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8. 张爷爷晚饭后外出散步，碰到老邻居，交谈了一会儿，返回途中在读报栏前看了一会儿报，如图所示的是据此情境画出的图象，请回答下面的问题：
(1)张爷爷是在什么地方碰到老邻居的？交谈了多长时间？
(2)读报栏大约离家多远？
(3)张爷爷在哪一段路程走得最快？
(4)图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？可以将哪个变量看作哪个变量的函数？
(1)张爷爷是在什么地方碰到老邻居的？交谈了多长时间？
(2)读报栏大约离家多远？
(3)张爷爷在哪一段路程走得最快？
(4)图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？可以将哪个变量看作哪个变量的函数？
答案
8.解:(1)张爷爷在距家600 m的地方碰到老邻居的,交谈了25-15=10(min)。
(2)读报栏离家300 m远。
(3)张爷爷在从读报栏回家这一段路程走得最快。
(4)图中反映了张爷爷离家的距离与离家的时间之间的关系。其中离家的时间t是自变量,离家的距离s是因变量。可以将离家的距离s看作离家的时间t的函数。
(2)读报栏离家300 m远。
(3)张爷爷在从读报栏回家这一段路程走得最快。
(4)图中反映了张爷爷离家的距离与离家的时间之间的关系。其中离家的时间t是自变量,离家的距离s是因变量。可以将离家的距离s看作离家的时间t的函数。
解析
【分析】
首先明确s-t图像的含义：横坐标t表示张爷爷离家的时间（单位：min），纵坐标s表示张爷爷离家的距离（单位：m）。解题思路如下：1. 图像中水平线段表示张爷爷处于停留状态，结合情境，第一段水平段对应和邻居交谈的时段，即可得到交谈地点和时长；2. 第二段水平段是返回途中读报的时段，对应的纵坐标值就是读报栏离家的距离；3. 速度等于路程变化量除以时间变化量，分别计算各运动段的速度，比较大小就能得到哪段走得最快；4. 图像两个坐标轴对应的量就是相关变量，其中主动变化的是自变量，随自变量变化的是因变量，若每个自变量对应唯一的因变量，那么因变量是自变量的函数。
【解析】
(1) 观察图像，第一段水平线段对应的s=600m，说明张爷爷在此处停留，也就是碰到老邻居的位置，距离家600m；停留的时间为结束时间减开始时间：$25\mathrm{min}-15\mathrm{min}=10\mathrm{min}$，即交谈了10分钟。
(2) 返回途中的水平停留段对应读报的时段，该段的s=300m，因此读报栏离家300m远。
(3) 分别计算各运动段的速度：
① 0~15min，从家走到600m处，速度$v_1=\frac{600\mathrm{m}}{15\mathrm{min}}=40\mathrm{m/min}$；
② 25~35min，从600m处返回到300m处，速度$v_2=\frac{600\mathrm{m}-300\mathrm{m}}{35\mathrm{min}-25\mathrm{min}}=30\mathrm{m/min}$；
③ 40~45min，从300m处回到家，速度$v_3=\frac{300\mathrm{m}}{45\mathrm{min}-40\mathrm{min}}=60\mathrm{m/min}$；
比较可得$v_3$最大，所以从读报栏回家这一段路程走得最快。
(4) 图像反映的是张爷爷离家的距离s和离家的时间t两个变量之间的关系；其中离家的时间t是主动变化的，为自变量；离家的距离s随时间t的变化而变化，为因变量；对于每一个确定的离家时间t，都有唯一确定的离家距离s与之对应，因此可以将离家的距离s看作离家的时间t的函数。
【答案】
(1)张爷爷在距家600 m的地方碰到老邻居的，交谈了10 min。
(2)读报栏离家300 m远。
(3)张爷爷在从读报栏回家这一段路程走得最快。
(4)图中反映了张爷爷离家的距离与离家的时间之间的关系。其中离家的时间t是自变量，离家的距离s是因变量。可以将离家的距离s看作离家的时间t的函数。
【知识点】
s-t图像分析，变量与常量，函数的概念
【点评】
本题结合生活实际情境，考查对行程类s-t图像的信息提取能力和函数基础概念的掌握，解题的核心是理解s-t图像中水平线段代表静止、线段倾斜程度代表速度大小，同时明确自变量、因变量和函数的定义，能结合图像判断变量间的函数关系。
【难度系数】
0.8
首先明确s-t图像的含义：横坐标t表示张爷爷离家的时间（单位：min），纵坐标s表示张爷爷离家的距离（单位：m）。解题思路如下：1. 图像中水平线段表示张爷爷处于停留状态，结合情境，第一段水平段对应和邻居交谈的时段，即可得到交谈地点和时长；2. 第二段水平段是返回途中读报的时段，对应的纵坐标值就是读报栏离家的距离；3. 速度等于路程变化量除以时间变化量，分别计算各运动段的速度，比较大小就能得到哪段走得最快；4. 图像两个坐标轴对应的量就是相关变量，其中主动变化的是自变量，随自变量变化的是因变量，若每个自变量对应唯一的因变量，那么因变量是自变量的函数。
【解析】
(1) 观察图像，第一段水平线段对应的s=600m，说明张爷爷在此处停留，也就是碰到老邻居的位置，距离家600m；停留的时间为结束时间减开始时间：$25\mathrm{min}-15\mathrm{min}=10\mathrm{min}$，即交谈了10分钟。
