登录
一、选择题
1. 下列各式不能用平方差公式分解因式的是(
A.$x^2 - 1$
B.$-x^2 + 1$
C.$-x^2 - 1$
D.$1 - x^2$
1. 下列各式不能用平方差公式分解因式的是(
C
)A.$x^2 - 1$
B.$-x^2 + 1$
C.$-x^2 - 1$
D.$1 - x^2$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个式子不能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：能运用平方差公式分解因式的多项式必须是两项式，两项都能写成平方的形式，且两项的符号相反。解题时我们只需逐一对照每个选项是否满足这三个条件即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，适用该公式的多项式需满足：①是两项式；②两项均可写成平方形式；③两项符号相反。
选项A：$x^2 - 1 = x^2 - 1^2$，满足平方差公式的结构特征，可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
选项B：$-x^2 + 1 = 1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
选项C：$-x^2 - 1 = -(x^2 + 1)$，两项均为正号，符号相同，不满足平方差公式的结构特征，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
选项D：$1 - x^2 = 1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可以用平方差公式分解因式，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题是对因式分解中平方差公式适用条件的基础考查，准确把握平方差公式分解的多项式“两项异号、均为平方形式”的结构特点是解题的核心，遇到带负号的式子时可先调整项的顺序或提取负号再判断。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子不能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的适用条件：能运用平方差公式分解因式的多项式必须是两项式，两项都能写成平方的形式，且两项的符号相反。解题时我们只需逐一对照每个选项是否满足这三个条件即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，适用该公式的多项式需满足：①是两项式；②两项均可写成平方形式；③两项符号相反。
选项A：$x^2 - 1 = x^2 - 1^2$，满足平方差公式的结构特征，可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
选项B：$-x^2 + 1 = 1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可以用平方差公式分解因式，不符合题意；
选项C：$-x^2 - 1 = -(x^2 + 1)$，两项均为正号，符号相同，不满足平方差公式的结构特征，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
选项D：$1 - x^2 = 1^2 - x^2$，满足平方差公式的结构特征，可以用平方差公式分解因式，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题是对因式分解中平方差公式适用条件的基础考查，准确把握平方差公式分解的多项式“两项异号、均为平方形式”的结构特点是解题的核心，遇到带负号的式子时可先调整项的顺序或提取负号再判断。
【难度系数】
0.8
2. 下列分解因式正确的是(
A.$x^2 - 4 = (x - 4)^2$
B.$x^2 - 4 = (x + 4)(x - 4)$
C.$x^2 - 4y^2 = (x + 4y)(x - 4y)$
D.$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$
D
)A.$x^2 - 4 = (x - 4)^2$
B.$x^2 - 4 = (x + 4)(x - 4)$
C.$x^2 - 4y^2 = (x + 4y)(x - 4y)$
D.$x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y)$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查用平方差公式进行因式分解，解题思路为：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，随后逐一将各选项中等号左边的式子套用平方差公式分解，再和等号右边的结果对比即可判断对错。
【解析】
首先明确平方差因式分解公式：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$，逐个分析选项：
选项A：$x^2-4=x^2-2^2$，根据公式分解应为$(x+2)(x-2)$，而$(x-4)^2=x^2-8x+16$，和左边不相等，A错误；
选项B：$x^2-4=x^2-2^2$，分解结果应为$(x+2)(x-2)$，选项中误将2写成4，B错误；
选项C：$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2$，根据公式分解应为$(x+2y)(x-2y)$，选项中误将$2y$写成$4y$，C错误；
