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5 平方根与立方根(第2课时)
课堂精要·梳理内容
1. 平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即$x^2=a$,那么这个数
2. 求一个数a的
3. 一个正数有
4. 正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根$\sqrt{a}$,另一个是$-\sqrt{a}$,它们互为
课堂精要·梳理内容
1. 平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即$x^2=a$,那么这个数
x
就叫作a
的平方根(也叫作二次方根)。2. 求一个数a的
平方根
的运算,叫作开平方,a叫作被开方数
。3. 一个正数有
两
图1个平方根;0只有一个平方根,是0本身;负数没有
平方根。4. 正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根$\sqrt{a}$,另一个是$-\sqrt{a}$,它们互为
相反数
,这两个平方根合起来可以记作$\pm\sqrt{a}$
,读作正、负根号a
。答案
1.x a
2.平方根 被开方数
3.两 没有
4.相反数 $\pm\sqrt{a}$ 正、负根号a
2.平方根 被开方数
3.两 没有
4.相反数 $\pm\sqrt{a}$ 正、负根号a
解析
【分析】
本题考查平方根相关的基础概念与性质，解题时只需回忆课本中对应知识点逐一匹配填空即可：第1题对应平方根的定义，第2题对应开平方运算的定义，第3题对应平方根的性质，第4题对应正数平方根的关系与表示方法，全部为识记类内容，直接对照概念填写即可。
【解析】
1. 根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个数x就叫作a的平方根，因此依次填x、a；
2. 根据开平方的定义：求一个数a的平方根的运算叫作开平方，其中a叫作被开方数，因此依次填平方根、被开方数；
3. 根据平方根的性质：一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0本身，负数没有平方根，因此依次填两、没有；
4. 正数a的两个平方根分别是$\sqrt{a}$和$-\sqrt{a}$，二者互为相反数，合起来记作$\pm\sqrt{a}$，读作正、负根号a，因此依次填相反数、$\pm\sqrt{a}$、正、负根号a。
【答案】
1.x；a
2.平方根；被开方数
3.两；没有
4.相反数；$\pm\sqrt{a}$；正、负根号a
【知识点】
平方根的定义；开平方的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，核心考查平方根相关基础概念的掌握情况，熟练掌握课本基础定义即可快速作答，是后续学习根式运算、实数相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查平方根相关的基础概念与性质，解题时只需回忆课本中对应知识点逐一匹配填空即可：第1题对应平方根的定义，第2题对应开平方运算的定义，第3题对应平方根的性质，第4题对应正数平方根的关系与表示方法，全部为识记类内容，直接对照概念填写即可。
【解析】
1. 根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个数x就叫作a的平方根，因此依次填x、a；
2. 根据开平方的定义：求一个数a的平方根的运算叫作开平方，其中a叫作被开方数，因此依次填平方根、被开方数；
3. 根据平方根的性质：一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0本身，负数没有平方根，因此依次填两、没有；
4. 正数a的两个平方根分别是$\sqrt{a}$和$-\sqrt{a}$，二者互为相反数，合起来记作$\pm\sqrt{a}$，读作正、负根号a，因此依次填相反数、$\pm\sqrt{a}$、正、负根号a。
【答案】
1.x；a
2.平方根；被开方数
3.两；没有
4.相反数；$\pm\sqrt{a}$；正、负根号a
【知识点】
平方根的定义；开平方的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，核心考查平方根相关基础概念的掌握情况，熟练掌握课本基础定义即可快速作答，是后续学习根式运算、实数相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
1. 4的平方根是(
A.2
B.－2
C.±2
D.16
C
)。A.2
B.－2
C.±2
D.16
答案
C
解析
【分析】
本题考查平方根的相关概念，解题思路如下：第一步先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根；第二步明确正数平方根的性质：正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数；第三步代入验证，找到平方后结果等于4的数，即可得出4的平方根，对应正确选项。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。
因为$(+2)^2=4$，$(-2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；正数平方根的性质
【点评】
本题属于平方根的基础考查题，解题时要注意区分平方根和算术平方根，不要遗漏正数的负平方根。
【难度系数】
0.8
本题考查平方根的相关概念，解题思路如下：第一步先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根；第二步明确正数平方根的性质：正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数；第三步代入验证，找到平方后结果等于4的数，即可得出4的平方根，对应正确选项。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。
因为$(+2)^2=4$，$(-2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平方根的定义；正数平方根的性质
【点评】
