13. 求下列各式中$x$的值：
(1) $4x^2 -121=0$；
(2) $6(x+1)^2 -18=0$；
(3) $(3x+2)^2=16$；
(4) $\frac{1}{2}(2x-1)^2=2$。

(1)$x=\pm\frac{11}{2}$ (2)$x=\pm\sqrt{3}-1$
(3)$x=\frac{2}{3}$或$x=-2$ (4)$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{1}{2}$

【分析】
这四道题均为可利用直接开平方法求解的方程，解题核心依据是平方根的定义：若一个数的平方等于非负数$a$，则这个数是$a$的平方根，即当$A^2=a(a≥0)$时，$A=\pm\sqrt{a}$。通用解题步骤为：先通过移项、系数化为1，将方程变形为“含$x$的完全平方式=非负常数”的形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 -121=0$
移项得：$4x^2=121$
系数化为1得：$x^2=\frac{121}{4}$
根据平方根的定义开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{121}{4}}=\pm\frac{11}{2}$
(2) 解方程$6(x+1)^2 -18=0$
移项得：$6(x+1)^2=18$
系数化为1得：$(x+1)^2=3$
开平方得：$x+1=\pm\sqrt{3}$
移项得：$x=\pm\sqrt{3}-1$
(3) 解方程$(3x+2)^2=16$
开平方得：$3x+2=\pm4$
分两种情况求解：
① 当$3x+2=4$时，$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$
② 当$3x+2=-4$时，$3x=-6$，解得$x=-2$
(4) 解方程$\frac{1}{2}(2x-1)^2=2$
两边同乘2得：$(2x-1)^2=4$
开平方得：$2x-1=\pm2$
分两种情况求解：
① 当$2x-1=2$时，$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$
② 当$2x-1=-2$时，$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x=\pm\frac{11}{2}$ (2)$x=\pm\sqrt{3}-1$
(3)$x=\frac{2}{3}$或$x=-2$ (4)$x=\frac{3}{2}$或$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程，一元一次方程求解
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，重点考查直接开平方法解方程的掌握程度，解题时需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8

14.计算下列题目：
$\sqrt{2^2} =$ ；
$\sqrt{2.5^2} =$ ；
$\sqrt{(-3)^2} =$ ；
$\sqrt{0^2} =$ ；
$\sqrt{(\dfrac{3}{5})^2} =$ ；
$\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2} =$ 。
请根据计算结果，回答下列问题：
(1)$\sqrt{a^2}$一定等于$a$吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来。
(2)利用你总结的规律，计算：
①$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} =$ ；
②若$a ＞ 4$，试化简$\sqrt{a^2 -6a +9} + |a-4|$。
(3)如图所示的是数$p$在数轴上对应点的位置，化简$\sqrt{(p-1)^2} + \sqrt{(p-2)^2}$。

2 2.5 3 0 $\frac{3}{5}$ $\frac{2}{3}$
(1)不一定。$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0),\\0(a=0),\\-a(a＜0)。\end{cases}$
(2)①$\sqrt{5}-2$ ②$2a-7$ (3)1

【分析】
本题围绕算术平方根的化简展开，解题思路如下：首先根据算术平方根的定义计算给出的6个基础算式，观察计算结果与底数的关系，总结出$\sqrt{a^2}$的化简规律；再利用总结的规律解决后续化简问题，化简时先判断根号内平方的底数的正负性，再结合绝对值的性质去掉绝对值符号计算即可，涉及数轴的问题要先根据数轴判断字母的取值范围。
【解析】
首先计算前6个算式：
$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$；
$\sqrt{2.5^2}=2.5$；
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$；
$\sqrt{0^2}=0$；
$\sqrt{(\dfrac{3}{5})^2}=\dfrac{3}{5}$；
$\sqrt{(-\dfrac{2}{3})^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$。
(1) 观察上述计算结果：当底数为正数时，结果等于底数本身；当底数为0时，结果为0；当底数为负数时，结果等于底数的相反数，因此$\sqrt{a^2}$不一定等于$a$。
规律：$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0)\\0(a=0)\\-a(a＜0)\end{cases}$，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
(2) ① 因为$\sqrt{5}\approx2.236＞2$，所以$2-\sqrt{5}＜0$，因此$\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$。
② 先将根号内的式子因式分解：$\sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$，已知$a＞4$，则$a-3＞0$，$a-4＞0$，因此：
原式$=|a-3|+|a-4|=(a-3)+(a-4)=2a-7$。
(3) 由数轴可知$1＜p＜2$，因此$p-1＞0$，$p-2＜0$，则：
$\sqrt{(p-1)^2}+\sqrt{(p-2)^2}=|p-1|+|p-2|=(p-1)+(2-p)=1$。
【答案】
$2$；$2.5$；$3$；$0$；$\dfrac{3}{5}$；$\dfrac{2}{3}$
(1) 不一定，$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a＞0)\\0(a=0)\\-a(a＜0)\end{cases}$；
(2) ①$\sqrt{5}-2$；②$2a-7$；
(3) $1$
【知识点】
算术平方根的性质，绝对值的化简，数轴与实数
【点评】
本题从基础计算出发，引导学生自主总结$\sqrt{a^2}$的化简规律，考查学生从特殊到一般的归纳能力，以及应用规律解决实际化简问题的能力，是平方根章节的典型基础应用题，要求学生熟练掌握绝对值符号的化简方法。
【难度系数】
0.7