选项D：$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$，符合平方差公式分解结果，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查对平方差公式结构的识别与应用，解题的关键是准确找到平方差公式中对应的$a$和$b$，避免因记错平方项的底数出现错误，熟练掌握公式结构即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查用平方差公式进行因式分解，解题思路为：首先回忆平方差公式的结构特征：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，随后逐一将各选项中等号左边的式子套用平方差公式分解，再和等号右边的结果对比即可判断对错。
【解析】
首先明确平方差因式分解公式：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$，逐个分析选项：
选项A：$x^2-4=x^2-2^2$，根据公式分解应为$(x+2)(x-2)$，而$(x-4)^2=x^2-8x+16$，和左边不相等，A错误；
选项B：$x^2-4=x^2-2^2$，分解结果应为$(x+2)(x-2)$，选项中误将2写成4，B错误；
选项C：$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2$，根据公式分解应为$(x+2y)(x-2y)$，选项中误将$2y$写成$4y$，C错误；
选项D：$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$，符合平方差公式分解结果，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心考查对平方差公式结构的识别与应用，解题的关键是准确找到平方差公式中对应的$a$和$b$，避免因记错平方项的底数出现错误，熟练掌握公式结构即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图1-1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.小明将图1-1的阴影部分拼成一个如图1-2所示的长方形，这一过程可以验证下式中的(
A.$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$
B.$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$
C.$2a^2 - 3ab + b^2 = (2a - b)(a - b)$
D.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
D
)A.$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$
B.$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$
C.$2a^2 - 3ab + b^2 = (2a - b)(a - b)$
D.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
答案
3. D
解析
【分析】
这是一道利用等面积法验证代数公式的题目，核心解题思路是抓住拼接前后阴影部分面积不变的特点，分别计算两次阴影面积，再令两个面积表达式相等即可得到对应的公式。第一步先计算图1-1的阴影面积：用大正方形面积减去挖掉的小正方形面积即可；第二步计算图1-2拼接后长方形的面积：先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；最后联立两个面积表达式，对应选项判断即可。
【解析】
1. 计算图1-1阴影部分面积：
边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2 - b^2$。
2. 计算图1-2拼接后长方形的面积：
观察图形可得，拼接后的长方形长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，因此长方形面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
3. 拼接前后阴影部分面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应平方差公式。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 等面积法
3. 图形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形拼接直观验证代数公式，解题关键是抓住拼接前后阴影面积不变的特点，准确计算两次面积即可快速得出结论，能够帮助学生更直观地理解公式的几何意义。
【难度系数】
0.8
这是一道利用等面积法验证代数公式的题目，核心解题思路是抓住拼接前后阴影部分面积不变的特点，分别计算两次阴影面积，再令两个面积表达式相等即可得到对应的公式。第一步先计算图1-1的阴影面积：用大正方形面积减去挖掉的小正方形面积即可；第二步计算图1-2拼接后长方形的面积：先确定长方形的长和宽，再用长乘宽计算面积；最后联立两个面积表达式，对应选项判断即可。
【解析】
1. 计算图1-1阴影部分面积：
边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此阴影面积$S_1=a^2 - b^2$。
2. 计算图1-2拼接后长方形的面积：
