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一、选择题
1. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是(
A.$x^2 + 2x - 1$
B.$-x^2 + 2x + 1$
C.$x^2 + 2x + 1$
D.$x^2 - x + 1$
1. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是(
C
)A.$x^2 + 2x - 1$
B.$-x^2 + 2x + 1$
C.$x^2 + 2x + 1$
D.$x^2 - x + 1$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个三项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子，可以分解为$(a\pm b)^2$，核心特征是：①式子为三项式；②有两个同号的平方项；③第三项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时我们逐一对照每个选项是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2+2x-1$，平方项$x^2$为正，常数项$-1$为负，两个平方项符号相反，不符合完全平方公式特征，不能用完全平方公式分解；
B选项：$-x^2+2x+1$，平方项$-x^2$为负，常数项$1$为正，两个平方项符号相反，不符合完全平方公式特征，不能用完全平方公式分解；
C选项：$x^2+2x+1=x^2+2· x·1 +1^2$，完全符合$a^2+2ab+b^2$的形式，可分解为$(x+1)^2$，符合要求；
D选项：$x^2-x+1$，两个平方项底数为$x$和$1$，乘积的2倍应为$\pm2x$，但中间项是$-x$，不是2倍乘积，不符合特征，不能用完全平方公式分解。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的结构识别，属于基础题型，熟练掌握完全平方公式的三项构成特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断一个三项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子，可以分解为$(a\pm b)^2$，核心特征是：①式子为三项式；②有两个同号的平方项；③第三项是两个平方项底数乘积的2倍（符号可正可负）。解题时我们逐一对照每个选项是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A选项：$x^2+2x-1$，平方项$x^2$为正，常数项$-1$为负，两个平方项符号相反，不符合完全平方公式特征，不能用完全平方公式分解；
B选项：$-x^2+2x+1$，平方项$-x^2$为负，常数项$1$为正，两个平方项符号相反，不符合完全平方公式特征，不能用完全平方公式分解；
C选项：$x^2+2x+1=x^2+2· x·1 +1^2$，完全符合$a^2+2ab+b^2$的形式，可分解为$(x+1)^2$，符合要求；
D选项：$x^2-x+1$，两个平方项底数为$x$和$1$，乘积的2倍应为$\pm2x$，但中间项是$-x$，不是2倍乘积，不符合特征，不能用完全平方公式分解。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，公式法分解因式
【点评】
本题主要考查完全平方公式的结构识别，属于基础题型，熟练掌握完全平方公式的三项构成特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 分解因式$x^2 -4x +4$的结果是(
A.$x(x-4)+4$
B.$(x-4)^2$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
D
)A.$x(x-4)+4$
B.$(x-4)^2$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道因式分解题，首先明确因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，其次观察多项式$x^2-4x+4$是三项式，可优先匹配完全平方公式的结构：完全平方差公式为$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，我们可将原式的各项对应公式的结构判断是否符合，也可以通过展开选项逐一验证，排除错误答案。
【解析】
方法一：用完全平方公式直接分解
完全平方差公式：$\boldsymbol{a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2}$
在多项式$x^2 -4x +4$中：
首项$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；
常数项$4=2^2$对应公式里的$b^2$，即$b=2$；
中间项$-4x=-2× x×2$，刚好对应公式里的$-2ab$，符合完全平方差公式的结构特征。
因此$x^2 -4x +4=(x-2)^2$。
方法二：逐一验证选项
A选项：$x(x-4)+4$是和的形式，不是整式乘积，不符合因式分解的定义，排除；
B选项：$(x-4)^2=x^2-8x+16$，与原式不一致，排除；
C选项：$(x+2)^2=x^2+4x+4$，与原式不一致，排除；
D选项：$(x-2)^2=x^2-4x+4$，与原式完全一致，正确。
【答案】D
【知识点】完全平方公式，因式分解，公式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，也可通过反向展开选项验证结果，做题时需注意因式分解的结果必须是整式乘积的形式。
