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13. 计算下列各式：
$\sqrt{(-2)^2} =$
$\sqrt{0^2} =$
$(\sqrt{25})^2 =$
$(\sqrt{\dfrac{9}{16}})^2 =$
$\sqrt{a^2} =$
$\sqrt{(-2)^2} =$
$2$
；$\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2} =$ $\dfrac{2}{3}$
；$\sqrt{0^2} =$
$0$
；$\sqrt{(-7)^2} =$ $7$
；$(\sqrt{25})^2 =$
$25$
；$(\sqrt{9})^2 =$ $9$
；$(\sqrt{\dfrac{9}{16}})^2 =$
$\dfrac{9}{16}$
；$(\sqrt{3})^2 =$ $3$
；$\sqrt{a^2} =$
$|a|$
；$(\sqrt{a})^2 =$ $a$
。答案
13.2 $\frac{2}{3}$ 0 7 25 9 $\frac{9}{16}$ 3 $|a|$ $a$
解析
【分析】
解题时需围绕算术平方根的核心性质分两类思考：1. 针对$\sqrt{x^2}$型运算，本质是求$x^2$的算术平方根，算术平方根结果恒为非负数，先计算平方部分，再求其非负的平方根即可；2. 针对$(\sqrt{x})^2$型运算，首先根号内的数需非负才有意义，在非负范围内开平方和平方互为逆运算，直接计算即可。先代入具体数值运算，再推广到字母的一般形式即可完成求解。
【解析】
逐个计算如下：
1. $\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$
2. $\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$
3. $\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$
4. $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$
5. $(\sqrt{25})^2=5^2=25$
6. $(\sqrt{9})^2=3^2=9$
7. $(\sqrt{\dfrac{9}{16}})^2=(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$
8. $(\sqrt{3})^2=3$
9. 对任意实数$a$，$\sqrt{a^2}$的结果非负，因此$\sqrt{a^2}=|a|$
10. 当$a≥0$时$\sqrt{a}$有意义，因此$(\sqrt{a})^2=a$
【答案】
$2$；$\dfrac{2}{3}$；$0$；$7$；$25$；$9$；$\dfrac{9}{16}$；$3$；$|a|$；$a$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的性质；绝对值的意义
【点评】
本题重点考查算术平方根两类常见运算的性质区分，要注意$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的适用范围和运算结果的差异，前者中$a$可取任意实数，结果为$a$的绝对值，后者要求$a$为非负数，结果就是$a$本身，熟练掌握这两个性质即可快速准确解题。
【难度系数】
0.75
解题时需围绕算术平方根的核心性质分两类思考：1. 针对$\sqrt{x^2}$型运算，本质是求$x^2$的算术平方根，算术平方根结果恒为非负数，先计算平方部分，再求其非负的平方根即可；2. 针对$(\sqrt{x})^2$型运算，首先根号内的数需非负才有意义，在非负范围内开平方和平方互为逆运算，直接计算即可。先代入具体数值运算，再推广到字母的一般形式即可完成求解。
【解析】
逐个计算如下：
1. $\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$
2. $\sqrt{(\dfrac{2}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$
3. $\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$
4. $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$
5. $(\sqrt{25})^2=5^2=25$
6. $(\sqrt{9})^2=3^2=9$
7. $(\sqrt{\dfrac{9}{16}})^2=(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{9}{16}$
8. $(\sqrt{3})^2=3$
9. 对任意实数$a$，$\sqrt{a^2}$的结果非负，因此$\sqrt{a^2}=|a|$
10. 当$a≥0$时$\sqrt{a}$有意义，因此$(\sqrt{a})^2=a$
【答案】
$2$；$\dfrac{2}{3}$；$0$；$7$；$25$；$9$；$\dfrac{9}{16}$；$3$；$|a|$；$a$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的性质；绝对值的意义
【点评】