本题属于平方根的基础考查题，解题时要注意区分平方根和算术平方根，不要遗漏正数的负平方根。
【难度系数】
0.8
2. 已知a的一个平方根是4，则a的另一个平方根是（
A.－2
B.2
C.±2
D.－4
D
）。A.－2
B.2
C.±2
D.－4
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。已知a的一个平方根是4，要求另一个平方根，只需要求出4的相反数即可。
【解析】
解：根据平方根的性质可知，正数的两个平方根互为相反数。
∵a的一个平方根是4，
∴a的另一个平方根是4的相反数，即-4。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质、相反数的概念
【点评】
本题考查平方根的基础性质，牢记正数的两个平方根互为相反数是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。已知a的一个平方根是4，要求另一个平方根，只需要求出4的相反数即可。
【解析】
解：根据平方根的性质可知，正数的两个平方根互为相反数。
∵a的一个平方根是4，
∴a的另一个平方根是4的相反数，即-4。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质、相反数的概念
【点评】
本题考查平方根的基础性质，牢记正数的两个平方根互为相反数是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 如果一个数的平方根是它本身，那么这个数是（
A.0
B.1
C.$\pm1$
D.$0,1$
A
）。A.0
B.1
C.$\pm1$
D.$0,1$
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题我们首先要明确核心考点是平方根的性质，解题思路如下：第一步先回忆平方根的相关结论：如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根；其中正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。第二步我们逐一验证选项里的数是否满足“平方根是它本身”的条件，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
解：根据平方根的性质逐一判断：
1. 正数有两个互为相反数的平方根，因此正数的平方根不可能等于自身，比如1的平方根是$\pm1$，不等于1本身，因此选项B、C、D均不符合要求；
2. 0的平方根是0，恰好等于它本身，符合题干要求；
3. 负数没有平方根，因此$-1$不符合要求。
综上，满足条件的数只有0。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质、平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，误把1的算术平方根是1当成1的平方根是本身，做题时要注意区分两个概念，牢记不同类型数的平方根特点。
【难度系数】
0.8
拿到这道题我们首先要明确核心考点是平方根的性质，解题思路如下：第一步先回忆平方根的相关结论：如果$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根；其中正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。第二步我们逐一验证选项里的数是否满足“平方根是它本身”的条件，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
解：根据平方根的性质逐一判断：
1. 正数有两个互为相反数的平方根，因此正数的平方根不可能等于自身，比如1的平方根是$\pm1$，不等于1本身，因此选项B、C、D均不符合要求；
2. 0的平方根是0，恰好等于它本身，符合题干要求；
3. 负数没有平方根，因此$-1$不符合要求。
综上，满足条件的数只有0。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质、平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念，误把1的算术平方根是1当成1的平方根是本身，做题时要注意区分两个概念，牢记不同类型数的平方根特点。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式，正确的是（ ）。
A.$\sqrt{16}=\pm4$
B.$\sqrt{16}=-4$
C.$\pm\sqrt{16}=\pm4$
D.$\sqrt{-16}=-4$
A.$\sqrt{16}=\pm4$
B.$\sqrt{16}=-4$
C.$\pm\sqrt{16}=\pm4$
D.$\sqrt{-16}=-4$
答案
C
解析
【分析】
解答本题需要先明确平方根与算术平方根的核心区别，以及二次根式有意义的条件，再逐一判断选项：①算术平方根：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数；②平方根：$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，结果为互为相反数的两个数；③被开方数必须$≥0$，否则二次根式无意义，按照这三个规则逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{16}=4$，不是$\pm4$，该选项错误；
B选项：同理，$\sqrt{16}$的结果为4，不是$-4$，该选项错误；
C选项：$\pm\sqrt{16}$表示16的平方根，16的平方根为$\pm4$，该选项正确；
D选项：被开方数$-16＜0$，负数没有平方根，因此$\sqrt{-16}$无意义，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根，平方根，被开方数非负性
【点评】
本题是平方根章节的基础易错题，核心考查平方根与算术平方根的概念区分，做题时要注意根号前是否带有正负号，同时牢记负数没有平方根，避免混淆概念失分。
【难度系数】
0.7
