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课前预习
序号 基础知识
1 弧长公式 半径为r的⊙O上n°的弧的长度是
2 扇形面积公式 (1)半径为r的⊙O上n°的扇
形的面积是
困惑疑问：
课堂同步
序号 基础知识
1 弧长公式 半径为r的⊙O上n°的弧的长度是
$\frac{nπ r}{180}$
。2 扇形面积公式 (1)半径为r的⊙O上n°的扇
形的面积是$\frac{nπ r^2}{360}$
。(2)半径为r，弧长为l的扇形的面积是$\frac{1}{2}lr$
。困惑疑问：
课堂同步
答案
1.$\frac{nπ r}{180}$
2.(1)$\frac{nπ r^2}{360}$ (2)$\frac{1}{2}lr$
2.(1)$\frac{nπ r^2}{360}$ (2)$\frac{1}{2}lr$
解析
【分析】
本题考查弧长和扇形面积的基础公式，可通过比例思路推导：弧是圆周的一部分，扇形是圆面的一部分，整个圆的圆心角为360°，因此n°圆心角对应的弧长是圆周长的$\frac{n}{360}$，对应的扇形面积是圆面积的$\frac{n}{360}$，再结合弧长公式可进一步推导得到用弧长、半径表示的扇形面积公式。
【解析】
1. 推导弧长公式：
圆的周长为$C=2π r$，对应360°圆心角，因此1°圆心角对应的弧长为$\frac{2π r}{360}=\frac{π r}{180}$，则n°的弧长为$l=\frac{nπ r}{180}$。
2. 推导扇形面积公式：
(1) 圆的面积为$S=π r^2$，对应360°圆心角，因此1°圆心角对应的扇形面积为$\frac{π r^2}{360}$，则n°的扇形面积为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$。
(2) 将弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$代入上述扇形面积公式，可得：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{1}{2}×\frac{nπ r}{180}× r=\frac{1}{2}lr$。
【答案】
1. $\frac{nπ r}{180}$；2.(1) $\frac{nπ r^2}{360}$；(2) $\frac{1}{2}lr$
【知识点】
弧长公式；扇形面积公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是考查弧长、扇形面积公式的理解和识记，建议结合圆的周长、面积公式理解公式的推导逻辑，不要死记硬背，熟练掌握这两个公式是解决圆弧、扇形相关计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长和扇形面积的基础公式，可通过比例思路推导：弧是圆周的一部分，扇形是圆面的一部分，整个圆的圆心角为360°，因此n°圆心角对应的弧长是圆周长的$\frac{n}{360}$，对应的扇形面积是圆面积的$\frac{n}{360}$，再结合弧长公式可进一步推导得到用弧长、半径表示的扇形面积公式。
【解析】
1. 推导弧长公式：
圆的周长为$C=2π r$，对应360°圆心角，因此1°圆心角对应的弧长为$\frac{2π r}{360}=\frac{π r}{180}$，则n°的弧长为$l=\frac{nπ r}{180}$。
2. 推导扇形面积公式：
(1) 圆的面积为$S=π r^2$，对应360°圆心角，因此1°圆心角对应的扇形面积为$\frac{π r^2}{360}$，则n°的扇形面积为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$。
(2) 将弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$代入上述扇形面积公式，可得：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{1}{2}×\frac{nπ r}{180}× r=\frac{1}{2}lr$。
【答案】
1. $\frac{nπ r}{180}$；2.(1) $\frac{nπ r^2}{360}$；(2) $\frac{1}{2}lr$
【知识点】
弧长公式；扇形面积公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是考查弧长、扇形面积公式的理解和识记，建议结合圆的周长、面积公式理解公式的推导逻辑，不要死记硬背，熟练掌握这两个公式是解决圆弧、扇形相关计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
思考 1. 已知半径为 r 的$\odot O$的周长为$2π r$，则：
（1）$1°$的圆心角所对的弧的长度是多少？
（2）$n°$的圆心角所对的弧的长度是多少？
（1）$1°$的圆心角所对的弧的长度是多少？
（2）$n°$的圆心角所对的弧的长度是多少？
答案
1.(1)$\frac{π r}{180}$ (2)$\frac{nπ r}{180}$
解析
【分析】