本题重点考查算术平方根两类常见运算的性质区分，要注意$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的适用范围和运算结果的差异，前者中$a$可取任意实数，结果为$a$的绝对值，后者要求$a$为非负数，结果就是$a$本身，熟练掌握这两个性质即可快速准确解题。
【难度系数】
0.75
14. 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如4的算术平方根是$\sqrt{4}=2$，有些数则不能直接求得，如5的算术平方根是$\sqrt{5}$，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得。请同学们观察下表：
(1)根据表中所给的信息，观察规律，并将表格填写完整。
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：
已知$\sqrt{2.06}≈1.435$，求下列各数的算术平方根：
①0.020 6；②206；③20 600。
(1)根据表中所给的信息，观察规律，并将表格填写完整。
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：
已知$\sqrt{2.06}≈1.435$，求下列各数的算术平方根：
①0.020 6；②206；③20 600。
答案
14.解:(1)0.03 300
(2)①$\sqrt{0.0206}≈0.1435$
②$\sqrt{206}≈14.35$ ③$\sqrt{20600}≈143.5$
(2)①$\sqrt{0.0206}≈0.1435$
②$\sqrt{206}≈14.35$ ③$\sqrt{20600}≈143.5$
解析
【分析】
解题前先观察表格中被开方数n和对应算术平方根√n的变化规律：被开方数的小数点每向左/向右移动2位，算术平方根的小数点就对应向左/向右移动1位。第一问根据这个规律，对照已知的相邻数据的小数点移动情况，即可算出空缺的算术平方根；第二问先确定所求被开方数相对于已知√2.06的被开方数2.06的小数点移动位数，再对应调整1.435的小数点位置即可得到结果。
【解析】
(1) 观察已知数据：
被开方数0.0009是0.09的小数点向左移动2位得到的，因此它的算术平方根为0.3的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.0009}=0.03$；
被开方数90000是900的小数点向右移动2位得到的，因此它的算术平方根为30的小数点向右移动1位，即$\sqrt{90000}=300$。
(2) 已知$\sqrt{2.06}≈1.435$，根据规律计算：
① 0.0206是2.06的小数点向左移动2位得到的，因此$\sqrt{0.0206}$是1.435的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.0206}≈0.1435$；
② 206是2.06的小数点向右移动2位得到的，因此$\sqrt{206}$是1.435的小数点向右移动1位，即$\sqrt{206}≈14.35$；
③ 20600是2.06的小数点向右移动4位得到的，因此$\sqrt{20600}$是1.435的小数点向右移动2位，即$\sqrt{20600}≈143.5$。
【答案】
(1) 0.03，300
(2) ①$\sqrt{0.0206}≈0.1435$；②$\sqrt{206}≈14.35$；③$\sqrt{20600}≈143.5$
【知识点】
算术平方根的性质，小数点移动规律
【点评】
本题重点考查对算术平方根变化规律的归纳与应用，通过观察数据总结规律再应用规律解题，能较好地锻炼学生的观察归纳和知识迁移能力，熟练掌握该规律可快速求解同类算术平方根估算问题。
【难度系数】
0.75
解题前先观察表格中被开方数n和对应算术平方根√n的变化规律：被开方数的小数点每向左/向右移动2位，算术平方根的小数点就对应向左/向右移动1位。第一问根据这个规律，对照已知的相邻数据的小数点移动情况，即可算出空缺的算术平方根；第二问先确定所求被开方数相对于已知√2.06的被开方数2.06的小数点移动位数，再对应调整1.435的小数点位置即可得到结果。
【解析】
(1) 观察已知数据：
被开方数0.0009是0.09的小数点向左移动2位得到的，因此它的算术平方根为0.3的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.0009}=0.03$；
被开方数90000是900的小数点向右移动2位得到的，因此它的算术平方根为30的小数点向右移动1位，即$\sqrt{90000}=300$。
(2) 已知$\sqrt{2.06}≈1.435$，根据规律计算：
① 0.0206是2.06的小数点向左移动2位得到的，因此$\sqrt{0.0206}$是1.435的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.0206}≈0.1435$；
② 206是2.06的小数点向右移动2位得到的，因此$\sqrt{206}$是1.435的小数点向右移动1位，即$\sqrt{206}≈14.35$；
③ 20600是2.06的小数点向右移动4位得到的，因此$\sqrt{20600}$是1.435的小数点向右移动2位，即$\sqrt{20600}≈143.5$。
【答案】
(1) 0.03，300