解答本题需要先明确平方根与算术平方根的核心区别，以及二次根式有意义的条件，再逐一判断选项：①算术平方根：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数；②平方根：$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，结果为互为相反数的两个数；③被开方数必须$≥0$，否则二次根式无意义，按照这三个规则逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{16}=4$，不是$\pm4$，该选项错误；
B选项：同理，$\sqrt{16}$的结果为4，不是$-4$，该选项错误；
C选项：$\pm\sqrt{16}$表示16的平方根，16的平方根为$\pm4$，该选项正确；
D选项：被开方数$-16＜0$，负数没有平方根，因此$\sqrt{-16}$无意义，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根，平方根，被开方数非负性
【点评】
本题是平方根章节的基础易错题，核心考查平方根与算术平方根的概念区分，做题时要注意根号前是否带有正负号，同时牢记负数没有平方根，避免混淆概念失分。
【难度系数】
0.7
5. 某个数的一个平方根是－5，则这个数是
25
。答案
25
解析
【分析】
解答本题需结合平方根的定义思考：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，平方与开平方是互逆运算。已知某数的一个平方根，要求这个原数，只需要将给出的平方根进行平方运算即可得到结果。
【解析】
设这个数为$ a $，根据平方根的定义，已知$-5$是$ a $的一个平方根，可得：
$ a = (-5)^2 = 25 $
【答案】
25
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方与开平方的互逆性
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，主要考查对平方根概念的理解和逆运算的应用，计算难度低，掌握核心概念即可快速求解，运算时注意负数平方的符号规则，避免出错。
【难度系数】
0.9
解答本题需结合平方根的定义思考：如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，平方与开平方是互逆运算。已知某数的一个平方根，要求这个原数，只需要将给出的平方根进行平方运算即可得到结果。
【解析】
设这个数为$ a $，根据平方根的定义，已知$-5$是$ a $的一个平方根，可得：
$ a = (-5)^2 = 25 $
【答案】
25
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方与开平方的互逆性
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，主要考查对平方根概念的理解和逆运算的应用，计算难度低，掌握核心概念即可快速求解，运算时注意负数平方的符号规则，避免出错。
【难度系数】
0.9
6. 若$\sqrt{x+2}=2$，则$2x+5$的平方根是
$\pm3$
。答案
$\pm3$
解析
【分析】
要计算$2x+5$的平方根，首先需要求出$x$的值。已知$\sqrt{x+2}=2$，根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，因此可以先通过等式两边平方求出$x+2$的值，进而算出$x$，再代入$2x+5$得到代数式的值，最后求该值的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：$\because \sqrt{x+2}=2$
$\therefore$ 等式两边同时平方得：$x+2=2^2=4$
解得：$x=4-2=2$
将$x=2$代入$2x+5$得：
$2x+5=2×2+5=9$
$\because$ 9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$
$\therefore 2x+5$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
算术平方根的性质；平方根的计算；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握算术平方根与平方根的概念，注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
要计算$2x+5$的平方根，首先需要求出$x$的值。已知$\sqrt{x+2}=2$，根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，因此可以先通过等式两边平方求出$x+2$的值，进而算出$x$，再代入$2x+5$得到代数式的值，最后求该值的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：$\because \sqrt{x+2}=2$
$\therefore$ 等式两边同时平方得：$x+2=2^2=4$
解得：$x=4-2=2$
将$x=2$代入$2x+5$得：
$2x+5=2×2+5=9$
$\because$ 9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$
$\therefore 2x+5$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
算术平方根的性质；平方根的计算；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握算术平方根与平方根的概念，注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
7. 已知一个正数的两个平方根分别是$3x-2$和$x-6$，则这个数是________。
答案
16
解析
【分析】
解题的核心是利用正数平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，和为0。首先根据这一性质列关于x的一元一次方程，求解得到x的值后，代入任意一个平方根，再对结果平方即可得到原正数。
【解析】
已知正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}3x-2 + x-6 &= 0 \\4x - 8 &= 0 \\4x &= 8 \\x &= 2\end{aligned}$
