质，求出线段AM、MB的长度；再根据C是MB的三等分点及给出的MC与CB的比例关系，求出MC的长度；最后根据线段和的关系，$AC=AM+MC$，代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：$\because$ M是线段AB的中点，$AB=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$
$\because$ C是线段MB的三等分点，且$MC:CB=1:2$
$\therefore MC=\frac{1}{1+2}MB=\frac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$
$\therefore AC=AM+MC=6+2=8\ \mathrm{cm}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；线段三等分点的性质
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，解题关键是准确理解线段中点、三等分点的含义，正确梳理线段之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发，首先利用线段中点的性质，求出线段AM、MB的长度；再根据C是MB的三等分点及给出的MC与CB的比例关系，求出MC的长度；最后根据线段和的关系，$AC=AM+MC$，代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：$\because$ M是线段AB的中点，$AB=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$
$\because$ C是线段MB的三等分点，且$MC:CB=1:2$
$\therefore MC=\frac{1}{1+2}MB=\frac{1}{3}×6=2\ \mathrm{cm}$
$\therefore AC=AM+MC=6+2=8\ \mathrm{cm}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；线段三等分点的性质
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，解题关键是准确理解线段中点、三等分点的含义，正确梳理线段之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.8
5.已知$AB=27\ \mathrm{cm}$，$C$为线段$AB$的一个三等分点，且$AC＞CB$，则$AC$的长为
18
$\mathrm{cm}$。答案
5.18
解析
【分析】
解题时首先明确线段三等分点的含义：三等分点会将线段平均分成3段长度相等的线段。结合题目给出的AC＞CB的条件，可判断AC是3段中较长的2段之和，因此只需先求出每段的长度，再乘2即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的三等分点，
∴三等分点将AB平均分成3段等长的线段，每段长度为：$27÷3=9\ \mathrm{cm}$
又
∵$AC＞CB$，
∴AC占其中2段的长度，
∴$AC=9×2=18\ \mathrm{cm}$
【答案】
18
【知识点】
线段三等分点；线段长度计算
【点评】
本题重点考查线段等分点的概念，解题时需注意题干给出的大小关系限制，排除不符合要求的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确线段三等分点的含义：三等分点会将线段平均分成3段长度相等的线段。结合题目给出的AC＞CB的条件，可判断AC是3段中较长的2段之和，因此只需先求出每段的长度，再乘2即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的三等分点，
∴三等分点将AB平均分成3段等长的线段，每段长度为：$27÷3=9\ \mathrm{cm}$
又
∵$AC＞CB$，
∴AC占其中2段的长度，
∴$AC=9×2=18\ \mathrm{cm}$
【答案】
18
【知识点】
线段三等分点；线段长度计算
【点评】
本题重点考查线段等分点的概念，解题时需注意题干给出的大小关系限制，排除不符合要求的情况，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6.如图，C是线段BD的中点，AD=3，AC=7，则AB的长为
11
.答案
6.11
解析
【分析】解题时先根据已知的AC和AD的长度计算出CD的长度，再结合C是BD中点的性质得到BC与CD长度相等，最后通过线段的和差关系计算AB的长度即可。
【解析】
解：$\because AC=7$，$AD=3$
$\therefore CD=AC-AD=7-3=4$
$\because C$是线段$BD$的中点
$\therefore BC=CD=4$
$\therefore AB=AC+BC=7+4=11$
【答案】$11$
【知识点】线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】本题属于线段计算的常规题型，解题的核心是先求出过渡线段CD的长度，再利用线段中点的性质得到BC的长度，最后通过线段和差求解目标线段长度，难度较低。
【难度系数】0.85
【解析】
解：$\because AC=7$，$AD=3$
$\therefore CD=AC-AD=7-3=4$
$\because C$是线段$BD$的中点
$\therefore BC=CD=4$
$\therefore AB=AC+BC=7+4=11$
【答案】$11$
【知识点】线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】本题属于线段计算的常规题型，解题的核心是先求出过渡线段CD的长度，再利用线段中点的性质得到BC的长度，最后通过线段和差求解目标线段长度，难度较低。
【难度系数】0.85
7.如图，点C在线段AB上，M是AC的中点，N是BC的中点。若AM=1，BC=4，MN的长为
3
。答案
7.3
解析
【分析】
解题时先回忆线段中点的定义：若某点是一条线段的中点，则该点将线段分成两条长度相等的线段。首先根据M是AC中点，结合已知AM的长度求出MC的长度；再根据N是BC中点，结合已知BC的长度求出CN的长度；最后观察线段MN的组成，MN是由MC和CN两段拼接而成，将两段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：
∵ M是AC的中点，AM=1，
∴ MC = AM = 1，
∵ N是BC的中点，BC=4，
∴ CN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2，
∵ 点C在线段AB上，M在AC上、N在BC上，
∴ MN = MC + CN = 1 + 2 = 3。
【答案】
3