(2) ①$\sqrt{0.0206}≈0.1435$；②$\sqrt{206}≈14.35$；③$\sqrt{20600}≈143.5$
【知识点】
算术平方根的性质，小数点移动规律
【点评】
本题重点考查对算术平方根变化规律的归纳与应用，通过观察数据总结规律再应用规律解题，能较好地锻炼学生的观察归纳和知识迁移能力，熟练掌握该规律可快速求解同类算术平方根估算问题。
【难度系数】
0.75
15.【综合与实践】先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：
若$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$都有意义，则$x$的值是多少？
解：因为$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$都有意义，
所以$x-1≥0$且$1-x≥0$。
又因为$x-1$和$1-x$互为相反数，而两非负数互为相反数的数只有0，
所以$x-1=0$且$1-x=0$，
所以$x=1$。
问题：若$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+2$，则$x^y$的值是多少？
若$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$都有意义，则$x$的值是多少？
解：因为$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$都有意义，
所以$x-1≥0$且$1-x≥0$。
又因为$x-1$和$1-x$互为相反数，而两非负数互为相反数的数只有0，
所以$x-1=0$且$1-x=0$，
所以$x=1$。
问题：若$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+2$，则$x^y$的值是多少？
答案
15.解:因为$\sqrt{2x-1}$和$\sqrt{1-2x}$都有意义，
所以$2x-1≥0$且$1-2x≥0$。
又因为$2x-1$和$1-2x$互为相反数,而两非负数互为相反数的数只有0，
所以$2x-1=0$且$1-2x=0$,所以$x=\frac{1}{2}$,所以$y=2$。
故$x^y=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
所以$2x-1≥0$且$1-2x≥0$。
又因为$2x-1$和$1-2x$互为相反数,而两非负数互为相反数的数只有0，
所以$2x-1=0$且$1-2x=0$,所以$x=\frac{1}{2}$,所以$y=2$。
故$x^y=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确二次根式有意义的核心条件是被开方数为非负数。首先根据这个条件列出两个被开方数对应的不等关系，得到关于x的不等式组；观察可知两个被开方数互为相反数，结合非负数的性质，互为相反数的两个非负数只能都为0，由此可求出x的值；再将x代入原式求出y的值，最后代入计算$x^y$即可得到结果。
【解析】
解：因为$\sqrt{2x-1}$和$\sqrt{1-2x}$都有意义，
所以$2x-1≥0$且$1-2x≥0$。
又因为$2x-1$和$1-2x$互为相反数，而互为相反数的两个非负数只能都为0，
所以$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+2$，得$y=0+0+2=2$。
故$x^y=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.相反数的性质 3.乘方运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础巩固题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数非负的性质，结合不等式或非负数的性质求出未知数的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确二次根式有意义的核心条件是被开方数为非负数。首先根据这个条件列出两个被开方数对应的不等关系，得到关于x的不等式组；观察可知两个被开方数互为相反数，结合非负数的性质，互为相反数的两个非负数只能都为0，由此可求出x的值；再将x代入原式求出y的值，最后代入计算$x^y$即可得到结果。
【解析】
解：因为$\sqrt{2x-1}$和$\sqrt{1-2x}$都有意义，
所以$2x-1≥0$且$1-2x≥0$。
又因为$2x-1$和$1-2x$互为相反数，而互为相反数的两个非负数只能都为0，
所以$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+2$，得$y=0+0+2=2$。
故$x^y=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.相反数的性质 3.乘方运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础巩固题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数非负的性质，结合不等式或非负数的性质求出未知数的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8