将$x=2$代入$3x-2$得：$3×2-2=4$，则这个正数为$4^2=16$。
（或代入$x-6$得$2-6=-4$，$(-4)^2=16$，结果相同）
【答案】
16
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查对正数平方根性质的理解和应用，只要掌握“正数两个平方根互为相反数”的规律就能顺利解题，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用正数平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，和为0。首先根据这一性质列关于x的一元一次方程，求解得到x的值后，代入任意一个平方根，再对结果平方即可得到原正数。
【解析】
已知正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}3x-2 + x-6 &= 0 \\4x - 8 &= 0 \\4x &= 8 \\x &= 2\end{aligned}$
将$x=2$代入$3x-2$得：$3×2-2=4$，则这个正数为$4^2=16$。
（或代入$x-6$得$2-6=-4$，$(-4)^2=16$，结果相同）
【答案】
16
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查对正数平方根性质的理解和应用，只要掌握“正数两个平方根互为相反数”的规律就能顺利解题，计算难度低。
【难度系数】
0.8
8. 求下列各数的平方根：
(1) $81$；
(2) $1.96$；
(3) $30$；
(4) $\dfrac{49}{225}$；
(5) $(-1\dfrac{3}{7})^2$；
(6) $\sqrt{15^2 + 8^2}$。
(1) $81$；
(2) $1.96$；
(3) $30$；
(4) $\dfrac{49}{225}$；
(5) $(-1\dfrac{3}{7})^2$；
(6) $\sqrt{15^2 + 8^2}$。
答案
(1)$\pm9$ (2)$\pm1.4$ (3)$\pm\sqrt{30}$ (4)$\pm\dfrac{7}{15}$
(5)$\pm\dfrac{10}{7}$ (6)$\pm\sqrt{17}$
(5)$\pm\dfrac{10}{7}$ (6)$\pm\sqrt{17}$
解析
【分析】
解题依据是平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题步骤如下：第一步先将每个待求平方根的数化简为非负的最简形式；第二步找到平方后等于该数的数，若为完全平方数直接写出正负两个根，若不是完全平方数则保留根号形式；第三步注意不要遗漏负的平方根，避免运算顺序错误。
【解析】
(1) 因为$(\pm9)^2=81$，所以81的平方根为$\pm9$；
(2) 因为$(\pm1.4)^2=1.96$，所以1.96的平方根为$\pm1.4$；
(3) 30不是完全平方数，因此30的平方根为$\pm\sqrt{30}$；
(4) 因为$(\pm\frac{7}{15})^2=\frac{49}{225}$，所以$\frac{49}{225}$的平方根为$\pm\frac{7}{15}$；
(5) 先化简被求数：$(-1\frac{3}{7})^2=(-\frac{10}{7})^2=\frac{100}{49}$，因为$(\pm\frac{10}{7})^2=\frac{100}{49}$，所以$(-1\frac{3}{7})^2$的平方根为$\pm\frac{10}{7}$；
(6) 先化简被求数：$\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$，17不是完全平方数，因此$\sqrt{15^2+8^2}$的平方根为$\pm\sqrt{17}$。
【答案】
(1)$\pm9$ (2)$\pm1.4$ (3)$\pm\sqrt{30}$ (4)$\pm\dfrac{7}{15}$
(5)$\pm\dfrac{10}{7}$ (6)$\pm\sqrt{17}$
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，二次根式化简
【点评】
本题属于平方根计算的基础题型，解题时需注意：一是正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负根；二是遇到含有多层运算的数，要先按照运算顺序化简该数，再求其平方根，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.7
解题依据是平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题步骤如下：第一步先将每个待求平方根的数化简为非负的最简形式；第二步找到平方后等于该数的数，若为完全平方数直接写出正负两个根，若不是完全平方数则保留根号形式；第三步注意不要遗漏负的平方根，避免运算顺序错误。
【解析】
(1) 因为$(\pm9)^2=81$，所以81的平方根为$\pm9$；
(2) 因为$(\pm1.4)^2=1.96$，所以1.96的平方根为$\pm1.4$；
(3) 30不是完全平方数，因此30的平方根为$\pm\sqrt{30}$；
(4) 因为$(\pm\frac{7}{15})^2=\frac{49}{225}$，所以$\frac{49}{225}$的平方根为$\pm\frac{7}{15}$；
(5) 先化简被求数：$(-1\frac{3}{7})^2=(-\frac{10}{7})^2=\frac{100}{49}$，因为$(\pm\frac{10}{7})^2=\frac{100}{49}$，所以$(-1\frac{3}{7})^2$的平方根为$\pm\frac{10}{7}$；
(6) 先化简被求数：$\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$，17不是完全平方数，因此$\sqrt{15^2+8^2}$的平方根为$\pm\sqrt{17}$。
【答案】
(1)$\pm9$ (2)$\pm1.4$ (3)$\pm\sqrt{30}$ (4)$\pm\dfrac{7}{15}$
(5)$\pm\dfrac{10}{7}$ (6)$\pm\sqrt{17}$
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，二次根式化简