【难度系数】0.9
要解决这道因式分解题，首先明确因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，其次观察多项式$x^2-4x+4$是三项式，可优先匹配完全平方公式的结构：完全平方差公式为$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，我们可将原式的各项对应公式的结构判断是否符合，也可以通过展开选项逐一验证，排除错误答案。
【解析】
方法一：用完全平方公式直接分解
完全平方差公式：$\boldsymbol{a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2}$
在多项式$x^2 -4x +4$中：
首项$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；
常数项$4=2^2$对应公式里的$b^2$，即$b=2$；
中间项$-4x=-2× x×2$，刚好对应公式里的$-2ab$，符合完全平方差公式的结构特征。
因此$x^2 -4x +4=(x-2)^2$。
方法二：逐一验证选项
A选项：$x(x-4)+4$是和的形式，不是整式乘积，不符合因式分解的定义，排除；
B选项：$(x-4)^2=x^2-8x+16$，与原式不一致，排除；
C选项：$(x+2)^2=x^2+4x+4$，与原式不一致，排除；
D选项：$(x-2)^2=x^2-4x+4$，与原式完全一致，正确。
【答案】D
【知识点】完全平方公式，因式分解，公式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，也可通过反向展开选项验证结果，做题时需注意因式分解的结果必须是整式乘积的形式。
【难度系数】0.9
3. 如果$x^2 -6x +k^2$恰好是另一个整式的平方，那么常数$k$的值为(
A.9
B.3
C.-3
D.$\pm3$
D
)A.9
B.3
C.-3
D.$\pm3$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查完全平方式的结构特征，解题思路如下：首先回忆完全平方式的形式：$a^2\pm2ab+b^2$，它可以整理为$(a\pm b)^2$。我们先将给定的二次三项式与完全平方式的结构对应，先确定首项对应的$a$，再根据中间项求出$b$的值，最后根据常数项为$b^2$的特点求出$k$的取值，注意平方项开方后存在正负两种情况，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知$x^2 -6x +k^2$是某个整式的平方，即该式为完全平方式。
1. 对应完全平方式的首项：$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 对应完全平方式的中间项：$-6x=-2ab$，将$a=x$代入得：$-2· x· b=-6x$，两边同时除以$-2x$（$x≠0$，$x=0$时等式也成立），解得$b=3$；
3. 对应完全平方式的常数项：$k^2=b^2$，代入$b=3$得$k^2=3^2=9$，对等式两边开平方可得$k=\pm3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式，平方根运算
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，核心是熟练掌握完全平方式“首平方、尾平方，两倍乘积在中央”的结构特征，解题时要注意常数项是平方项，开平方后存在正负两个解，避免漏选负数解。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方式的结构特征，解题思路如下：首先回忆完全平方式的形式：$a^2\pm2ab+b^2$，它可以整理为$(a\pm b)^2$。我们先将给定的二次三项式与完全平方式的结构对应，先确定首项对应的$a$，再根据中间项求出$b$的值，最后根据常数项为$b^2$的特点求出$k$的取值，注意平方项开方后存在正负两种情况，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知$x^2 -6x +k^2$是某个整式的平方，即该式为完全平方式。
1. 对应完全平方式的首项：$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 对应完全平方式的中间项：$-6x=-2ab$，将$a=x$代入得：$-2· x· b=-6x$，两边同时除以$-2x$（$x≠0$，$x=0$时等式也成立），解得$b=3$；
3. 对应完全平方式的常数项：$k^2=b^2$，代入$b=3$得$k^2=3^2=9$，对等式两边开平方可得$k=\pm3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，完全平方式，平方根运算
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，核心是熟练掌握完全平方式“首平方、尾平方，两倍乘积在中央”的结构特征，解题时要注意常数项是平方项，开平方后存在正负两个解，避免漏选负数解。
【难度系数】
0.7
4. 小明是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:$a-b,m-n,8,a+b,a^2+b^2,m,$分别对应下列六个字:爱,我,海,南,学,校.现将$8m(a^2-b^2)-8n(a^2-b^2)$因式分解,结果呈现的密码信息可能是(
A.海南爱学
B.我爱海南
C.海南学校
D.我爱学校
B
)A.海南爱学
B.我爱海南
C.海南学校
D.我爱学校
答案
4. B