(2) 返回途中的水平停留段对应读报的时段，该段的s=300m，因此读报栏离家300m远。
(3) 分别计算各运动段的速度：
① 0~15min，从家走到600m处，速度$v_1=\frac{600\mathrm{m}}{15\mathrm{min}}=40\mathrm{m/min}$；
② 25~35min，从600m处返回到300m处，速度$v_2=\frac{600\mathrm{m}-300\mathrm{m}}{35\mathrm{min}-25\mathrm{min}}=30\mathrm{m/min}$；
③ 40~45min，从300m处回到家，速度$v_3=\frac{300\mathrm{m}}{45\mathrm{min}-40\mathrm{min}}=60\mathrm{m/min}$；
比较可得$v_3$最大，所以从读报栏回家这一段路程走得最快。
(4) 图像反映的是张爷爷离家的距离s和离家的时间t两个变量之间的关系；其中离家的时间t是主动变化的，为自变量；离家的距离s随时间t的变化而变化，为因变量；对于每一个确定的离家时间t，都有唯一确定的离家距离s与之对应，因此可以将离家的距离s看作离家的时间t的函数。
【答案】
(1)张爷爷在距家600 m的地方碰到老邻居的，交谈了10 min。
(2)读报栏离家300 m远。
(3)张爷爷在从读报栏回家这一段路程走得最快。
(4)图中反映了张爷爷离家的距离与离家的时间之间的关系。其中离家的时间t是自变量，离家的距离s是因变量。可以将离家的距离s看作离家的时间t的函数。
【知识点】
s-t图像分析，变量与常量，函数的概念
【点评】
本题结合生活实际情境，考查对行程类s-t图像的信息提取能力和函数基础概念的掌握，解题的核心是理解s-t图像中水平线段代表静止、线段倾斜程度代表速度大小，同时明确自变量、因变量和函数的定义，能结合图像判断变量间的函数关系。
【难度系数】
0.8
9. 下表列出了一项试验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度$b$与下落高度$d$的关系，能反映这种关系的式子是(
A.$b=d^2$
B.$b=2d$
C.$b=\frac{d}{2}$
D.$b=d-25$
C
)。A.$b=d^2$
B.$b=2d$
C.$b=\frac{d}{2}$
D.$b=d-25$
答案
9.C
解析
【分析】
要判断弹跳高度b和下落高度d的关系，可采用代入验证法：将表格中每组对应的d、b数值，分别代入四个选项的式子中，只要有一组数据不满足该式子即可排除该选项，所有组数据都满足的式子就是正确答案。
【解析】
先列出表格中d与b的对应值：当d=50时b=25；d=80时b=40；d=100时b=50；d=150时b=75。
逐项验证：
选项A：$b=d^2$，代入d=50，得$d^2=2500≠25$，不符合，排除A；
选项B：$b=2d$，代入d=50，得$2d=100≠25$，不符合，排除B；
选项C：$b=\frac{d}{2}$，分别代入四组数据：$\frac{50}{2}=25$，$\frac{80}{2}=40$，$\frac{100}{2}=50$，$\frac{150}{2}=75$，所有组数据均满足，符合要求；
选项D：$b=d-25$，代入d=80，得$80-25=55≠40$，不符合，排除D。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
函数关系式判断，代入验证法，变量对应关系
【点评】
本题是基础的函数关系判断题，通过代入排除法可以快速得出答案，需要掌握这种根据数据验证函数表达式的方法。
【难度系数】
0.9
要判断弹跳高度b和下落高度d的关系，可采用代入验证法：将表格中每组对应的d、b数值，分别代入四个选项的式子中，只要有一组数据不满足该式子即可排除该选项，所有组数据都满足的式子就是正确答案。
【解析】
先列出表格中d与b的对应值：当d=50时b=25；d=80时b=40；d=100时b=50；d=150时b=75。
逐项验证：
选项A：$b=d^2$，代入d=50，得$d^2=2500≠25$，不符合，排除A；
选项B：$b=2d$，代入d=50，得$2d=100≠25$，不符合，排除B；
选项C：$b=\frac{d}{2}$，分别代入四组数据：$\frac{50}{2}=25$，$\frac{80}{2}=40$，$\frac{100}{2}=50$，$\frac{150}{2}=75$，所有组数据均满足，符合要求；
选项D：$b=d-25$，代入d=80，得$80-25=55≠40$，不符合，排除D。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
函数关系式判断，代入验证法，变量对应关系
【点评】
本题是基础的函数关系判断题，通过代入排除法可以快速得出答案，需要掌握这种根据数据验证函数表达式的方法。
【难度系数】
0.9
10. 给出下列关于变量$x,y$的关系式，其中$y$是$x$的函数的是(
①$3x-2y=5$；②$y=|x|$；③$2x-y^2=10$。
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