【点评】
本题属于平方根计算的基础题型，解题时需注意：一是正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负根；二是遇到含有多层运算的数，要先按照运算顺序化简该数，再求其平方根，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.7
9. $\sqrt{81}$的平方根是（
A.-3
B.$\pm 3$
C.$\pm 9$
D.-9
B
）。A.-3
B.$\pm 3$
C.$\pm 9$
D.-9
答案
B
解析
【分析】
这道题考查算术平方根和平方根的概念，解题需分两步思考：首先不能直接将$\sqrt{81}$等同于81求平方根，第一步要先计算出$\sqrt{81}$的具体数值，第二步再对计算得到的结果求平方根；同时要牢记正数的平方根有两个，且互为相反数，避免漏解或者错把运算对象当成81计算。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{81}$的值，$\sqrt{81}$表示81的算术平方根（即非负数的正的平方根），因此$\sqrt{81}=9$。
第二步：求9的平方根，根据平方根的定义：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 平方根定义
【点评】
本题是易错题，常见错误是直接求81的平方根错选C，或者忽略正数有两个平方根错选A，解题时需先化简带根号的数，再严格按照平方根的概念求解，重点考查对两个易混淆概念的区分能力。
【难度系数】
0.6
这道题考查算术平方根和平方根的概念，解题需分两步思考：首先不能直接将$\sqrt{81}$等同于81求平方根，第一步要先计算出$\sqrt{81}$的具体数值，第二步再对计算得到的结果求平方根；同时要牢记正数的平方根有两个，且互为相反数，避免漏解或者错把运算对象当成81计算。
【解析】
第一步：计算$\sqrt{81}$的值，$\sqrt{81}$表示81的算术平方根（即非负数的正的平方根），因此$\sqrt{81}=9$。
第二步：求9的平方根，根据平方根的定义：若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，即$\sqrt{81}$的平方根是$\pm3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根计算
2. 平方根定义
【点评】
本题是易错题，常见错误是直接求81的平方根错选C，或者忽略正数有两个平方根错选A，解题时需先化简带根号的数，再严格按照平方根的概念求解，重点考查对两个易混淆概念的区分能力。
【难度系数】
0.6
10. 已知$\sqrt{2a-4}$有意义，则$a$能取的最小整数为(
A.0
B.−1
C.2
D.3
C
)。A.0
B.−1
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确解题的核心依据：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。我们先根据这个条件列出关于a的不等式，再解不等式得到a的取值范围，最后在取值范围内找出最小的整数，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵二次根式$\sqrt{2a-4}$有意义
∴被开方数必须是非负数，即$2a - 4 ≥ 0$
解这个不等式：
移项得：$2a ≥ 4$
两边同时除以2得：$a ≥ 2$
因此a的取值范围是大于等于2，其中最小的整数为2。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；整数解确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的相关性质，解题关键是牢记二次根式的被开方数是非负数，结合不等式解法就能快速得出结果，是二次根式章节的常规考点。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确解题的核心依据：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。我们先根据这个条件列出关于a的不等式，再解不等式得到a的取值范围，最后在取值范围内找出最小的整数，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵二次根式$\sqrt{2a-4}$有意义
∴被开方数必须是非负数，即$2a - 4 ≥ 0$
解这个不等式：
移项得：$2a ≥ 4$
两边同时除以2得：$a ≥ 2$
因此a的取值范围是大于等于2，其中最小的整数为2。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；整数解确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的相关性质，解题关键是牢记二次根式的被开方数是非负数，结合不等式解法就能快速得出结果，是二次根式章节的常规考点。
【难度系数】
0.85
11. 若$m,n$满足$(m-3)^2 + \sqrt{n-6}=0$，则$\sqrt{m+n}$的平方根是
$\pm\sqrt{3}$
。答案
$\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构：等式左侧是平方项与算术平方根的和，根据八年级所学知识，平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，只能是这两个非负数各自等于0，据此可以列方程求出m、n的值；再代入计算√(m+n)的结果，最后求该结果的平方根即可，注意要明确最后所求的是√(m+n)的平方根，而非m+n的平方根，避免混淆概念出错。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方为非负数，算术平方根也为非负数
∴ $(m-3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{n-6} ≥ 0$
又
∵ $(m-3)^2 + \sqrt{n-6}=0$
∴ $\begin{cases}m-3=0 \\ n-6=0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=3 \\ n=6 \end{cases}$