解析
【分析】
这是一道因式分解结合密码对应的趣味题，解题思路分三步：第一步先对给出的多项式进行因式分解，遵循先提公因式再用公式的原则；第二步将分解得到的每个因式和题目给出的对应关系匹配，找到对应的汉字；第三步将汉字组合，和选项对比选出答案即可。
【解析】
对多项式$8m(a^2-b^2)-8n(a^2-b^2)$因式分解：
1. 提取公因式：观察到多项式两项都含有公因式$8(a^2-b^2)$，提取后得：
原式$=8(a^2-b^2)(m-n)$
2. 用平方差公式继续分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
原式$=8(a+b)(a-b)(m-n)$
3. 匹配对应汉字：根据题意，$8$对应“海”，$a+b$对应“南”，$a-b$对应“爱”，$m-n$对应“我”，四个汉字组合可得“我爱海南”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题将因式分解与趣味密码结合，考查因式分解的常规步骤，需要注意分解要彻底，即分解到不能再分解为止，再对应匹配汉字即可得到结果。
【难度系数】
0.8
这是一道因式分解结合密码对应的趣味题，解题思路分三步：第一步先对给出的多项式进行因式分解，遵循先提公因式再用公式的原则；第二步将分解得到的每个因式和题目给出的对应关系匹配，找到对应的汉字；第三步将汉字组合，和选项对比选出答案即可。
【解析】
对多项式$8m(a^2-b^2)-8n(a^2-b^2)$因式分解：
1. 提取公因式：观察到多项式两项都含有公因式$8(a^2-b^2)$，提取后得：
原式$=8(a^2-b^2)(m-n)$
2. 用平方差公式继续分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
原式$=8(a+b)(a-b)(m-n)$
3. 匹配对应汉字：根据题意，$8$对应“海”，$a+b$对应“南”，$a-b$对应“爱”，$m-n$对应“我”，四个汉字组合可得“我爱海南”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题将因式分解与趣味密码结合，考查因式分解的常规步骤，需要注意分解要彻底，即分解到不能再分解为止，再对应匹配汉字即可得到结果。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 分解因式：$x^2 + 12x + 36 =$
1. 分解因式：$x^2 + 12x + 36 =$
$(x+6)^2$
.答案
1. $(x+6)^2$
解析
【分析】
分解因式时先观察多项式结构，该多项式为三项式且没有公因式，优先判断是否符合完全平方式的特征。完全平方式的结构为“两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍”，对应公式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，只需对应找到公式中的a、b，验证中间项匹配即可完成分解。
【解析】
使用完全平方和公式分解因式，公式为：$\boldsymbol{a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2}$
对原式$x^2 + 12x + 36$逐项对应：
1. 首项$x^2 = x^2$，可得$a=x$；
2. 末项$36 = 6^2$，可得$b=6$；
3. 验证中间项：$2ab = 2× x ×6 = 12x$，与原式中间项完全一致。
因此$x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$。
【答案】
$(x+6)^2$
【知识点】
1. 公式法分解因式 2. 完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查完全平方式的结构识别与公式应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
分解因式时先观察多项式结构，该多项式为三项式且没有公因式，优先判断是否符合完全平方式的特征。完全平方式的结构为“两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍”，对应公式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，只需对应找到公式中的a、b，验证中间项匹配即可完成分解。
【解析】
使用完全平方和公式分解因式，公式为：$\boldsymbol{a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2}$
对原式$x^2 + 12x + 36$逐项对应：
1. 首项$x^2 = x^2$，可得$a=x$；
2. 末项$36 = 6^2$，可得$b=6$；
3. 验证中间项：$2ab = 2× x ×6 = 12x$，与原式中间项完全一致。
因此$x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$。
【答案】
$(x+6)^2$
【知识点】
1. 公式法分解因式 2. 完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查完全平方式的结构识别与公式应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 分解因式:$-x^2 + 4xy - 4y^2 =$
$-(x-2y)^2$
.答案
2. $-(x-2y)^2$
解析
【分析】
解题时先观察多项式特征，首项系数为负，第一步先提取公因式-1，把多项式转化为含正二次项的形式；再观察提取公因式后剩下的三项，判断其符合完全平方差公式的结构特征，即可套用公式完成因式分解，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