B
)。①$3x-2y=5$；②$y=|x|$；③$2x-y^2=10$。
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
答案
10.B
解析
【分析】
要判断y是否是x的函数，需依据函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，满足该条件则y是x的函数。我们只需逐个分析3个关系式是否符合这个判定标准即可。
【解析】
根据函数的判定规则逐一分析：
1. 分析①$3x-2y=5$：
将式子变形为$y=\frac{3x-5}{2}$，对任意一个确定的x值，代入后都能得到唯一的y值，符合函数定义，故y是x的函数。
2. 分析②$y=|x|$：
对任意一个确定的x值，x的绝对值是唯一确定的，即y有唯一值对应，符合函数定义，故y是x的函数。
3. 分析③$2x-y^2=10$：
将式子变形为$y^2=2x-10$，例如当$x=7$时，$y^2=4$，此时y可以取2或-2两个值，即一个x值对应了两个y值，不符合“y有唯一确定值对应”的要求，故y不是x的函数。
综上，①②符合要求，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
函数的定义；函数的判定
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题的关键是牢牢抓住函数定义中“唯一对应”的核心要求，注意只要出现一个x值对应多个y值的情况，就不符合函数的定义。
【难度系数】
0.8
要判断y是否是x的函数，需依据函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，满足该条件则y是x的函数。我们只需逐个分析3个关系式是否符合这个判定标准即可。
【解析】
根据函数的判定规则逐一分析：
1. 分析①$3x-2y=5$：
将式子变形为$y=\frac{3x-5}{2}$，对任意一个确定的x值，代入后都能得到唯一的y值，符合函数定义，故y是x的函数。
2. 分析②$y=|x|$：
对任意一个确定的x值，x的绝对值是唯一确定的，即y有唯一值对应，符合函数定义，故y是x的函数。
3. 分析③$2x-y^2=10$：
将式子变形为$y^2=2x-10$，例如当$x=7$时，$y^2=4$，此时y可以取2或-2两个值，即一个x值对应了两个y值，不符合“y有唯一确定值对应”的要求，故y不是x的函数。
综上，①②符合要求，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
函数的定义；函数的判定
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题的关键是牢牢抓住函数定义中“唯一对应”的核心要求，注意只要出现一个x值对应多个y值的情况，就不符合函数的定义。
【难度系数】
0.8
11. 根据如图所示的计算程序，若输入$x=-1$，则输出的$y=$
2
。答案
11.2
解析
【分析】
解题时首先判断输入的x值的正负属性，再根据程序框图的分支规则选择对应的函数关系式，最后将x的值代入选中的关系式计算，就能得到输出的y值。本题输入x=-1，先判定-1为负数，因此选择y=x²+1这个关系式代入计算即可。
【解析】
解：已知输入的x=-1，
∵-1是负数，
∴根据计算程序的规则，选择关系式$y=x^2+1$进行计算，
将$x=-1$代入关系式得：
$y=(-1)^2+1=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
分段函数求值；代数式求值
【点评】
本题考查根据分段计算规则求值，解题核心是先准确判断输入值所属的范围，选对对应的计算式再代入计算，计算时注意负数的平方运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先判断输入的x值的正负属性，再根据程序框图的分支规则选择对应的函数关系式，最后将x的值代入选中的关系式计算，就能得到输出的y值。本题输入x=-1，先判定-1为负数，因此选择y=x²+1这个关系式代入计算即可。
【解析】
解：已知输入的x=-1，
∵-1是负数，
∴根据计算程序的规则，选择关系式$y=x^2+1$进行计算，
将$x=-1$代入关系式得：
$y=(-1)^2+1=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
分段函数求值；代数式求值
【点评】
本题考查根据分段计算规则求值，解题核心是先准确判断输入值所属的范围，选对对应的计算式再代入计算，计算时注意负数的平方运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.9
12. 如图,在边长为20 cm的正方形四个角上,分别剪去大小相等的等腰直角三角形,当三角形的直角边长由小变大时,阴影部分的面积也随之发生变化,它们的变化情况如下表:
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)请将上述表格补充完整。
(3)当等腰直角三角形的直角边长由1 cm增加到5 cm时,阴影部分的面积是怎样变化的?