将m、n代入得：$m+n=3+6=9$
∴ $\sqrt{m+n}=\sqrt{9}=3$
根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，即$\sqrt{m+n}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；算术平方根；平方根的定义
【点评】
本题核心是对非负性的应用和平方根概念的考查，解题关键是掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论，做题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，避免漏写符号或错求对象。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式的结构：等式左侧是平方项与算术平方根的和，根据八年级所学知识，平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，只能是这两个非负数各自等于0，据此可以列方程求出m、n的值；再代入计算√(m+n)的结果，最后求该结果的平方根即可，注意要明确最后所求的是√(m+n)的平方根，而非m+n的平方根，避免混淆概念出错。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方为非负数，算术平方根也为非负数
∴ $(m-3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{n-6} ≥ 0$
又
∵ $(m-3)^2 + \sqrt{n-6}=0$
∴ $\begin{cases}m-3=0 \\ n-6=0 \end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=3 \\ n=6 \end{cases}$
将m、n代入得：$m+n=3+6=9$
∴ $\sqrt{m+n}=\sqrt{9}=3$
根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，即$\sqrt{m+n}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；算术平方根；平方根的定义
【点评】
本题核心是对非负性的应用和平方根概念的考查，解题关键是掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的结论，做题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，避免漏写符号或错求对象。
【难度系数】
0.7
12. 观察下列各式：
$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{4×2}{5}}=2\sqrt{\frac{2}{5}}$；
$\sqrt{3-\frac{3}{10}}=\sqrt{\frac{27}{10}}=\sqrt{\frac{9×3}{10}}=3\sqrt{\frac{3}{10}}$；…
(1)按照上式所含的规律，根据你的理解填写：$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$，即$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)猜想：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}=\_\_\_\_\_\_$；
(3)请用含有整数$n(n≥2)$的式子写出你发现的规律，并说明理由。
$\sqrt{2-\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{4×2}{5}}=2\sqrt{\frac{2}{5}}$；
$\sqrt{3-\frac{3}{10}}=\sqrt{\frac{27}{10}}=\sqrt{\frac{9×3}{10}}=3\sqrt{\frac{3}{10}}$；…
(1)按照上式所含的规律，根据你的理解填写：$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$，即$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\_\_\_\_\_\_$；
(2)猜想：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}=\_\_\_\_\_\_$；
(3)请用含有整数$n(n≥2)$的式子写出你发现的规律，并说明理由。
答案
解:(1)$\sqrt{\frac{64}{17}}$ $\sqrt{\frac{16×4}{17}}$ $4\sqrt{\frac{4}{17}}$ $4\sqrt{\frac{4}{17}}$
(2)$5\sqrt{\frac{5}{26}}$
(3)$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$。
理由如下:$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n(n^2+1)-n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^2· n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$。
(2)$5\sqrt{\frac{5}{26}}$
(3)$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$。
理由如下:$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n(n^2+1)-n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^2· n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$。
解析
【分析】
