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三、解答题
1. 分解因式：
(1) $-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$
(2) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$
(3) $(a+b)-(a+b)^2$
(4) $2m(a-3)+4(3-a)$
(5) $4(y-x)^3 - 2(x-y)^2$
(6) $(a-b)^3 - (b-a)^4$
1. 分解因式：
(1) $-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$
(2) $-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$
(3) $(a+b)-(a+b)^2$
(4) $2m(a-3)+4(3-a)$
(5) $4(y-x)^3 - 2(x-y)^2$
(6) $(a-b)^3 - (b-a)^4$
答案
1. (1)$-2ab(2a^2b^2-3a+1)$ (2)$-5bc(2a^2-3c+4ab)$ (3)$(a+b)(1-a-b)$ (4)$2(a-3)(m-2)$ (5)$2(y-x)^2(2y-2x-1)$ (6)$(a-b)^3(1-a+b)$
解析
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路可按以下步骤展开：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或相同多项式的最低次幂，若多项式首项为负，公因式通常带负号；②若式子中存在互为相反数的因式（如$a-3$与$3-a$、$x-y$与$y-x$），先利用偶次幂符号不变的性质转化为相同因式；③提取公因式后，将各项除以公因式得到的剩余部分整理合并，注意不要漏写常数项1。
【解析】
(1) 观察式子$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$，确定公因式为$-2ab$，提取公因式得：
原式$=-2ab · 2a^2b^2 + (-2ab) · (-3a) + (-2ab) · 1 = -2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$
(2) 观察式子$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$，确定公因式为$-5bc$，提取公因式得：
原式$=-5bc · 2a^2 + (-5bc) · (-3c) + (-5bc) · 4ab = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
(3) 观察式子$(a+b)-(a+b)^2$，确定公因式为$(a+b)$，提取公因式得：
原式$=(a+b) · 1 - (a+b) · (a+b) = (a+b)[1 - (a+b)] = (a+b)(1 - a - b)$
(4) 先将$3-a$转化为$-(a-3)$，式子变为$2m(a-3) - 4(a-3)$，确定公因式为$2(a-3)$，提取公因式得：
原式$=2(a-3) · m - 2(a-3) · 2 = 2(a-3)(m - 2)$
(5) 利用偶次幂的符号不变性质，$(x-y)^2=(y-x)^2$，式子变为$4(y-x)^3 - 2(y-x)^2$，确定公因式为$2(y-x)^2$，提取公因式得：
原式$=2(y-x)^2 · 2(y-x) - 2(y-x)^2 · 1 = 2(y-x)^2[2(y-x) - 1] = 2(y-x)^2(2y - 2x - 1)$
(6) 利用偶次幂的符号不变性质，$(b-a)^4=(a-b)^4$，式子变为$(a-b)^3 - (a-b)^4$，确定公因式为$(a-b)^3$，提取公因式得：
原式$=(a-b)^3 · 1 - (a-b)^3 · (a-b) = (a-b)^3[1 - (a - b)] = (a-b)^3(1 - a + b)$
【答案】
1. (1)$-2ab(2a^2b^2-3a+1)$ (2)$-5bc(2a^2-3c+4ab)$ (3)$(a+b)(1-a-b)$ (4)$2(a-3)(m-2)$ (5)$2(y-x)^2(2y-2x-1)$ (6)$(a-b)^3(1-a+b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，相反数因式转化
【点评】
本题属于提公因式分解因式的基础训练题，核心考查公因式的寻找和提取规则，解题时需特别注意符号问题、互为相反数的多项式因式的转化，以及提取公因式后剩余项不要漏写常数1，做完后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.75
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路可按以下步骤展开：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或相同多项式的最低次幂，若多项式首项为负，公因式通常带负号；②若式子中存在互为相反数的因式（如$a-3$与$3-a$、$x-y$与$y-x$），先利用偶次幂符号不变的性质转化为相同因式；③提取公因式后，将各项除以公因式得到的剩余部分整理合并，注意不要漏写常数项1。
【解析】
(1) 观察式子$-4a^3b^3 + 6a^2b - 2ab$，确定公因式为$-2ab$，提取公因式得：
原式$=-2ab · 2a^2b^2 + (-2ab) · (-3a) + (-2ab) · 1 = -2ab(2a^2b^2 - 3a + 1)$