解题的核心是利用弧长和圆心角的正比例关系推导：整个圆的圆心角为360°，对应的总长度是圆的周长$2π r$，某一圆心角对应的弧长等于圆周长乘该圆心角占360°的比例。第一问求1°圆心角对应的弧长，用周长乘$\frac{1°}{360°}$即可；第二问求$n°$对应的弧长，是1°对应弧长的$n$倍，直接乘$n$就能得到结果。
【解析】
(1) 已知半径为$r$的$\odot O$周长为$2π r$，整个圆周对应的圆心角为$360°$，
因此$1°$的圆心角所对的弧长为：
$\frac{1°}{360°} × 2π r = \frac{2π r}{360} = \frac{π r}{180}$。
(2) $n°$的圆心角所对的弧长是$1°$圆心角所对弧长的$n$倍，
因此$n°$圆心角对应的弧长为：
$n × \frac{π r}{180} = \frac{nπ r}{180}$。
【答案】
(1)$\frac{π r}{180}$ (2)$\frac{nπ r}{180}$
【知识点】
1. 弧长公式推导 2. 圆的周长应用
【点评】
本题是弧长相关的基础推导题，核心是利用弧长与对应圆心角的比例关系求解，掌握该推导逻辑是后续解决弧长、扇形面积等相关计算的前提。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用弧长和圆心角的正比例关系推导：整个圆的圆心角为360°，对应的总长度是圆的周长$2π r$，某一圆心角对应的弧长等于圆周长乘该圆心角占360°的比例。第一问求1°圆心角对应的弧长，用周长乘$\frac{1°}{360°}$即可；第二问求$n°$对应的弧长，是1°对应弧长的$n$倍，直接乘$n$就能得到结果。
【解析】
(1) 已知半径为$r$的$\odot O$周长为$2π r$，整个圆周对应的圆心角为$360°$，
因此$1°$的圆心角所对的弧长为：
$\frac{1°}{360°} × 2π r = \frac{2π r}{360} = \frac{π r}{180}$。
(2) $n°$的圆心角所对的弧长是$1°$圆心角所对弧长的$n$倍，
因此$n°$圆心角对应的弧长为：
$n × \frac{π r}{180} = \frac{nπ r}{180}$。
【答案】
(1)$\frac{π r}{180}$ (2)$\frac{nπ r}{180}$
【知识点】
1. 弧长公式推导 2. 圆的周长应用
【点评】
本题是弧长相关的基础推导题，核心是利用弧长与对应圆心角的比例关系求解，掌握该推导逻辑是后续解决弧长、扇形面积等相关计算的前提。
【难度系数】
0.9
1.已知一个扇形的圆心角是$60°$，半径为9，则这个扇形的弧长是（
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
C
）。A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查扇形弧长的计算，解题思路如下：首先回忆角度制下的扇形弧长计算公式，明确公式中每个字母对应的量：n代表圆心角的度数，r代表扇形半径；接着从题干中提取已知条件：圆心角n=60°，半径r=9；最后将已知量代入公式计算即可得到弧长，匹配对应选项。
【解析】
角度制下扇形弧长公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）
将$n=60$，$r=9$代入公式得：
$l=\frac{60×π×9}{180}=3π$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的应用，只要准确记忆公式，正确代入已知数值计算即可得分，计算时注意约分可提升运算速度和正确率。
【难度系数】
0.9
本题考查扇形弧长的计算，解题思路如下：首先回忆角度制下的扇形弧长计算公式，明确公式中每个字母对应的量：n代表圆心角的度数，r代表扇形半径；接着从题干中提取已知条件：圆心角n=60°，半径r=9；最后将已知量代入公式计算即可得到弧长，匹配对应选项。
【解析】
角度制下扇形弧长公式为：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）
将$n=60$，$r=9$代入公式得：
$l=\frac{60×π×9}{180}=3π$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形弧长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形弧长公式的应用，只要准确记忆公式，正确代入已知数值计算即可得分，计算时注意约分可提升运算速度和正确率。
【难度系数】
0.9
2.一段圆弧所对的圆心角是$120°$，弧长是$6π$，则这段圆弧的半径是（
A.3
B.4
C.9
D.12
C
）。A.3
B.4
C.9
D.12
答案
2.C
解析
【分析】
本题已知圆弧对应的圆心角度数和弧长，要求圆弧半径，解题核心是运用弧长计算公式。首先回忆弧长公式：弧长$l$与圆心角$n$（单位为°）、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$，我们可以将已知的$l$和$n$的值代入公式，通过变形解方程即可求出半径$r$的数值。