这是一道结合二次根式化简的数字规律探究题，解题思路如下：1. 先观察给出的两个示例，找到根号内整数、分数分子、分数分母之间的关系：示例中根号内的整数为k时，分数的分子等于k，分母等于$k^2+1$；2. 计算时先对根号内的式子通分化简，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2·b}=a\sqrt{b}$（$a≥0$）把平方项开出来；3. 按照示例的推导步骤完成(1)(2)问，再把特殊规律推广到一般的$n$（$n≥2$）的情况，最后通过代数运算验证规律是否成立。
【解析】
(1) 参照示例的计算步骤，先对根号内通分计算：
$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\sqrt{\frac{4×17 - 4}{17}}=\sqrt{\frac{64}{17}}$，
再把分子拆为平方数乘4：$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$，
利用二次根式性质开方得：$4\sqrt{\frac{4}{17}}$，
因此$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=4\sqrt{\frac{4}{17}}$。
(2) 根据前面总结的规律，根号内整数为5时，直接得结果为$5\sqrt{\frac{5}{26}}$。
(3) 归纳得到一般规律：$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$（$n≥2$，n为整数）。
理由验证如下：
先对根号内的式子通分化简：
$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n(n^2+1)-n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^3 +n -n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2+1}}$，
再将分子拆分为$n^2·n$，利用二次根式性质开方：
$\sqrt{\frac{n^2·n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$，左边等于右边，规律成立。
【答案】
(1) $\sqrt{\frac{64}{17}}$；$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$；$4\sqrt{\frac{4}{17}}$；$4\sqrt{\frac{4}{17}}$
(2) $5\sqrt{\frac{5}{26}}$
(3) 规律：$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$（$n≥2$，n为整数），理由见解析。
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式运算
【点评】
本题是规律探究与二次根式结合的典型基础题，重点考查观察归纳能力和二次根式的基本运算能力，解题核心是从特殊示例中提炼出数字的对应关系，再推广到一般情况，运算过程中要注意二次根式开方时非负性的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道结合二次根式化简的数字规律探究题，解题思路如下：1. 先观察给出的两个示例，找到根号内整数、分数分子、分数分母之间的关系：示例中根号内的整数为k时，分数的分子等于k，分母等于$k^2+1$；2. 计算时先对根号内的式子通分化简，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2·b}=a\sqrt{b}$（$a≥0$）把平方项开出来；3. 按照示例的推导步骤完成(1)(2)问，再把特殊规律推广到一般的$n$（$n≥2$）的情况，最后通过代数运算验证规律是否成立。
【解析】
(1) 参照示例的计算步骤，先对根号内通分计算：
$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=\sqrt{\frac{4×17 - 4}{17}}=\sqrt{\frac{64}{17}}$，
再把分子拆为平方数乘4：$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$，
利用二次根式性质开方得：$4\sqrt{\frac{4}{17}}$，
因此$\sqrt{4-\frac{4}{17}}=4\sqrt{\frac{4}{17}}$。
(2) 根据前面总结的规律，根号内整数为5时，直接得结果为$5\sqrt{\frac{5}{26}}$。
(3) 归纳得到一般规律：$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$（$n≥2$，n为整数）。
理由验证如下：
先对根号内的式子通分化简：
$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n(n^2+1)-n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^3 +n -n}{n^2+1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2+1}}$，
再将分子拆分为$n^2·n$，利用二次根式性质开方：
$\sqrt{\frac{n^2·n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$，左边等于右边，规律成立。
【答案】
(1) $\sqrt{\frac{64}{17}}$；$\sqrt{\frac{16×4}{17}}$；$4\sqrt{\frac{4}{17}}$；$4\sqrt{\frac{4}{17}}$
(2) $5\sqrt{\frac{5}{26}}$
(3) 规律：$\sqrt{n-\frac{n}{n^2+1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2+1}}$（$n≥2$，n为整数），理由见解析。
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式运算
【点评】
本题是规律探究与二次根式结合的典型基础题，重点考查观察归纳能力和二次根式的基本运算能力，解题核心是从特殊示例中提炼出数字的对应关系，再推广到一般情况，运算过程中要注意二次根式开方时非负性的要求。
【难度系数】
0.7