观察图形可得，拼接后的长方形长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，因此长方形面积$S_2=(a+b)(a-b)$。
3. 拼接前后阴影部分面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得等式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应平方差公式。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 等面积法
3. 图形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形拼接直观验证代数公式，解题关键是抓住拼接前后阴影面积不变的特点，准确计算两次面积即可快速得出结论，能够帮助学生更直观地理解公式的几何意义。
【难度系数】
0.8
4. 已知$a+b=2$，则$a^2 - b^2 + 4b$的值是(
A.2
B.3
C.4
D.6
C
)A.2
B.3
C.4
D.6
答案
4. C
解析
【分析】
首先观察所求代数式中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构特征，因此第一步优先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解；再将已知条件$a+b=2$代入分解后的式子，对式子化简整理后，再次整体代入$a+b=2$即可求出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
解：先利用平方差公式对所求代数式变形：
$a^2 - b^2 + 4b = (a+b)(a-b) + 4b$
将$a+b=2$代入上式，得：
原式$=2(a-b) + 4b$
展开括号并合并同类项：
$=2a - 2b + 4b$
$=2a + 2b$
提取公因式2，可得：
$=2(a+b)$
再次代入$a+b=2$，得：
$=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构，对所求代数式合理变形后结合整体代入思想求值，避免单独求解未知数带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构特征，因此第一步优先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解；再将已知条件$a+b=2$代入分解后的式子，对式子化简整理后，再次整体代入$a+b=2$即可求出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
解：先利用平方差公式对所求代数式变形：
$a^2 - b^2 + 4b = (a+b)(a-b) + 4b$
将$a+b=2$代入上式，得：
原式$=2(a-b) + 4b$
展开括号并合并同类项：
$=2a - 2b + 4b$
$=2a + 2b$
提取公因式2，可得：
$=2(a+b)$
再次代入$a+b=2$，得：
$=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构，对所求代数式合理变形后结合整体代入思想求值，避免单独求解未知数带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
1. 分解因式：$x^2 -1 =$
(x+1)(x-1)
.答案
1. (x+1)(x-1)
解析
【分析】
拿到因式分解题目首先观察多项式结构：本题的多项式是两项，两项均为平方形式且符号相反，完全符合平方差公式的结构特征$a^2-b^2$。接下来确认公式中对应的a、b：第一项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；第二项1是$1^2$，对应$b^2$，即$b=1$，直接套用平方差公式分解即可，分解后检查结果不能再继续分解，就得到最终结果。
【解析】
解：原式可变形为平方差的形式：
$x^2 - 1 = x^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$a=x$、$b=1$代入公式得：
$x^2 - 1^2=(x+1)(x-1)$
【答案】
$(x+1)(x-1)$
【知识点】
平方差公式；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握公式的形式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到因式分解题目首先观察多项式结构：本题的多项式是两项，两项均为平方形式且符号相反，完全符合平方差公式的结构特征$a^2-b^2$。接下来确认公式中对应的a、b：第一项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；第二项1是$1^2$，对应$b^2$，即$b=1$，直接套用平方差公式分解即可，分解后检查结果不能再继续分解，就得到最终结果。
【解析】
解：原式可变形为平方差的形式：
$x^2 - 1 = x^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$a=x$、$b=1$代入公式得：
$x^2 - 1^2=(x+1)(x-1)$
【答案】
$(x+1)(x-1)$
【知识点】
平方差公式；公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握公式的形式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 分解因式：$-x^2 + y^2 =$
