1.【教材P22练习T1变式】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上又长出x个小分支。若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43，则x等于()

A.4
B.5
C.6
D.7

1.C

【分析】
解题时首先要明确不同层级枝干的数量：1个主干是固定数量，主干上长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，因此小分支总数为$x· x=x^2$个。三类枝干数量之和为43，据此可列一元二次方程，求解后结合实际意义（支干数量为正整数）舍去不符合题意的根，即可得到x的值。
【解析】
由题意可知：主干数量为1，支干数量为$x$，小分支数量为$x· x=x^2$。
根据三类枝干总数量为43，列方程得：
$1 + x + x^2 = 43$
整理得：$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -7$
∵支干数量$x$为正整数，
∴$x=-7$不符合题意，舍去
∴$x=6$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于分支类一元二次方程应用的基础题型，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，列方程求解后需注意结合实际情境对根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7

2.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）

A.$50(1+x)^2=182$
B.$50+50(1+x)+50(1+x)^2=182$
C.$50(1+2x)=182$
D.$50+50(1+x)+50(1+2x)=182$

2.B

【分析】
解题时首先要明确第二季度包含四月、五月、六月三个月，总产量是三个月产量的和，而非仅六月份的产量，可先排除仅计算六月份产量的选项。再结合平均增长率的计算公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，依次表示出五月份、六月份的产量，最后将三个月产量相加等于第二季度总产量，即可列出对应方程。
【解析】
第二季度包含四月、五月、六月三个月，总产量为三个月产量之和：
1. 已知四月份产量为50万个；
2. 五、六月份平均每月增长率为x，因此五月份产量为$50(1+x)$万个；
3. 六月份是在五月份产量的基础上再次增长x，因此六月份产量为$50(1+x)^2$万个。
根据第二季度总产量为182万个，列方程得：
$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 182$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.平均增长率计算 2.一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题核心是准确表达每个周期的对应产量，易错点为容易忽略首个周期的产量，或误将多期增长率直接累加，需要注意区分累计总量和单期量的计算逻辑。
【难度系数】
0.8

3.某班一物理课代表经过老师培训后学会了某个物理实验操作，回到班上第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验.若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为()

A.$x+(x+1)x=36$
B.$1+x+(1+x)x=36$
C.$1+x+x^2=36$
D.$x+(x+1)^2=36$

3.B

【分析】
这是典型的传播类方程应用题，我们可以逐轮梳理会做实验的人数：首先初始状态只有1名课代表会做实验；第一节课时，这1名课代表教会x名同学，第一节课结束后总共有(1+x)人会做实验；第二节课时，已经会做的(1+x)人每人再教会x名同学，因此第二节课新教会的人数为(1+x)x；最终总共有36人会做实验，将初始人数、第一轮新增人数、第二轮新增人数相加等于总人数，即可列出方程匹配选项。
【解析】
解：①初始阶段：会做实验的人数为1（仅课代表）；
②第一节课后：1名课代表教会x名同学，此时会做实验的总人数为$1+x$；
③第二节课后：已会做实验的$(1+x)$名同学每人教会x名同学，第二节课新增会做实验的人数为$(1+x)x$；
结合两轮后共有36人会做实验，可列方程：
$1 + x + (1+x)x = 36$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播类问题建模
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是理清每一轮传播的主体数量，即每一轮新掌握技能的人数等于上一轮总人数乘以每人教会的人数，同时注意不要遗漏最初的1名初始人员，即可正确列出方程。
【难度系数】
0.8

4.【教材P22探究2变式】一种药品原价为每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为()

A.20%
B.22%
C.25%
D.28%

4.C

【分析】
这是一道平均降价率的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先设每次降价的百分率为未知数$x$，明确原价经过两次降价的计算逻辑：第一次降价后价格为原价×(1-降价百分率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再乘(1-降价百分率)，即两次降价后价格=原价×(1-降价百分率)²，根据题目给出的原价和两次降价后的现价列出方程，求解后结合降价百分率需小于1的实际意义，舍去不符合的解，即可得到正确答案。
【解析】
设每次降价的百分率为$x$，
由题意得：第一次降价后每盒价格为$48(1-x)$元，第二次降价后每盒价格为$48(1-x)^2$元，
据此列方程：$48(1-x)^2 = 27$，
两边同时除以48，化简得：$(1-x)^2 = \frac{9}{16}$，
开平方得：$1-x = \pm\frac{3}{4}$，
① 当$1-x = \frac{3}{4}$时，解得$x = \frac{1}{4} = 25\%$，符合题意；
② 当$1-x = -\frac{3}{4}$时，解得$x = \frac{7}{4} = 175\%$，不符合降价的实际意义，舍去。
因此每次降价的百分率为25%，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题，直接开平方法解方程
【点评】
本题属于平均变化率类基础应用题，解题关键是牢记变化量的计算公式，求解出方程的根后要注意结合实际场景验证解的合理性，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7

5.【节能环保】某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，对某款纯电动的新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为$ x $.已知这种新能源汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价为万元，第二次降价后每辆的售价为万元.若经过两次降价后这种新能源汽车的售价为每辆16万元，则可列方程为.