(4)设等腰直角三角形的直角边长为x (cm),图中阴影部分的面积为y(cm²),写出y与x之间的关系式,并写出自变量的取值范围。
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)请将上述表格补充完整。
(3)当等腰直角三角形的直角边长由1 cm增加到5 cm时,阴影部分的面积是怎样变化的?
(4)设等腰直角三角形的直角边长为x (cm),图中阴影部分的面积为y(cm²),写出y与x之间的关系式,并写出自变量的取值范围。
答案
12.解:(1)在这个变化过程中,自变量是三角形的直角边长,因变量是阴影部分的面积。
(2)当等腰直角三角形的直角边长为6 cm时,阴影部分的面积为$20^2-4× \frac{1}{2}× 6^2=328(\mathrm{cm}^2)$;当等腰直角三角形的直角边长为9 cm时,阴影部分的面积为$20^2-4× \frac{1}{2}× 9^2=238(\mathrm{cm})$。表格补充如下：
|三角形的直角边长/cm|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|阴影部分的面积/$\mathrm{cm}^2$|398|392|382|368|350|328|302|272|238|200|
(3)当等腰直角三角形的直角边长由1 cm增加到5 cm时,阴影部分的面积由$398\ \mathrm{cm}^2$减小到$350\ \mathrm{cm}^2$。
(4)$y=20^2-4× \frac{1}{2}× x^2=400-2x^2$,其中$0＜ x≤ 10$。
(2)当等腰直角三角形的直角边长为6 cm时,阴影部分的面积为$20^2-4× \frac{1}{2}× 6^2=328(\mathrm{cm}^2)$;当等腰直角三角形的直角边长为9 cm时,阴影部分的面积为$20^2-4× \frac{1}{2}× 9^2=238(\mathrm{cm})$。表格补充如下：
|三角形的直角边长/cm|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|阴影部分的面积/$\mathrm{cm}^2$|398|392|382|368|350|328|302|272|238|200|
(3)当等腰直角三角形的直角边长由1 cm增加到5 cm时,阴影部分的面积由$398\ \mathrm{cm}^2$减小到$350\ \mathrm{cm}^2$。
(4)$y=20^2-4× \frac{1}{2}× x^2=400-2x^2$,其中$0＜ x≤ 10$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据自变量、因变量的定义，主动变化的量为自变量，随自变量变化而变化的量为因变量，本题中等腰直角三角形的直角边长主动变化，阴影部分面积随之改变，据此可判断两个变量。
2. 第(2)问：阴影部分面积=正方形总面积-4个等腰直角三角形的总面积，已知正方形边长为20cm，等腰直角三角形直角边长为x时，单个三角形面积为$\frac{1}{2}x^2$，代入x=6、x=9分别计算即可补全表格。
3. 第(3)问：查找表格中直角边长为1cm和5cm对应的阴影面积，即可得出面积的变化情况。
4. 第(4)问：将阴影面积设为y，直角边长设为x，根据第(2)问的面积计算逻辑推导y与x的关系式；再结合实际意义，直角边长必须大于0，且相对的两个三角形直角边之和不超过正方形边长20cm，得出x的取值范围。
【解析】
(1) 根据自变量和因变量的定义，主动变化的量是等腰直角三角形的直角边长，随之变化的是阴影部分的面积，因此自变量是等腰直角三角形的直角边长，因变量是阴影部分的面积。
(2) 正方形总面积为$20^2=400\ \mathrm{cm}^2$，4个等腰直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$，因此阴影面积为$400-2x^2$：
当x=6cm时，阴影面积=$400-2×6^2=400-72=328\ \mathrm{cm}^2$；
当x=9cm时，阴影面积=$400-2×9^2=400-162=238\ \mathrm{cm}^2$；
补全表格如下：
|三角形的直角边长/cm|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|阴影部分的面积/$\mathrm{cm}^2$|398|392|382|368|350|328|302|272|238|200|
(3) 查表格可知，当直角边长为1cm时，阴影面积为398$\mathrm{cm}^2$，当直角边长为5cm时，阴影面积为350$\mathrm{cm}^2$，因此阴影部分的面积由398$\mathrm{cm}^2$减小到350$\mathrm{cm}^2$。
