10.如图，C，D分别是线段AB的中点和三等分点(点C在点D右边)，$CD=3$，求AB的长。

10.设$AD=x$,则$AB=3x$,$AC=\frac{3}{2}x$.
由$CD=AC-AD$,得$\frac{3}{2}x-x=3$,$x=6$,所以$AB=18$.

【分析】
解题时先结合线段三等分点、中点的性质，采用设未知数的方法表示各线段长度：先设较短的AD为x，根据三等分点性质可表示出AB的长度，再根据中点性质表示出AC的长度，最后利用CD=AC-AD的和差关系列方程，解出x后即可求出AB的长。
【解析】
解：设$AD=x$，
∵D是线段AB的三等分点，
∴$AB=3AD=3x$，
又
∵C是线段AB的中点，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x$，
由线段和差关系可知$CD=AC-AD$，已知$CD=3$，
代入得：$\frac{3}{2}x - x = 3$，
合并同类项得：$\frac{1}{2}x=3$，
解得：$x=6$，
∴$AB=3x=3×6=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题核心是利用线段等分点的性质，通过设未知数将各线段长度用含同一字母的式子表示，再结合线段的和差关系列方程求解，方法具有普适性，适用于大多数含等分点的线段计算问题。
【难度系数】
0.8

11.已知A,B,C三点在同一条直线上,且线段$AB=50\ \mathrm{cm}$,线段$BC=30\ \mathrm{cm}$,N是线段BC的中点,求AN的长.

11.分两种情况：
①当点 C 在点 B 的右侧时,如图①:
因为 N 是线段 BC 的中点,所以 $BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15(\mathrm{cm})$,
所以 $AN=AB+BN=50+15=65(\mathrm{cm})$；
②当点 C 在点 B 的左侧时,如图②:
因为 N 是线段 BC 的中点,所以 $BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15(\mathrm{cm})$,
所以 $AN=AB-BN=50-15=35(\mathrm{cm})$.
综上所述, AN 的长为 65 cm 或 35 cm.

【分析】
已知A、B、C三点共线，但未明确点C相对于线段AB的位置，因此需要分两种情况讨论：第一种是点C在点B的右侧，第二种是点C在点B的左侧。解题时先根据线段中点的定义求出BN的长度，再结合两种不同的位置关系，利用线段的和差运算分别求出AN的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当点C在点B的右侧时，如图①：
因为N是线段BC的中点，所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15(\mathrm{cm})$，
所以$AN=AB+BN=50+15=65(\mathrm{cm})$；
②当点C在点B的左侧时，如图②：
因为N是线段BC的中点，所以$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15(\mathrm{cm})$，
所以$AN=AB-BN=50-15=35(\mathrm{cm})$。
综上所述，AN的长为65 cm或35 cm。
【答案】
AN的长为$\boldsymbol{65\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{35\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于线段计算的常考题型，易错点是忽略点C位置的不确定性，漏算其中一种情况。解题时结合图形分析线段的位置关系，能更清晰地梳理线段之间的和差逻辑，避免漏解。
【难度系数】
0.6

12.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，点A在点B的左侧.
(1)若AB=10，点A与原点O相距3个单位长度，则b=.
(2)若a=-14，b=16，M是数轴上的点，其表示的数为m.
①若点M到点A和点B的距离之和为40，求m的值；
②点P，Q分别从A，B两点同时向左运动，M始终是PQ的中点，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒3个单位长度.当P，Q两点相距4个单位长度时，求m的值.

12.(1)7 或 13
(2)①因为 $AB=16-(-14)=30$,$40＞30$,所以点 M 不在线段 AB 上.
当点 M 在点 A 的左侧时,$MA=-14-m$,$MB=16-m$,
所以$(-14-m)+(16-m)=40$,解得 $m=-19$.
当点 M 在点 B 的右侧时,$MA=m+14$,$MB=m-16$,
所以$(m+14)+(m-16)=40$,解得 $m=21$.
综上所述,$m$ 的值为$-19$ 或 21.
②设点 P,Q 同时向左运动的时间为 t s,则有 $PQ=|(-14-t)-(16-3t)|=|2t-30|$.
当 $PQ=4$ 时,即$|2t-30|=4$,解得 $t=13$ 或 17.
当 $t=13$ 时,点 P 表示$-27$,点 Q 表示$-23$,$m=-25$；
当 $t=16$ 时,点 P 表示$-31$,点 Q 表示$-35$,$m=-33$.
所以当 P,Q 两点相距 4 个单位长度时,$m$ 的值为$-25$ 或$-33$.