5. $25(1-x)$ $25(1-x)^2$ $25(1-x)^2=16$

【分析】
解决本题需要围绕平均降价率的计算逻辑思考：首先明确降价百分率的含义，每次降价都是在本次降价前的售价基础上减少x，即降价后价格=降价前价格×(1-x)。第一步先算第一次降价后的售价，再以第一次降价后的售价为基础算第二次降价后的售价，最后根据两次降价后的售价为16万元的等量关系列出方程即可。
【解析】
已知汽车原价为每辆25万元，平均每次降价百分率为x：
1. 第一次降价是在原价基础上降价，因此第一次降价后售价为$\boldsymbol{25(1-x)}$万元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再次降价，因此第二次降价后售价为$25(1-x)×(1-x)=\boldsymbol{25(1-x)^2}$万元；
3. 已知两次降价后售价为每辆16万元，结合第二次降价后的售价表达式，可列方程为$\boldsymbol{25(1-x)^2=16}$。
【答案】
$25(1-x)$；$25(1-x)^2$；$25(1-x)^2=16$
【知识点】
平均变化率问题；列代数式；一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，核心是掌握降价类问题的计算规律：每次降价后的价格为降价前价格乘(1-降价百分率)，n次降价后价格即为原价乘(1-降价百分率)的n次方，熟练掌握该规律就能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8

6.【教材P21探究1变式】有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有人患了流感；第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了人，第二轮过后共有人患了流感.

6.7 42 49

【分析】
解决这类传播问题的核心是先明确每一轮的传染源数量：①第一轮的传染源是最初的1名患者，先计算第一轮新增的患病人数，再加初始患病人数就能得到第一轮结束的总患病人数；②第二轮的传染源是第一轮结束后的所有患病者，用该数量乘以每人传染的人数可得第二轮新增传染人数，再用第一轮结束的总患病人数加第二轮新增人数，就能得到第二轮结束的总患病人数。
【解析】
1. 计算第一轮过后的总患病人数：
初始患病人数为1人，第一轮1名患者共传染 $1 × 6 = 6$ 人，因此第一轮过后总患病人数为 $1 + 6 = 7$ 人。
2. 计算第二轮传染的人数：
第二轮的传染源为第一轮结束后的7名患者，平均每人传染6人，因此第二轮传染的人数为 $7 × 6 = 42$ 人。
3. 计算第二轮过后的总患病人数：
总患病人数为第一轮总人数加第二轮新增传染人数，即 $7 + 42 = 49$ 人。
【答案】
7；42；49
【知识点】
传播类应用题计算；有理数混合运算
【点评】
本题是传播问题的基础题型，解题关键是准确判断每一轮的传染源数量，理清新增患病人数和累计患病人数的计算逻辑，是后续解决复杂传播类问题的基础。
【难度系数】
0.9

7.【航空航天】2025年11月25日，神舟二十二号飞船发射升空.某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.已知该模型11月售出250件，12月、次年1月销量持续走高，1月售出360件，求12月、1月这两个月的月平均增长率.

7.解:设12月、1月这两个月的月平均增长率为x，
根据题意，得 $250(1+x)^2=360$，
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$(不合题意，舍去).
答:12月、1月这两个月的月平均增长率为20%.

【分析】
这是典型的平均增长率类应用题，解题思路如下：首先牢记平均增长率的核心数量关系：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量。第一步先确认对应数值：11月销量250件是初始量，1月销量360件是最终量，从11月到次年1月共经历2次增长（11月到12月、12月到1月各增长1次）；第二步设月平均增长率为x，代入数量关系列出一元二次方程；第三步解方程，结合增长率不能为负的实际意义舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设12月、1月这两个月的月平均增长率为x，
根据题意，得 $250(1+x)^2=360$，
方程两边同除以250，得$(1+x)^2=\frac{36}{25}$，
开平方得$1+x=\pm\frac{6}{5}$，
解得 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，
增长率不能为负数，故$x_2=-2.2$不合题意，舍去。
答：12月、1月这两个月的月平均增长率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均增长率的基础应用题，解题关键是找准初始量、最终量和增长次数，正确列出一元二次方程，求解后要注意结合实际问题的意义对根进行取舍，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8