(2) 观察式子$-10a^2bc + 15bc^2 - 20ab^2c$，确定公因式为$-5bc$，提取公因式得：
原式$=-5bc · 2a^2 + (-5bc) · (-3c) + (-5bc) · 4ab = -5bc(2a^2 - 3c + 4ab)$
(3) 观察式子$(a+b)-(a+b)^2$，确定公因式为$(a+b)$，提取公因式得：
原式$=(a+b) · 1 - (a+b) · (a+b) = (a+b)[1 - (a+b)] = (a+b)(1 - a - b)$
(4) 先将$3-a$转化为$-(a-3)$，式子变为$2m(a-3) - 4(a-3)$，确定公因式为$2(a-3)$，提取公因式得：
原式$=2(a-3) · m - 2(a-3) · 2 = 2(a-3)(m - 2)$
(5) 利用偶次幂的符号不变性质，$(x-y)^2=(y-x)^2$，式子变为$4(y-x)^3 - 2(y-x)^2$，确定公因式为$2(y-x)^2$，提取公因式得：
原式$=2(y-x)^2 · 2(y-x) - 2(y-x)^2 · 1 = 2(y-x)^2[2(y-x) - 1] = 2(y-x)^2(2y - 2x - 1)$
(6) 利用偶次幂的符号不变性质，$(b-a)^4=(a-b)^4$，式子变为$(a-b)^3 - (a-b)^4$，确定公因式为$(a-b)^3$，提取公因式得：
原式$=(a-b)^3 · 1 - (a-b)^3 · (a-b) = (a-b)^3[1 - (a - b)] = (a-b)^3(1 - a + b)$
【答案】
1. (1)$-2ab(2a^2b^2-3a+1)$ (2)$-5bc(2a^2-3c+4ab)$ (3)$(a+b)(1-a-b)$ (4)$2(a-3)(m-2)$ (5)$2(y-x)^2(2y-2x-1)$ (6)$(a-b)^3(1-a+b)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，相反数因式转化
【点评】
本题属于提公因式分解因式的基础训练题，核心考查公因式的寻找和提取规则，解题时需特别注意符号问题、互为相反数的多项式因式的转化，以及提取公因式后剩余项不要漏写常数1，做完后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.75
2. 利用因式分解计算:1.245×23.7+21.58×2.37+659.7×0.237.
答案
2. 237
解析
【分析】
观察算式可知，三个乘法项中均含有与“237”相关的因数，仅小数点位置不同，我们可以先利用积不变的规律（一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变），将三个项转化为含有相同公因式的形式，再提取公因式进行简便计算，无需单独计算每一项的乘积，大幅降低计算复杂度。
【解析】
解：根据积不变规律改写各项，统一公因式为2.37：
$1.245×23.7 = 1.245×10×2.37 = 12.45×2.37$
$659.7×0.237 = 659.7×0.1×2.37 = 65.97×2.37$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=12.45×2.37 + 21.58×2.37 + 65.97×2.37\\&=2.37×(12.45 + 21.58 + 65.97)\\&=2.37×100\\&=237\end{aligned}$
【答案】
237
【知识点】
提公因式法，积不变规律，有理数简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的常见题型，解题核心是通过调整小数点位置构造出公共因数，再利用提公因式法将复杂的乘法运算转化为简单的加法和整十整百数的乘法运算，既提升计算效率也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，三个乘法项中均含有与“237”相关的因数，仅小数点位置不同，我们可以先利用积不变的规律（一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变），将三个项转化为含有相同公因式的形式，再提取公因式进行简便计算，无需单独计算每一项的乘积，大幅降低计算复杂度。
【解析】
解：根据积不变规律改写各项，统一公因式为2.37：
$1.245×23.7 = 1.245×10×2.37 = 12.45×2.37$
$659.7×0.237 = 659.7×0.1×2.37 = 65.97×2.37$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=12.45×2.37 + 21.58×2.37 + 65.97×2.37\\&=2.37×(12.45 + 21.58 + 65.97)\\&=2.37×100\\&=237\end{aligned}$
【答案】
237
【知识点】
提公因式法，积不变规律，有理数简便运算
【点评】
本题是因式分解用于简便计算的常见题型，解题核心是通过调整小数点位置构造出公共因数，再利用提公因式法将复杂的乘法运算转化为简单的加法和整十整百数的乘法运算，既提升计算效率也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
【拓展思考】
阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)$
$=(1+x)^3$
(1)上述分解因式的方法是
(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2021}$,则结果是
(3)依照上述方法分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$($n$为正整数).
阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)$
$=(1+x)^3$
(1)上述分解因式的方法是
提公因式法
;(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2021}$,则结果是
$(1+x)^{2022}$
;(3)依照上述方法分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$($n$为正整数).
答案
(1)提公因式法 (2)$(1+x)^{2022}$ (3)$(1+x)^{n+1}$
解析
【分析】
(1)观察给出的因式分解过程，每一步都在提取相同的公因式$(1+x)$，据此可直接判断分解方法；
(2)参照示例的分解规律：原式中$(x+1)$的最高次幂为$m$时，分解结果是$(1+x)^{m+1}$，也可通过逐步提公因式验证：每提取一次$(1+x)$，剩余式子的结构和原式完全相同，仅最高次幂降1，反复提取直到最后只剩$(1+x)$，即可得到结果；
(3)将(2)的规律推广到一般情况，即可得到最高次为$n$时对应的分解结果。
【解析】
(1) 观察分解过程，每一步均是提取公因式$(1+x)$进行因式分解，因此使用的方法是提公因式法；
(2) 对$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2021}$分解：
第一次提取公因式$(1+x)$，得：
原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2020}]$
再次提取公因式$(1+x)$，得：
原式$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+···+x(x+1)^{2019}]$
重复上述操作，每提取一次公因式，剩余式子中$(x+1)$的最高次减1，经过2021次提取后，最后剩余的式子为$(1+x)$，因此最终结果为$(1+x)^{2022}$；
(3) 依照上述规律，对$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$（$n$为正整数）分解：
每次提取公因式$(1+x)$，共提取$n$次后，最后剩余$(1+x)$，因此最终结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1)提公因式法 (2)$(1+x)^{2022}$ (3)$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 规律归纳探究
【点评】
本题以提公因式法因式分解为基础，考查对规律的归纳总结能力，解题时无需将式子全部展开，只要观察到每次提取公因式后式子结构保持不变的特点，就能快速推导得到结果，很好地体现了因式分解化繁为简的思路。
【难度系数】
0.7
(1)观察给出的因式分解过程，每一步都在提取相同的公因式$(1+x)$，据此可直接判断分解方法；
(2)参照示例的分解规律：原式中$(x+1)$的最高次幂为$m$时，分解结果是$(1+x)^{m+1}$，也可通过逐步提公因式验证：每提取一次$(1+x)$，剩余式子的结构和原式完全相同，仅最高次幂降1，反复提取直到最后只剩$(1+x)$，即可得到结果；
(3)将(2)的规律推广到一般情况，即可得到最高次为$n$时对应的分解结果。
【解析】
(1) 观察分解过程，每一步均是提取公因式$(1+x)$进行因式分解，因此使用的方法是提公因式法；
(2) 对$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2021}$分解：
第一次提取公因式$(1+x)$，得：
原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2020}]$
再次提取公因式$(1+x)$，得：
原式$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+···+x(x+1)^{2019}]$
重复上述操作，每提取一次公因式，剩余式子中$(x+1)$的最高次减1，经过2021次提取后，最后剩余的式子为$(1+x)$，因此最终结果为$(1+x)^{2022}$；
(3) 依照上述规律，对$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$（$n$为正整数）分解：
每次提取公因式$(1+x)$，共提取$n$次后，最后剩余$(1+x)$，因此最终结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1)提公因式法 (2)$(1+x)^{2022}$ (3)$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 规律归纳探究
【点评】
本题以提公因式法因式分解为基础，考查对规律的归纳总结能力，解题时无需将式子全部展开，只要观察到每次提取公因式后式子结构保持不变的特点，就能快速推导得到结果，很好地体现了因式分解化繁为简的思路。
【难度系数】
0.7