(4) 根据面积计算逻辑：$y=20^2-4×\frac{1}{2}x^2=400-2x^2$；
结合实际意义，直角边长需满足x＞0，且2x≤20即x≤10，因此自变量的取值范围是$0＜x≤10$。
【答案】
(1) 自变量是等腰直角三角形的直角边长，因变量是阴影部分的面积。
(2) 补全的表格如上（x=6时阴影面积为$\boldsymbol{328\ \mathrm{cm}^2}$，x=9时阴影面积为$\boldsymbol{238\ \mathrm{cm}^2}$）
(3) 阴影部分的面积由$398\ \mathrm{cm}^2$减小到$350\ \mathrm{cm}^2$。
(4) $\boldsymbol{y=400-2x^2}$，自变量取值范围为$\boldsymbol{0＜x≤10}$。
【知识点】
自变量与因变量、函数关系式确定、图形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查函数的基础内容，需要掌握常见图形的面积计算方法，能准确区分变量类型，结合实际意义确定函数关系式及自变量的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问：根据自变量、因变量的定义，主动变化的量为自变量，随自变量变化而变化的量为因变量，本题中等腰直角三角形的直角边长主动变化，阴影部分面积随之改变，据此可判断两个变量。
2. 第(2)问：阴影部分面积=正方形总面积-4个等腰直角三角形的总面积，已知正方形边长为20cm，等腰直角三角形直角边长为x时，单个三角形面积为$\frac{1}{2}x^2$，代入x=6、x=9分别计算即可补全表格。
3. 第(3)问：查找表格中直角边长为1cm和5cm对应的阴影面积，即可得出面积的变化情况。
4. 第(4)问：将阴影面积设为y，直角边长设为x，根据第(2)问的面积计算逻辑推导y与x的关系式；再结合实际意义，直角边长必须大于0，且相对的两个三角形直角边之和不超过正方形边长20cm，得出x的取值范围。
【解析】
(1) 根据自变量和因变量的定义，主动变化的量是等腰直角三角形的直角边长，随之变化的是阴影部分的面积，因此自变量是等腰直角三角形的直角边长，因变量是阴影部分的面积。
(2) 正方形总面积为$20^2=400\ \mathrm{cm}^2$，4个等腰直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$，因此阴影面积为$400-2x^2$：
当x=6cm时，阴影面积=$400-2×6^2=400-72=328\ \mathrm{cm}^2$；
当x=9cm时，阴影面积=$400-2×9^2=400-162=238\ \mathrm{cm}^2$；
补全表格如下：
|三角形的直角边长/cm|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|阴影部分的面积/$\mathrm{cm}^2$|398|392|382|368|350|328|302|272|238|200|
(3) 查表格可知，当直角边长为1cm时，阴影面积为398$\mathrm{cm}^2$，当直角边长为5cm时，阴影面积为350$\mathrm{cm}^2$，因此阴影部分的面积由398$\mathrm{cm}^2$减小到350$\mathrm{cm}^2$。
(4) 根据面积计算逻辑：$y=20^2-4×\frac{1}{2}x^2=400-2x^2$；
结合实际意义，直角边长需满足x＞0，且2x≤20即x≤10，因此自变量的取值范围是$0＜x≤10$。
【答案】
(1) 自变量是等腰直角三角形的直角边长，因变量是阴影部分的面积。
(2) 补全的表格如上（x=6时阴影面积为$\boldsymbol{328\ \mathrm{cm}^2}$，x=9时阴影面积为$\boldsymbol{238\ \mathrm{cm}^2}$）
(3) 阴影部分的面积由$398\ \mathrm{cm}^2$减小到$350\ \mathrm{cm}^2$。
(4) $\boldsymbol{y=400-2x^2}$，自变量取值范围为$\boldsymbol{0＜x≤10}$。
【知识点】
自变量与因变量、函数关系式确定、图形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查函数的基础内容，需要掌握常见图形的面积计算方法，能准确区分变量类型，结合实际意义确定函数关系式及自变量的取值范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