(y+x)(y-x)
。答案
2. (y+x)(y-x)
解析
【分析】
首先观察待分解的式子，可发现它由两个符号相反的平方项组成，符合平方差公式的结构特征。解题时先调整式子的顺序，将其转化为两个平方项作差的标准形式，再对应平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$确定公式中的$a$、$b$，代入公式即可完成分解，过程中要注意避免符号出错。
【解析】
第一步：对原式变形，调整项的顺序得到平方差的标准形式：
$-x^2+y^2=y^2-x^2$
第二步：套用平方差公式分解，其中公式里的$a=y$，$b=x$，代入得：
$y^2-x^2=(y+x)(y-x)$
【答案】
$(y+x)(y-x)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，解题时只需将式子调整为平方差的标准形式代入公式即可，易错点是符号混淆。
【难度系数】
0.8
首先观察待分解的式子，可发现它由两个符号相反的平方项组成，符合平方差公式的结构特征。解题时先调整式子的顺序，将其转化为两个平方项作差的标准形式，再对应平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$确定公式中的$a$、$b$，代入公式即可完成分解，过程中要注意避免符号出错。
【解析】
第一步：对原式变形，调整项的顺序得到平方差的标准形式：
$-x^2+y^2=y^2-x^2$
第二步：套用平方差公式分解，其中公式里的$a=y$，$b=x$，代入得：
$y^2-x^2=(y+x)(y-x)$
【答案】
$(y+x)(y-x)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，解题时只需将式子调整为平方差的标准形式代入公式即可，易错点是符号混淆。
【难度系数】
0.8
3. 已知$x^2 - y^2 =20, x + y =5$，则$x - y =$
4
.答案
3. 4
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中的$x^2 - y^2$，符合平方差公式的结构特征，因此我们可以先利用平方差公式对$x^2 - y^2$进行因式分解，将其转化为含有$x+y$和$x-y$的乘积形式，再代入已知的$x^2 - y^2$和$x+y$的值，即可求出$x-y$的结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
已知$x^2 - y^2 =20$，$x + y =5$，将两个值代入上式：
$20 = 5 × (x-y)$
等式两边同时除以5，得：
$x-y = 20 ÷ 5 = 4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方差公式的逆用，熟练掌握平方差公式的结构特点，能够灵活对多项式进行因式分解是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件中的$x^2 - y^2$，符合平方差公式的结构特征，因此我们可以先利用平方差公式对$x^2 - y^2$进行因式分解，将其转化为含有$x+y$和$x-y$的乘积形式，再代入已知的$x^2 - y^2$和$x+y$的值，即可求出$x-y$的结果。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
已知$x^2 - y^2 =20$，$x + y =5$，将两个值代入上式：
$20 = 5 × (x-y)$
等式两边同时除以5，得：
$x-y = 20 ÷ 5 = 4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方差公式的逆用，熟练掌握平方差公式的结构特点，能够灵活对多项式进行因式分解是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图2，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是
15
。答案
4. 15
解析
【分析】
首先设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据题意可得两正方形面积差为$a^2 - b^2=30$。接下来分析阴影部分的构成：阴影由两个三角形组成，两个三角形的底均为大、小正方形的边长差$a-b$，高分别为大正方形边长a和小正方形边长b。我们可以先分别表示出两个三角形的面积，再求和，提取公因式后结合平方差公式，将面积和转化为和$a^2-b^2$相关的式子，最后整体代入已知条件即可求出阴影面积。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得：
$a^2 - b^2 = 30$
观察图形，阴影部分由$△ ACE$和$△ ADE$组成，两个三角形的底$AE = a - b$，$△ ACE$以$AE$为底时高为$a$，$△ ADE$以$AE$为底时高为$b$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ACE} = \frac{1}{2} × AE × a = \frac{1}{2}(a - b)a$
$S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AE × b = \frac{1}{2}(a - b)b$
则阴影部分总面积为：
$S_{阴影} = S_{△ ACE} + S_{△ ADE} = \frac{1}{2}(a - b)a + \frac{1}{2}(a - b)b$