解：$-x^2 + 4xy - 4y^2$
$=-(x^2 - 4xy + 4y^2)$ //提取公因式-1，将二次项系数化为正
$=-(x - 2y)^2$ //套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x$，$b=2y$
【答案】
$-(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题关键是先处理负号公因式，再准确识别完全平方式的结构，解题时要注意避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时先观察多项式特征，首项系数为负，第一步先提取公因式-1，把多项式转化为含正二次项的形式；再观察提取公因式后剩下的三项，判断其符合完全平方差公式的结构特征，即可套用公式完成因式分解，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
解：$-x^2 + 4xy - 4y^2$
$=-(x^2 - 4xy + 4y^2)$ //提取公因式-1，将二次项系数化为正
$=-(x - 2y)^2$ //套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=x$，$b=2y$
【答案】
$-(x-2y)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，解题关键是先处理负号公因式，再准确识别完全平方式的结构，解题时要注意避免符号出错。
【难度系数】
0.8
3. 分解因式：$4x^2y^2 + 4xy + 1 =$
$(2xy+1)^2$
答案
3. $(2xy+1)^2$
解析
【分析】
解题时先观察多项式的结构，这是一个三项式，优先考虑用完全平方公式分解因式。首先回忆完全平方和公式的结构：两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍，等于这两个数和的平方，即$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。接下来对应找式子中的$a$和$b$：先看首项$4x^2y^2$可以写成$(2xy)^2$，末项1是$1^2$，再验证中间项$4xy$是否等于2乘首项底数乘末项底数，计算可得$2×2xy×1=4xy$，刚好符合完全平方和公式的结构，因此可以直接套用公式分解。
【解析】
解：原式可变形为：
$4x^2y^2 + 4xy + 1=(2xy)^2 + 2· 2xy· 1 + 1^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=2xy$，$b=1$，代入得：
$=(2xy+1)^2$
【答案】
$(2xy+1)^2$
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，解题关键是准确判断多项式是否符合完全平方公式的形式，找准公式中对应的a、b即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先观察多项式的结构，这是一个三项式，优先考虑用完全平方公式分解因式。首先回忆完全平方和公式的结构：两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍，等于这两个数和的平方，即$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。接下来对应找式子中的$a$和$b$：先看首项$4x^2y^2$可以写成$(2xy)^2$，末项1是$1^2$，再验证中间项$4xy$是否等于2乘首项底数乘末项底数，计算可得$2×2xy×1=4xy$，刚好符合完全平方和公式的结构，因此可以直接套用公式分解。
【解析】
解：原式可变形为：
$4x^2y^2 + 4xy + 1=(2xy)^2 + 2· 2xy· 1 + 1^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=2xy$，$b=1$，代入得：
$=(2xy+1)^2$
【答案】
$(2xy+1)^2$
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别与应用，解题关键是准确判断多项式是否符合完全平方公式的形式，找准公式中对应的a、b即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 若$x^2 - 8xy + my^2$是完全平方式，则$m=$
16
。答案
4. 16
解析
【分析】
解决本题首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项，以及一个等于两个底数乘积2倍的中间项（符号可正可负）。我们先将给定式子和完全平方式的结构逐一对应，先确定已知平方项对应的底数，再根据中间项的系数求出未知平方项的底数，最终计算出$m$的值。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$x^2 - 8xy + my^2$和公式结构对应：
1. 首项$x^2$对应公式中的$a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$-8xy$对应公式中的$-2ab$，将$a=x$代入得：$-2· x· b=-8xy$，解得$b=4y$；
