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1. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，某校规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙(墙可用长度为15 m)，另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在如图25－3－6所示的两个区域中各留一个1 m宽的门(门不用木栏)，修建所用木栏总长为28 m，设矩形ABCD的一边CD的长为x m.
(1)求矩形ABCD的另一边BC的长是多少米.(用含x的代数式表示)
(2)矩形ABCD的面积能否为72 m²？若能，求出CD的长；若不能，请说明理由.
图25－3－6
(1)求矩形ABCD的另一边BC的长是多少米.(用含x的代数式表示)
(2)矩形ABCD的面积能否为72 m²？若能，求出CD的长；若不能，请说明理由.
图25－3－6
答案
1.解:(1)
∵修建所用木栏总长为 28 m,且两个区域中各留一个 1 m 宽的门(门不用木栏),
$\therefore BC=2+28-3x=(30-3x)(\mathrm{m}).$
(2)矩形 ABCD 的面积能为 $72\ \mathrm{m}^2$.
根据题意,得 $x(30-3x)=72$,
整理,得 $x^2-10x+24=0$,
解得 $x_1=4,x_2=6.$
当 $x=4$ 时,$30-3x=30-3×4=18＞15$,不符合题意,舍去;
当 $x=6$ 时,$30-3x=30-3×6=12＜15$,符合题意.
$\therefore CD$ 的长为 6 m.
∵修建所用木栏总长为 28 m,且两个区域中各留一个 1 m 宽的门(门不用木栏),
$\therefore BC=2+28-3x=(30-3x)(\mathrm{m}).$
(2)矩形 ABCD 的面积能为 $72\ \mathrm{m}^2$.
根据题意,得 $x(30-3x)=72$,
整理,得 $x^2-10x+24=0$,
解得 $x_1=4,x_2=6.$
当 $x=4$ 时,$30-3x=30-3×4=18＞15$,不符合题意,舍去;
当 $x=6$ 时,$30-3x=30-3×6=12＜15$,符合题意.
$\therefore CD$ 的长为 6 m.
解析
【分析】
(1) 首先明确木栏的构成：垂直于墙的木栏共有3段，每段长度都等于CD的长x m；平行于墙的木栏长度等于BC的长度减去2个门的宽度（每个门宽1m，门不用木栏），所有木栏总长为28m，据此列等式整理即可得到BC的表达式。
(2) 矩形面积=长×宽，代入BC的表达式和面积72m²即可列出一元二次方程，解方程得到x的可能值后，结合墙的可用长度为15m（即BC≤15m）对根进行检验，舍去不符合实际的解，即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知，垂直于墙的木栏共3段，总长为3x m，两个门总宽度为$1×2=2\ \mathrm{m}$，木栏总长28m，因此：
$BC - 2 + 3x = 28$
整理得：$BC = 28 + 2 - 3x = (30 - 3x)\ \mathrm{m}$
(2) 假设矩形ABCD的面积能为$72\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式列方程：
$x(30 - 3x) = 72$
整理得：$x^2 - 10x + 24 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$
结合墙的可用长度限制验根：
当$x=4$时，$30-3x=18＞15$，不符合题意，舍去；
当$x=6$时，$30-3x=12＜15$，符合题意。
因此矩形面积能为$72\ \mathrm{m}^2$，此时CD的长为6m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(30 - 3x)}$米；
(2) 能，CD的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题验根
【点评】
本题属于几何图形类的实际应用问题，解题的核心是准确梳理数量关系列出对应代数式，求解方程后要结合题目的实际限制条件对解进行验证，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确木栏的构成：垂直于墙的木栏共有3段，每段长度都等于CD的长x m；平行于墙的木栏长度等于BC的长度减去2个门的宽度（每个门宽1m，门不用木栏），所有木栏总长为28m，据此列等式整理即可得到BC的表达式。
(2) 矩形面积=长×宽，代入BC的表达式和面积72m²即可列出一元二次方程，解方程得到x的可能值后，结合墙的可用长度为15m（即BC≤15m）对根进行检验，舍去不符合实际的解，即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知，垂直于墙的木栏共3段，总长为3x m，两个门总宽度为$1×2=2\ \mathrm{m}$，木栏总长28m，因此：
$BC - 2 + 3x = 28$
整理得：$BC = 28 + 2 - 3x = (30 - 3x)\ \mathrm{m}$
(2) 假设矩形ABCD的面积能为$72\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式列方程：
$x(30 - 3x) = 72$
整理得：$x^2 - 10x + 24 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$
结合墙的可用长度限制验根：
当$x=4$时，$30-3x=18＞15$，不符合题意，舍去；
当$x=6$时，$30-3x=12＜15$，符合题意。
因此矩形面积能为$72\ \mathrm{m}^2$，此时CD的长为6m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(30 - 3x)}$米；
(2) 能，CD的长为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题验根
【点评】
本题属于几何图形类的实际应用问题，解题的核心是准确梳理数量关系列出对应代数式，求解方程后要结合题目的实际限制条件对解进行验证，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
2. 如图25－3－7，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度匀速运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度匀速运动. 当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设运动时间为x s(x＞0).
(1)
(2) 几秒后，PQ的长度为5 cm？
(3) △PBQ的面积能否为7 cm²？请说明理由.
图25－3－7
(1)
1
s后，△PBQ的面积为4 cm²；(2) 几秒后，PQ的长度为5 cm？
(3) △PBQ的面积能否为7 cm²？请说明理由.