【解析】
设这段圆弧的半径为$r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$n=120°$，$l=6π$，代入得：
$6π=\frac{120×π× r}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$6=\frac{2r}{3}$
解得：$r=6×\frac{3}{2}=9$
因此这段圆弧的半径是9。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长公式的直接应用，解题的关键是牢记弧长与圆心角、半径的对应关系，计算时先约分化简可以提升计算效率、减少错误。
【难度系数】
0.85
本题已知圆弧对应的圆心角度数和弧长，要求圆弧半径，解题核心是运用弧长计算公式。首先回忆弧长公式：弧长$l$与圆心角$n$（单位为°）、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$，我们可以将已知的$l$和$n$的值代入公式，通过变形解方程即可求出半径$r$的数值。
【解析】
设这段圆弧的半径为$r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$n=120°$，$l=6π$，代入得：
$6π=\frac{120×π× r}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$6=\frac{2r}{3}$
解得：$r=6×\frac{3}{2}=9$
因此这段圆弧的半径是9。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查弧长公式的直接应用，解题的关键是牢记弧长与圆心角、半径的对应关系，计算时先约分化简可以提升计算效率、减少错误。
【难度系数】
0.85
思考 2. 已知半径为 r 的$\odot O$的面积为$π r^2$。
（1）圆心角为$1°$的扇形的面积是多少？
（2）圆心角为$n°$的扇形的面积是多少？
（1）圆心角为$1°$的扇形的面积是多少？
（2）圆心角为$n°$的扇形的面积是多少？
答案
2.(1)$\frac{π r^2}{360}$ (2)$\frac{nπ r^2}{360}$
解析
【分析】
解题的核心是明确扇形是圆的一部分，扇形面积占所在圆面积的比例等于其圆心角占周角（360°）的比例。首先回忆半径为r的圆面积为πr²，周角为360°：①求圆心角1°的扇形面积，先算1°占360°的比例，再用圆面积乘该比例即可；②求圆心角n°的扇形面积，同理先算n°占360°的比例，再乘圆面积就能得到结果。
【解析】
（1）
∵ 半径为r的$\odot O$面积为$πr^2$，周角为$360°$，圆心角为$1°$的扇形面积是整个圆面积的$\frac{1}{360}$
∴ 圆心角为$1°$的扇形面积 = $πr^2 × \frac{1}{360} = \frac{πr^2}{360}$
（2）
∵ 圆心角为$n°$的扇形面积是整个圆面积的$\frac{n}{360}$
∴ 圆心角为$n°$的扇形面积 = $πr^2 × \frac{n}{360} = \frac{nπr^2}{360}$
【答案】
(1)$\frac{π r^2}{360}$ (2)$\frac{nπ r^2}{360}$
【知识点】
扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是扇形面积公式的基础推导题，重点考察对扇形与对应圆的面积比例关系的理解，掌握了“扇形圆心角占周角的比例等于其面积占圆面积的比例”这一规律，就能快速推导扇形面积公式，为后续复杂的扇形相关计算打下基础。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确扇形是圆的一部分，扇形面积占所在圆面积的比例等于其圆心角占周角（360°）的比例。首先回忆半径为r的圆面积为πr²，周角为360°：①求圆心角1°的扇形面积，先算1°占360°的比例，再用圆面积乘该比例即可；②求圆心角n°的扇形面积，同理先算n°占360°的比例，再乘圆面积就能得到结果。
【解析】
（1）
∵ 半径为r的$\odot O$面积为$πr^2$，周角为$360°$，圆心角为$1°$的扇形面积是整个圆面积的$\frac{1}{360}$
∴ 圆心角为$1°$的扇形面积 = $πr^2 × \frac{1}{360} = \frac{πr^2}{360}$
（2）
∵ 圆心角为$n°$的扇形面积是整个圆面积的$\frac{n}{360}$
∴ 圆心角为$n°$的扇形面积 = $πr^2 × \frac{n}{360} = \frac{nπr^2}{360}$
【答案】
(1)$\frac{π r^2}{360}$ (2)$\frac{nπ r^2}{360}$
【知识点】
扇形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题是扇形面积公式的基础推导题，重点考察对扇形与对应圆的面积比例关系的理解，掌握了“扇形圆心角占周角的比例等于其面积占圆面积的比例”这一规律，就能快速推导扇形面积公式，为后续复杂的扇形相关计算打下基础。