3. 末项$my^2$对应公式中的$b^2$，将$b=4y$代入得：$b^2=(4y)^2=16y^2$，因此$my^2=16y^2$，即$m=16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题主要考查对完全平方式结构的掌握，解题关键是准确对应完全平方公式中的各项，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个同号的平方项，以及一个等于两个底数乘积2倍的中间项（符号可正可负）。我们先将给定式子和完全平方式的结构逐一对应，先确定已知平方项对应的底数，再根据中间项的系数求出未知平方项的底数，最终计算出$m$的值。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$x^2 - 8xy + my^2$和公式结构对应：
1. 首项$x^2$对应公式中的$a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$-8xy$对应公式中的$-2ab$，将$a=x$代入得：$-2· x· b=-8xy$，解得$b=4y$；
3. 末项$my^2$对应公式中的$b^2$，将$b=4y$代入得：$b^2=(4y)^2=16y^2$，因此$my^2=16y^2$，即$m=16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题主要考查对完全平方式结构的掌握，解题关键是准确对应完全平方公式中的各项，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 分解因式:
(1) $4x^2 - 4x + 1$
(2) $9x^2 + 42x + 49$
(3) $4x^2 - 12xy + 9y^2$
(4) $(x - y)^2 + 6(x - y) + 9$
(5) $(m + 1)(m - 3) + 4$
(6) $4x^4 - 12x^2y^2 + 9y^4$
2. 利用因式分解进行简便计算:$80×3.5^2 + 160×3.5×1.5 + 80×1.5^2$.
3. 已知$a^2 + b^2 - 4a + 6b + 13 = 0$,求$a + b$的值.
【拓展思考】
数学活动
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也被称作富比尼原理,是一种重要的数学思想.例如:对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
计算如图1的面积,把图1看作一个大正方形,它的面积是$(a+b)^2$;如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的,它的面积为$a^2+2ab+b^2$,由此得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
请利用上述数学思想解决下列问题:
(1)如图2,正方形ABCD是由四个边长分别为a,b的长方形和中间一个小正方形组成的,用不同的方法对图2的面积进行计算,你发现的等式是
(2)如图3,四个三角形都是全等的直角三角形,用不同的代数式表示大正方形的面积,由此得到的等式为
(3)请进一步化简(2)题的等式,你发现直角三角形三边之间存在的关系了吗?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,你发现的等式为
1. 分解因式:
(1) $4x^2 - 4x + 1$
(2) $9x^2 + 42x + 49$
(3) $4x^2 - 12xy + 9y^2$
(4) $(x - y)^2 + 6(x - y) + 9$
(5) $(m + 1)(m - 3) + 4$
(6) $4x^4 - 12x^2y^2 + 9y^4$
2. 利用因式分解进行简便计算:$80×3.5^2 + 160×3.5×1.5 + 80×1.5^2$.
3. 已知$a^2 + b^2 - 4a + 6b + 13 = 0$,求$a + b$的值.
【拓展思考】
数学活动
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也被称作富比尼原理,是一种重要的数学思想.例如:对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
计算如图1的面积,把图1看作一个大正方形,它的面积是$(a+b)^2$;如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的,它的面积为$a^2+2ab+b^2$,由此得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
请利用上述数学思想解决下列问题:
(1)如图2,正方形ABCD是由四个边长分别为a,b的长方形和中间一个小正方形组成的,用不同的方法对图2的面积进行计算,你发现的等式是
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(用a,b表示);(2)如图3,四个三角形都是全等的直角三角形,用不同的代数式表示大正方形的面积,由此得到的等式为
$c^2=2ab+(a-b)^2$
(用a,b,c表示);(3)请进一步化简(2)题的等式,你发现直角三角形三边之间存在的关系了吗?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,你发现的等式为
$a^2+b^2=c^2$
(用a,b,c表示).答案
1. (1)$(2x-1)^2$ (2)$(3x+7)^2$ (3)$(2x-3y)^2$ (4)$(x-y+3)^2$ (5)$(m-1)^2$ (6)$(2x^2-3y^2)^2$
2. 2 000
3. 由$a^2+b^2-4a+6b+13=0$,得$(a-2)^2+(b+3)^2=0$, $\therefore a=2,b=-3$, $\therefore a+b=-1$.