提取公因式$\frac{1}{2}(a - b)$得：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}(a - b)(a + b) = \frac{1}{2}(a^2 - b^2)$
将$a^2 - b^2=30$代入上式：
$S_{阴影} = \frac{1}{2} × 30 = 15$
【答案】
15
【知识点】
平方差公式，三角形面积计算，整体代入求值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，不需要求解两个正方形的具体边长，通过设参数表示面积、因式分解化简后用整体代入的方法即可求解，解题的核心是正确梳理阴影部分面积的构成，灵活运用平方差公式化简。
【难度系数】
0.6
首先设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据题意可得两正方形面积差为$a^2 - b^2=30$。接下来分析阴影部分的构成：阴影由两个三角形组成，两个三角形的底均为大、小正方形的边长差$a-b$，高分别为大正方形边长a和小正方形边长b。我们可以先分别表示出两个三角形的面积，再求和，提取公因式后结合平方差公式，将面积和转化为和$a^2-b^2$相关的式子，最后整体代入已知条件即可求出阴影面积。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得：
$a^2 - b^2 = 30$
观察图形，阴影部分由$△ ACE$和$△ ADE$组成，两个三角形的底$AE = a - b$，$△ ACE$以$AE$为底时高为$a$，$△ ADE$以$AE$为底时高为$b$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ACE} = \frac{1}{2} × AE × a = \frac{1}{2}(a - b)a$
$S_{△ ADE} = \frac{1}{2} × AE × b = \frac{1}{2}(a - b)b$
则阴影部分总面积为：
$S_{阴影} = S_{△ ACE} + S_{△ ADE} = \frac{1}{2}(a - b)a + \frac{1}{2}(a - b)b$
提取公因式$\frac{1}{2}(a - b)$得：
$S_{阴影} = \frac{1}{2}(a - b)(a + b) = \frac{1}{2}(a^2 - b^2)$
将$a^2 - b^2=30$代入上式：
$S_{阴影} = \frac{1}{2} × 30 = 15$
【答案】
15
【知识点】
平方差公式，三角形面积计算，整体代入求值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，不需要求解两个正方形的具体边长，通过设参数表示面积、因式分解化简后用整体代入的方法即可求解，解题的核心是正确梳理阴影部分面积的构成，灵活运用平方差公式化简。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 分解因式：
(1)$4x^2 - 25$
(2)$0.16x^2 - 0.49y^2$
(3)$(x + 3)^2 - (x - 2)^2$
(4)$m^2n^2 - 1$
(5)$25(x + y)^2 - 16$
(6)$4(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
2. $n$为整数，$(2n + 1)^2 - 25$能否被4整除？请说明理由。
1. 分解因式：
(1)$4x^2 - 25$
(2)$0.16x^2 - 0.49y^2$
(3)$(x + 3)^2 - (x - 2)^2$
(4)$m^2n^2 - 1$
(5)$25(x + y)^2 - 16$
(6)$4(x - y)^2 - 9(x + y)^2$
2. $n$为整数，$(2n + 1)^2 - 25$能否被4整除？请说明理由。
答案
1. (1)$(2x+5)(2x-5)$
(2)$(0.4x+0.7y)(0.4x-0.7y)$
(3)$5(2x+1)$
(4)$(mn+1)(mn-1)$
(5)$(5x+5y+4)(5x+5y-4)$
(6)$-(5x+y)(x+5y)$
2. 原式可化为$(2n+1+5)(2n+1-5)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2), \therefore (2n+1)^2-25$能被4整除。
(2)$(0.4x+0.7y)(0.4x-0.7y)$
(3)$5(2x+1)$
(4)$(mn+1)(mn-1)$
(5)$(5x+5y+4)(5x+5y-4)$
(6)$-(5x+y)(x+5y)$
2. 原式可化为$(2n+1+5)(2n+1-5)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2), \therefore (2n+1)^2-25$能被4整除。
解析
【分析】
本组题目核心考查平方差公式因式分解的应用，解题思路如下：1. 因式分解类题目：先判断式子是否符合平方差公式“两项异号、均为某个整式的平方”的结构特征，准确识别公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$中对应的$a$和$b$，代入公式后若有同类项要合并化简，确保最终结果不能再分解；2. 整除判断类题目：先利用平方差公式对原式因式分解，再整理式子，判断是否含有因数4，结合n为整数的条件即可得出结论。
【解析】
1. 分解因式：
(1) 原式变形为$(2x)^2 - 5^2$，符合平方差公式结构，代入得：$(2x+5)(2x-5)$