图25－3－7
答案
2.解:(1)1
(2)由题意,得 $AP=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BP=(5-x)\ \mathrm{cm}.$
由 $BP^2+BQ^2=PQ^2$,得 $(5-x)^2+(2x)^2=5^2$,整理,得 $x^2-2x=0$,
解得 $x_1=0$(不合题意,舍去),$x_2=2.$
答:2 s 后,$PQ$ 的长度为 5 cm.
(3)不能. 理由:
由题意,得 $\frac{1}{2}(5-x)· 2x=7$,
整理,得 $x^2-5x+7=0.$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0,$
∴此方程无实数根,
$\therefore △ PBQ$ 的面积不能为 $7\ \mathrm{cm}^2$.
(2)由题意,得 $AP=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BP=(5-x)\ \mathrm{cm}.$
由 $BP^2+BQ^2=PQ^2$,得 $(5-x)^2+(2x)^2=5^2$,整理,得 $x^2-2x=0$,
解得 $x_1=0$(不合题意,舍去),$x_2=2.$
答:2 s 后,$PQ$ 的长度为 5 cm.
(3)不能. 理由:
由题意,得 $\frac{1}{2}(5-x)· 2x=7$,
整理,得 $x^2-5x+7=0.$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0,$
∴此方程无实数根,
$\therefore △ PBQ$ 的面积不能为 $7\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
这是动点结合一元二次方程的几何应用题，解题思路如下：1. 先根据“路程=速度×时间”用运动时间x表示出相关线段的长度：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(5-x)\mathrm{cm}$，同时确定x的取值范围：点P走完全程需5s，点Q走完全程需$7÷2=3.5\mathrm{s}$，因此$0＜x\le3.5$，后续求解的x需满足该范围才有效。2. 第(1)问利用直角三角形面积公式列关于x的一元二次方程，求解后舍去不符合范围的解即可。3. 第(2)问在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中利用勾股定理列方程，求解后舍去不合题意的解。4. 第(3)问先假设面积能为$7\mathrm{cm}^2$，列出方程后通过判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得，$△ PBQ$为直角三角形，面积公式为$\frac{1}{2} × PB × BQ$，代入$PB=(5-x)\mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，可得：
$\frac{1}{2}(5-x) · 2x = 4$
整理得$x^2-5x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
$\because 0＜x\le3.5$，$\therefore x=4$不符合题意，舍去，故$x=1$。
(2) 由题意，得 $AP=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BP=(5-x)\ \mathrm{cm}.$
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理$BP^2+BQ^2=PQ^2$，得 $(5-x)^2+(2x)^2=5^2$,整理得 $x^2-2x=0$,
解得 $x_1=0$(不合题意,舍去),$x_2=2.$
(3) 不能. 理由:
假设$△ PBQ$的面积能为$7\ \mathrm{cm}^2$，由题意得 $\frac{1}{2}(5-x)· 2x=7$,
整理得 $x^2-5x+7=0.$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0,$
∴此方程无实数根,
$\therefore △ PBQ$ 的面积不能为 $7\ \mathrm{cm}^2$.
【答案】
(1) 1；(2) 2 s；(3) 不能，理由见解析
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；根的判别式
【点评】
本题是动态几何与方程结合的常规题型，解题核心是将运动过程中的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何性质列方程求解，需注意所求方程的解要符合实际运动的限制条件，存在性问题可通过判别式判断方程是否有实根来解答。
【难度系数】
0.7
这是动点结合一元二次方程的几何应用题，解题思路如下：1. 先根据“路程=速度×时间”用运动时间x表示出相关线段的长度：$AP=x\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，因此$PB=AB-AP=(5-x)\mathrm{cm}$，同时确定x的取值范围：点P走完全程需5s，点Q走完全程需$7÷2=3.5\mathrm{s}$，因此$0＜x\le3.5$，后续求解的x需满足该范围才有效。2. 第(1)问利用直角三角形面积公式列关于x的一元二次方程，求解后舍去不符合范围的解即可。3. 第(2)问在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中利用勾股定理列方程，求解后舍去不合题意的解。4. 第(3)问先假设面积能为$7\mathrm{cm}^2$，列出方程后通过判别式判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得，$△ PBQ$为直角三角形，面积公式为$\frac{1}{2} × PB × BQ$，代入$PB=(5-x)\mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，可得：
$\frac{1}{2}(5-x) · 2x = 4$
整理得$x^2-5x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=4$。
$\because 0＜x\le3.5$，$\therefore x=4$不符合题意，舍去，故$x=1$。
(2) 由题意，得 $AP=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BP=(5-x)\ \mathrm{cm}.$
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理$BP^2+BQ^2=PQ^2$，得 $(5-x)^2+(2x)^2=5^2$,整理得 $x^2-2x=0$,
解得 $x_1=0$(不合题意,舍去),$x_2=2.$
(3) 不能. 理由:
假设$△ PBQ$的面积能为$7\ \mathrm{cm}^2$，由题意得 $\frac{1}{2}(5-x)· 2x=7$,
整理得 $x^2-5x+7=0.$
$\because \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0,$
∴此方程无实数根,
$\therefore △ PBQ$ 的面积不能为 $7\ \mathrm{cm}^2$.
【答案】
(1) 1；(2) 2 s；(3) 不能，理由见解析
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；根的判别式
【点评】
本题是动态几何与方程结合的常规题型，解题核心是将运动过程中的线段长度用含时间的代数式表示，再结合几何性质列方程求解，需注意所求方程的解要符合实际运动的限制条件，存在性问题可通过判别式判断方程是否有实根来解答。
【难度系数】
0.7