【拓展思考】
(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$ (2)$c^2=2ab+(a-b)^2$ (3)$a^2+b^2=c^2$
2. 2 000
3. 由$a^2+b^2-4a+6b+13=0$,得$(a-2)^2+(b+3)^2=0$, $\therefore a=2,b=-3$, $\therefore a+b=-1$.
【拓展思考】
(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$ (2)$c^2=2ab+(a-b)^2$ (3)$a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
本次题目分为基础运算和拓展探究两部分：1. 因式分解及简便计算题均围绕完全平方公式展开，解题时先识别式子是否符合“首平方、尾平方，首尾乘积2倍在中央”的完全平方公式结构，可直接套用或经过整理、提取公因式后套用公式求解；2. 已知等式求代数式值的题目，需用配方法将等式左边拆分为两个完全平方式的和，再结合平方的非负性求出未知数的值；3. 拓展思考部分采用“算两次”的面积法，分别从整体、拆分两个角度表示同一图形的面积，列等式化简即可得到对应结论。
【解析】
1. 分解因式：
(1) $4x^2 -4x +1=(2x)^2 - 2·2x·1 +1^2$，符合完全平方差公式，因此原式=$(2x-1)^2$；
(2) $9x^2 +42x +49=(3x)^2 + 2·3x·7 +7^2$，符合完全平方和公式，因此原式=$(3x+7)^2$；
(3) $4x^2 -12xy +9y^2=(2x)^2 - 2·2x·3y +(3y)^2$，符合完全平方差公式，因此原式=$(2x-3y)^2$；
(4) 将$(x-y)$看作整体，原式=$(x-y)^2 + 2·(x-y)·3 +3^2$，符合完全平方和公式，因此原式=$(x-y+3)^2$；
(5) 先展开整理原式：$(m+1)(m-3)+4=m^2 -3m +m -3 +4=m^2 -2m +1$，再套用完全平方差公式得原式=$(m-1)^2$；
(6) $4x^4 -12x^2y^2 +9y^4=(2x^2)^2 - 2·2x^2·3y^2 +(3y^2)^2$，符合完全平方差公式，因此原式=$(2x^2-3y^2)^2$；
2. 简便计算：
先提取公因式80，得：
原式$=80×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 +1.5^2)$
括号内部分符合完全平方和公式，即$3.5^2 + 2×3.5×1.5 +1.5^2=(3.5+1.5)^2=5^2=25$
因此原式$=80×25=2000$；
3. 对等式左边配方求解：
将13拆分为$4+9$，原式整理为：
$a^2-4a+4 + b^2+6b+9=0$
即$(a-2)^2 + (b+3)^2=0$
根据平方的非负性，可得$a-2=0$，$b+3=0$，解得$a=2$，$b=-3$
因此$a+b=2+(-3)=-1$；
【拓展思考】
(1) 图2整体为边长$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$；拆分后中间小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，4个长方形总面积为$4ab$，因此总面积也可表示为$(a-b)^2+4ab$，联立得等式：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
(2) 图3整体为边长$c$的大正方形，面积为$c^2$；拆分后4个全等直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，中间小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，因此总面积也可表示为$2ab+(a-b)^2$，联立得等式：$c^2=2ab+(a-b)^2$；
(3) 化简(2)中等式：$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$，合并同类项后得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
1. (1)$(2x-1)^2$ (2)$(3x+7)^2$ (3)$(2x-3y)^2$ (4)$(x-y+3)^2$ (5)$(m-1)^2$ (6)$(2x^2-3y^2)^2$
2. $2000$
3. $-1$
【拓展思考】
(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$ (2)$c^2=2ab+(a-b)^2$ (3)$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