(2) 原式变形为$(0.4x)^2 - (0.7y)^2$，代入平方差公式得：$(0.4x+0.7y)(0.4x-0.7y)$
(3) 将$x+3$看作公式中的$a$，$x-2$看作公式中的$b$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=[(x+3)+(x-2)][(x+3)-(x-2)]\\&=(2x+1)×5\\&=5(2x+1)\end{aligned}$
(4) 原式变形为$(mn)^2 - 1^2$，代入平方差公式得：$(mn+1)(mn-1)$
(5) 原式变形为$[5(x+y)]^2 - 4^2$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=[5(x+y)+4][5(x+y)-4]\\&=(5x+5y+4)(5x+5y-4)\end{aligned}$
(6) 原式变形为$[2(x-y)]^2 - [3(x+y)]^2$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=[2(x-y)+3(x+y)][2(x-y)-3(x+y)]\\&=(5x+y)(-x-5y)\\&=-(5x+y)(x+5y)\end{aligned}$
2. 先对原式因式分解：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - 25&=(2n+1)^2 - 5^2\\&=(2n+1+5)(2n+1-5)\\&=(2n+6)(2n-4)\\&=2(n+3)×2(n-2)\\&=4(n+3)(n-2)\end{aligned}$
因为n为整数，所以$n+3$、$n-2$均为整数，因此$4(n+3)(n-2)$是4的整数倍，故$(2n+1)^2 -25$能被4整除。
【答案】
1. (1)$(2x+5)(2x-5)$
(2)$(0.4x+0.7y)(0.4x-0.7y)$
(3)$5(2x+1)$
(4)$(mn+1)(mn-1)$
(5)$(5x+5y+4)(5x+5y-4)$
(6)$-(5x+y)(x+5y)$
2. 能被4整除，原式可化为$4(n+3)(n-2)$，为4的整数倍，故可被4整除。
【知识点】
平方差公式因式分解、因式分解的应用、整式化简
【点评】
本组题目属于公式法因式分解的基础及应用题型，需熟练掌握平方差公式的结构特征，分解后要注意化简至最简形式，整除类问题通过因式分解转化为因数判断的思路是整式应用的常见考法。
【难度系数】
0.85
本组题目核心考查平方差公式因式分解的应用，解题思路如下：1. 因式分解类题目：先判断式子是否符合平方差公式“两项异号、均为某个整式的平方”的结构特征，准确识别公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$中对应的$a$和$b$，代入公式后若有同类项要合并化简，确保最终结果不能再分解；2. 整除判断类题目：先利用平方差公式对原式因式分解，再整理式子，判断是否含有因数4，结合n为整数的条件即可得出结论。
【解析】
1. 分解因式：
(1) 原式变形为$(2x)^2 - 5^2$，符合平方差公式结构，代入得：$(2x+5)(2x-5)$
(2) 原式变形为$(0.4x)^2 - (0.7y)^2$，代入平方差公式得：$(0.4x+0.7y)(0.4x-0.7y)$
(3) 将$x+3$看作公式中的$a$，$x-2$看作公式中的$b$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=[(x+3)+(x-2)][(x+3)-(x-2)]\\&=(2x+1)×5\\&=5(2x+1)\end{aligned}$
(4) 原式变形为$(mn)^2 - 1^2$，代入平方差公式得：$(mn+1)(mn-1)$
(5) 原式变形为$[5(x+y)]^2 - 4^2$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=[5(x+y)+4][5(x+y)-4]\\&=(5x+5y+4)(5x+5y-4)\end{aligned}$
(6) 原式变形为$[2(x-y)]^2 - [3(x+y)]^2$，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=[2(x-y)+3(x+y)][2(x-y)-3(x+y)]\\&=(5x+y)(-x-5y)\\&=-(5x+y)(x+5y)\end{aligned}$
2. 先对原式因式分解：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - 25&=(2n+1)^2 - 5^2\\&=(2n+1+5)(2n+1-5)\\&=(2n+6)(2n-4)\\&=2(n+3)×2(n-2)\\&=4(n+3)(n-2)\end{aligned}$
因为n为整数，所以$n+3$、$n-2$均为整数，因此$4(n+3)(n-2)$是4的整数倍，故$(2n+1)^2 -25$能被4整除。
【答案】
1. (1)$(2x+5)(2x-5)$
(2)$(0.4x+0.7y)(0.4x-0.7y)$
(3)$5(2x+1)$
(4)$(mn+1)(mn-1)$
(5)$(5x+5y+4)(5x+5y-4)$
(6)$-(5x+y)(x+5y)$
2. 能被4整除，原式可化为$4(n+3)(n-2)$，为4的整数倍，故可被4整除。
【知识点】
平方差公式因式分解、因式分解的应用、整式化简
【点评】
本组题目属于公式法因式分解的基础及应用题型，需熟练掌握平方差公式的结构特征，分解后要注意化简至最简形式，整除类问题通过因式分解转化为因数判断的思路是整式应用的常见考法。
【难度系数】
0.85