【分析】
(1) 先根据点A到原点的距离确定a的可能取值，再结合A在B左侧、AB=10的条件，计算b的数值，注意不要漏解。
(2) ①先算出AB的长度，对比M到A、B的距离和，判断M不在线段AB上，分M在A左侧、M在B右侧两类，分别用含m的式子表示MA、MB，列方程求解。
②先设运动时间为t，用含t的式子表示出t秒后P、Q对应的数，根据PQ=4列绝对值方程求出t的值，再利用中点公式计算中点M对应的m即可。
【解析】
(1)
∵点A与原点相距3个单位长度，
∴a=3或a=-3。
∵A在B左侧，AB=10，即$b-a=10$，
当$a=3$时，$b=3+10=13$；当$a=-3$时，$b=-3+10=7$。
(2) ①已知$a=-14$，$b=16$，则$AB=16-(-14)=30$。
∵M到A、B的距离和为$40＞30$，
∴M不在线段AB上，分两种情况：
当M在A左侧时，$MA=-14-m$，$MB=16-m$，列方程：
$(-14-m)+(16-m)=40$，解得$m=-19$。
当M在B右侧时，$MA=m+14$，$MB=m-16$，列方程：
$(m+14)+(m-16)=40$，解得$m=21$。
②设运动时间为$t$秒，t秒后P对应的数为$-14-t$，Q对应的数为$16-3t$。
由$PQ=4$得：$\vert (-14-t)-(16-3t)\vert=4$，化简得$\vert2t-30\vert=4$，
解得$t=13$或$t=17$。
∵M是PQ中点，
∴$m=\frac{(-14-t)+(16-3t)}{2}=1-2t$，
当$t=13$时，$m=1-2×13=-25$；当$t=17$时，$m=1-2×17=-33$。
【答案】
(1)$\boxed{7}$或$\boxed{13}$
(2)①$\boxed{m=-19}$或$\boxed{21}$；②$\boxed{m=-25}$或$\boxed{-33}$
【知识点】
数轴上两点距离、数轴动点问题、一元一次方程应用
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在数轴计算中的应用，解决动点类问题的核心是先准确表示运动后点对应的数，再结合距离、中点的性质列方程求解，分类时要注意覆盖所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5

13.下图是一根长9 cm且没有刻度的尺子，在上面添加3个刻度，使这个尺子能够一次度量从1 cm到9 cm间所有整数厘米长的物体。

13.如图:

【分析】
要解决这个问题，我们首先明确：尺子的0刻度、新增的3个刻度、末尾9刻度共5个点，任意两点的长度差需要覆盖1~9所有整数厘米，才能一次性量出所有要求的长度。解题思路如下：①首先要保证能量出1cm，因此必须有两个刻度的差值为1；②接下来依次推导需要的差值，保证2~8cm都能通过两个刻度的差得到，9cm是尺子总长天然满足；③得到候选刻度组合后，验证所有长度是否都能覆盖，确认符合要求即可。
【解析】
共有两种符合要求的刻度添加方案：
方案1：添加刻度1、2、6（对应图①）
验证可测量长度：
$1=1-0$，$2=2-0$，$3=9-6$，$4=6-2$，$5=6-1$，$6=6-0$，$7=9-2$，$8=9-1$，$9=9-0$，所有1~9cm整数长度均可一次测量。
方案2：添加刻度3、7、8（对应图②）
验证可测量长度：
$1=8-7$，$2=9-7$，$3=3-0$，$4=7-3$，$5=8-3$，$6=9-3$，$7=7-0$，$8=8-0$，$9=9-0$，所有1~9cm整数长度均可一次测量。
【答案】

【知识点】
线段的度量；线段的和差计算；方案设计
【点评】
这道题将线段和差的知识与实际应用结合，需要通过逻辑推理设计合理的刻度位置，还要验证所有需要的长度都能被测量，能有效锻炼逻辑思维和全面考虑问题的能力。
【难度系数】
0.6