公式法因式分解，平方的非负性，数形结合验证恒等式
【点评】
题目围绕完全平方公式设计，覆盖了公式的基础应用、变形应用以及结合数形结合思想的拓展探究，既注重基础运算能力的巩固，也渗透了“算两次”的重要数学思想，能有效提升知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
本次题目分为基础运算和拓展探究两部分：1. 因式分解及简便计算题均围绕完全平方公式展开，解题时先识别式子是否符合“首平方、尾平方，首尾乘积2倍在中央”的完全平方公式结构，可直接套用或经过整理、提取公因式后套用公式求解；2. 已知等式求代数式值的题目，需用配方法将等式左边拆分为两个完全平方式的和，再结合平方的非负性求出未知数的值；3. 拓展思考部分采用“算两次”的面积法，分别从整体、拆分两个角度表示同一图形的面积，列等式化简即可得到对应结论。
【解析】
1. 分解因式：
(1) $4x^2 -4x +1=(2x)^2 - 2·2x·1 +1^2$，符合完全平方差公式，因此原式=$(2x-1)^2$；
(2) $9x^2 +42x +49=(3x)^2 + 2·3x·7 +7^2$，符合完全平方和公式，因此原式=$(3x+7)^2$；
(3) $4x^2 -12xy +9y^2=(2x)^2 - 2·2x·3y +(3y)^2$，符合完全平方差公式，因此原式=$(2x-3y)^2$；
(4) 将$(x-y)$看作整体，原式=$(x-y)^2 + 2·(x-y)·3 +3^2$，符合完全平方和公式，因此原式=$(x-y+3)^2$；
(5) 先展开整理原式：$(m+1)(m-3)+4=m^2 -3m +m -3 +4=m^2 -2m +1$，再套用完全平方差公式得原式=$(m-1)^2$；
(6) $4x^4 -12x^2y^2 +9y^4=(2x^2)^2 - 2·2x^2·3y^2 +(3y^2)^2$，符合完全平方差公式，因此原式=$(2x^2-3y^2)^2$；
2. 简便计算：
先提取公因式80，得：
原式$=80×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 +1.5^2)$
括号内部分符合完全平方和公式，即$3.5^2 + 2×3.5×1.5 +1.5^2=(3.5+1.5)^2=5^2=25$
因此原式$=80×25=2000$；
3. 对等式左边配方求解：
将13拆分为$4+9$，原式整理为：
$a^2-4a+4 + b^2+6b+9=0$
即$(a-2)^2 + (b+3)^2=0$
根据平方的非负性，可得$a-2=0$，$b+3=0$，解得$a=2$，$b=-3$
因此$a+b=2+(-3)=-1$；
【拓展思考】
(1) 图2整体为边长$a+b$的大正方形，面积为$(a+b)^2$；拆分后中间小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，4个长方形总面积为$4ab$，因此总面积也可表示为$(a-b)^2+4ab$，联立得等式：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
(2) 图3整体为边长$c$的大正方形，面积为$c^2$；拆分后4个全等直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，中间小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，因此总面积也可表示为$2ab+(a-b)^2$，联立得等式：$c^2=2ab+(a-b)^2$；
(3) 化简(2)中等式：$c^2=2ab+a^2-2ab+b^2$，合并同类项后得$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
1. (1)$(2x-1)^2$ (2)$(3x+7)^2$ (3)$(2x-3y)^2$ (4)$(x-y+3)^2$ (5)$(m-1)^2$ (6)$(2x^2-3y^2)^2$
2. $2000$
3. $-1$
【拓展思考】
(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$ (2)$c^2=2ab+(a-b)^2$ (3)$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
公式法因式分解，平方的非负性，数形结合验证恒等式
【点评】
题目围绕完全平方公式设计，覆盖了公式的基础应用、变形应用以及结合数形结合思想的拓展探究，既注重基础运算能力的巩固，也渗透了“算两次”的重要数学思想，能有效提升知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