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础常规题，解题核心是利用线段中点的性质得到等长线段，再结合线段的和差关系即可求出目标线段的长度，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆线段中点的定义：若某点是一条线段的中点，则该点将线段分成两条长度相等的线段。首先根据M是AC中点，结合已知AM的长度求出MC的长度；再根据N是BC中点，结合已知BC的长度求出CN的长度；最后观察线段MN的组成，MN是由MC和CN两段拼接而成，将两段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：
∵ M是AC的中点，AM=1，
∴ MC = AM = 1，
∵ N是BC的中点，BC=4，
∴ CN = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×4 = 2，
∵ 点C在线段AB上，M在AC上、N在BC上，
∴ MN = MC + CN = 1 + 2 = 3。
【答案】
3
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础常规题，解题核心是利用线段中点的性质得到等长线段，再结合线段的和差关系即可求出目标线段的长度，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
8.在直线上取A,B,C三点,使得AB=9 cm,BC=4 cm,则AC的长为
5或13
cm.答案
8.5或13
解析
【分析】
本题是直线上线段长度的计算问题，由于题目仅说明A、B、C三点在同一直线上，未明确点C的位置，因此需要分两种情况讨论：①点C在线段AB之间；②点C在线段AB的延长线上，再结合线段的和差关系分别计算AC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
根据线段的差的关系可得$AC = AB - BC$，
代入$AB=9\mathrm{cm}$，$BC=4\mathrm{cm}$，得$AC=9 - 4 = 5(\mathrm{cm})$。
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
根据线段的和的关系可得$AC = AB + BC$，
代入$AB=9\mathrm{cm}$，$BC=4\mathrm{cm}$，得$AC=9 + 4 = 13(\mathrm{cm})$。
综上，AC的长为5cm或13cm。
【答案】
5或13
【知识点】
1. 线段的和差计算
2. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C位置的不确定性，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要注意“直线上三点”和“线段上三点”的区别，涉及直线上的点的位置问题时，要先判断是否需要分类讨论。
【难度系数】
0.7
本题是直线上线段长度的计算问题，由于题目仅说明A、B、C三点在同一直线上，未明确点C的位置，因此需要分两种情况讨论：①点C在线段AB之间；②点C在线段AB的延长线上，再结合线段的和差关系分别计算AC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
根据线段的差的关系可得$AC = AB - BC$，
代入$AB=9\mathrm{cm}$，$BC=4\mathrm{cm}$，得$AC=9 - 4 = 5(\mathrm{cm})$。
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
根据线段的和的关系可得$AC = AB + BC$，
代入$AB=9\mathrm{cm}$，$BC=4\mathrm{cm}$，得$AC=9 + 4 = 13(\mathrm{cm})$。
综上，AC的长为5cm或13cm。
【答案】
5或13
【知识点】
1. 线段的和差计算
2. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C位置的不确定性，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要注意“直线上三点”和“线段上三点”的区别，涉及直线上的点的位置问题时，要先判断是否需要分类讨论。
【难度系数】
0.7
9.如图,线段AB上有一动点P,Q为线段PB的中点.小聪在探索式子$\frac{AP+AB}{AQ}$的值时,设$AP=x$,$PB=2y$,发现在点P的运动过程中,$\frac{AP+AB}{AQ}$的值与$x,y$无关,是一个定值,则这个定值是
2
.答案
9.2
解析:由题意可得$\frac{AP+AB}{AQ}=\frac{x+2y+x}{x+y}=2$,其与$x,y$无关,是一个定值.
解析:由题意可得$\frac{AP+AB}{AQ}=\frac{x+2y+x}{x+y}=2$,其与$x,y$无关,是一个定值.
解析
【分析】
解题时我们可以先用给出的参数表示出各相关线段的长度：首先根据线段和的关系表示出AB的长度，再结合Q是PB中点的条件，表示出PQ的长度，进而得到AQ的长度，最后将AP、AB、AQ代入待求的式子中化简，即可消去参数得到定值。
【解析】
解：已知$AP=x$，$PB=2y$，
根据线段和的关系可得：$AB=AP+PB=x+2y$。
∵Q是线段PB的中点，
∴$PQ=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×2y=y$，
∴$AQ=AP+PQ=x+y$。
将$AP=x$、$AB=x+2y$、$AQ=x+y$代入式子得：
$\frac{AP+AB}{AQ}=\frac{x+(x+2y)}{x+y}=\frac{2x+2y}{x+y}=\frac{2(x+y)}{x+y}=2$（线段长度为正，$x+y≠0$，可约分）。
【答案】
2
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；代数式化简求值
【点评】
这道题是线段计算的典型题型，通过设参数表示动点相关的线段长度，再结合线段中点性质和和差关系代入化简，即可求出定值，参数法是解决线段动点类问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以先用给出的参数表示出各相关线段的长度：首先根据线段和的关系表示出AB的长度，再结合Q是PB中点的条件，表示出PQ的长度，进而得到AQ的长度，最后将AP、AB、AQ代入待求的式子中化简，即可消去参数得到定值。
【解析】
解：已知$AP=x$，$PB=2y$，
根据线段和的关系可得：$AB=AP+PB=x+2y$。
∵Q是线段PB的中点，
∴$PQ=\frac{1}{2}PB=\frac{1}{2}×2y=y$，
∴$AQ=AP+PQ=x+y$。
将$AP=x$、$AB=x+2y$、$AQ=x+y$代入式子得：
$\frac{AP+AB}{AQ}=\frac{x+(x+2y)}{x+y}=\frac{2x+2y}{x+y}=\frac{2(x+y)}{x+y}=2$（线段长度为正，$x+y≠0$，可约分）。
【答案】
2
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；代数式化简求值
【点评】
这道题是线段计算的典型题型，通过设参数表示动点相关的线段长度，再结合线段中点性质和和差关系代入化简，即可求出定值，参数法是解决线段动点类问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
