8.如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，则图中与∠EOD互补的角有（）。

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

8.C

【分析】
要解决这道题，首先明确互补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。解题时先结合已知的直角和平角，利用“同角的余角相等”推导和∠EOD相等的角，再结合角平分线的性质，找出所有和∠EOD相加等于180°的角即可。
【解析】
1. 已知O是直线AB上的点，因此∠AOB=180°。
2. 由∠AOE=90°，可得∠EOB=∠AOB-∠AOE=180°-90°=90°，即$∠ EOD+∠ DOB=90°$。
3. 由∠FOD=90°，可得$∠ FOE+∠ EOD=90°$，结合上式可推出$∠ FOE=∠ DOB$（同角的余角相等）。
4. 又$∠ AOF+∠ FOE=∠ AOE=90°$，因此$∠ AOF=∠ EOD$（同角的余角相等）。
5. 因为$∠ AOF+∠ FOB=180°$（平角的定义），且$∠ AOF=∠ EOD$，所以$∠ EOD+∠ FOB=180°$，即∠FOB与∠EOD互补。
6. 因为OB平分∠COD，所以$∠ DOB=∠ BOC$。
7. 计算$∠ EOD+∠ EOC$：$∠ EOC=∠ EOB+∠ BOC=90°+∠ BOC$，代入得$∠ EOD+∠ EOC=∠ EOD+90°+∠ BOC$，又$∠ EOD=90°-∠ DOB$，$∠ DOB=∠ BOC$，因此原式=$(90°-∠ DOB)+90°+∠ DOB=180°$，即∠EOC与∠EOD互补。
综上，与∠EOD互补的角共有2个。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；余角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于角的性质的综合应用类题目，解题的关键是结合图形理清各角之间的数量关系，灵活运用互余、互补的性质以及角平分线的定义推导角的等量关系，做题时要注意不要漏找符合条件的角。
【难度系数】
0.6

9.一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{9}$多$1°$,则这个角的度数为.

9.$63°$
解析:设这个角为$x$,则它的余角为$90°-x$,补角为$180°-x$.
根据题意,有$90°-x=\frac{2}{9}(180°-x)+1°$,解得$x=63°$.

【分析】
遇到涉及余角、补角的角度计算问题，优先采用方程法求解：首先明确余角和补角的定义，即互余两角和为90°，互补两角和为180°；再设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角；最后根据题干给出的“余角比补角的$\frac{2}{9}$多1°”的等量关系列方程，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为$x$，根据余角、补角的定义可得：
它的余角为$90° - x$，它的补角为$180° - x$。
根据题意列方程：
$90° - x = \frac{2}{9}(180° - x) + 1°$
解方程：
两边同时乘9去分母，得：
$810° - 9x = 2(180° - x) + 9°$
去括号，得：
$810° - 9x = 360° - 2x + 9°$
移项、合并同类项，得：
$-7x = -441°$
系数化为1，得：
$x = 63°$
【答案】
$63°$
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础计算题，解题核心是准确把握余角、补角的数量关系，根据题干等量关系正确列方程，计算时注意去分母、移项的符号规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.75

10.已知 O 是直线 CD 上的一点，∠AOB 是直角，OE 平分∠AOC.
(1)在图①中，若∠BOD=28°，求∠AOE 的度数.
(2)将图①中的∠AOB 绕顶点 O 顺时针旋转至图②的位置.若∠BOD=α，试用含α的式子表示∠AOE，并说明理由.
(3)继续旋转∠AOB 至图③的位置，若∠BOD=α，其他条件不变，试将图形补充完整，则∠AOE=（用含α的式子表示）.

10.(1)$31°$.
(2)$∠AOE=45°+\frac{α}{2}$.
(3)

$∠AOE=135°-\frac{α}{2}$.

【分析】
(1) 首先根据平角定义，CD为直线则∠COD=180°，已知∠AOB是直角即90°，可推出∠AOC与∠BOD的和为90°，代入∠BOD=28°求出∠AOC的度数，再结合OE平分∠AOC，利用角平分线定义即可求出∠AOE的度数。
(2) 旋转到图②位置时，先根据平角定义得到∠AOC与∠AOD的和为180°，再由∠AOB为直角得到∠AOD与∠BOD的和为90°，结合∠BOD=α推导∠AOC的表达式，最后由角平分线定义即可得到∠AOE的表达式。
(3) 先按OE平分∠AOC的要求补全图形，再根据平角、直角的性质推导∠AOC与α的关系，结合角平分线性质得到∠AOE的表达式。
【解析】
(1) 解：
∵ O是直线CD上一点，
∴ $∠ COD=180°$
∵ $∠ AOB$是直角，
∴ $∠ AOB=90°$
∴ $∠ AOC + ∠ BOD = 180° - ∠ AOB = 90°$
∵ $∠ BOD=28°$，
∴ $∠ AOC=90° - 28° = 62°$
∵ OE平分$∠ AOC$，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 62° = 31°$
(2) 解：$∠ AOE=45°+\frac{α}{2}$，理由如下：
∵ O是直线CD上一点，
∴ $∠ AOC + ∠ AOD = 180°$，即$∠ AOD=180° - ∠ AOC$
∵ $∠ AOB$是直角，
∴ $∠ AOD + ∠ BOD = ∠ AOB=90°$
将$∠ BOD=α$、$∠ AOD=180° - ∠ AOC$代入上式，得：
$180° - ∠ AOC + α = 90°$
解得$∠ AOC=90° + α$
∵ OE平分$∠ AOC$，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}(90° + α) = 45° + \frac{α}{2}$
(3) 补全图形如下：

解：
∵ O是直线CD上一点，
∴ $∠ BOC + ∠ BOD=180°$，即$∠ BOC=180° - α$
∵ $∠ AOB$是直角，
∴ $∠ AOB=90°$
∴ $∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 90° + (180° - α) = 270° - α$
∵ OE平分$∠ AOC$，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}(270° - α) = 135° - \frac{α}{2}$
【答案】
(1) $31°$
(2) $∠ AOE=45°+\frac{α}{2}$
(3) ，$∠ AOE=135°-\frac{α}{2}$
【知识点】
角平分线的定义、平角与直角的定义、角的和差计算
【点评】
本题结合角的旋转考查角的计算，解题时需紧扣平角、直角的性质和角平分线的定义，注意旋转过程中角的位置变化，理清各角之间的和差关系是解题的关键。
【难度系数】
0.6