【难度系数】
0.9
3.若扇形的半径$R=2\ \mathrm{cm}$，弧长$l=\frac{3}{4}π\ \mathrm{cm}$，则这个扇形的面积$S_{\mathrm{扇}}=$
$\frac{3π}{4}\ \mathrm{cm}^2$
。答案
3.$\frac{3π}{4}\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆扇形面积的两类计算公式：①已知圆心角度数n和半径R时，用$S=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长l和半径R时，用$S_{扇}=\frac{1}{2}lR$。本题直接给出了半径R和弧长l，因此选择第二类公式代入计算即可，无需额外求解圆心角，可减少计算量。
【解析】
已知扇形半径$R=2\ \mathrm{cm}$，弧长$l=\frac{3}{4}π\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{1}{2}lR$，代入数值计算：
$S_{扇}=\frac{1}{2} × \frac{3}{4}π × 2 = \frac{3}{4}π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{3π}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 弧长与扇形面积的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形面积公式的灵活选择与应用，解题时优先结合已知条件选择最简便的公式，可提升解题效率、降低计算出错概率。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆扇形面积的两类计算公式：①已知圆心角度数n和半径R时，用$S=\frac{nπ R^2}{360}$；②已知弧长l和半径R时，用$S_{扇}=\frac{1}{2}lR$。本题直接给出了半径R和弧长l，因此选择第二类公式代入计算即可，无需额外求解圆心角，可减少计算量。
【解析】
已知扇形半径$R=2\ \mathrm{cm}$，弧长$l=\frac{3}{4}π\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{1}{2}lR$，代入数值计算：
$S_{扇}=\frac{1}{2} × \frac{3}{4}π × 2 = \frac{3}{4}π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{3π}{4}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 扇形面积计算
2. 弧长与扇形面积的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形面积公式的灵活选择与应用，解题时优先结合已知条件选择最简便的公式，可提升解题效率、降低计算出错概率。
【难度系数】
0.9
4.若扇形的圆心角$n$为$60°$，面积为$\frac{2}{3}π$，则这个扇形的半径$R=$
2
。答案
4.2
解析
【分析】
本题已知扇形的圆心角和面积，要求半径，解题思路如下：首先回忆扇形面积与圆心角、半径的计算公式，再将已知的圆心角度数、扇形面积代入公式，得到关于半径R的方程，求解方程后结合半径为正数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
解：扇形的面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）。
将$n=60°$，$S_{扇形}=\frac{2}{3}π$代入公式得：
$\frac{60π R^2}{360}=\frac{2}{3}π$
化简得：$\frac{π R^2}{6}=\frac{2}{3}π$
两边同时除以$π$得：$\frac{R^2}{6}=\frac{2}{3}$
两边同时乘6得：$R^2=4$
∵R为扇形半径，$R＞0$
∴$R=2$
【答案】
2
【知识点】
1.扇形面积公式
2.一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对扇形面积公式的掌握运用，解题时只需准确代入已知量求解方程，注意结合半径的实际意义舍去负值即可得分。
【难度系数】
0.85
本题已知扇形的圆心角和面积，要求半径，解题思路如下：首先回忆扇形面积与圆心角、半径的计算公式，再将已知的圆心角度数、扇形面积代入公式，得到关于半径R的方程，求解方程后结合半径为正数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
解：扇形的面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）。
将$n=60°$，$S_{扇形}=\frac{2}{3}π$代入公式得：
$\frac{60π R^2}{360}=\frac{2}{3}π$
化简得：$\frac{π R^2}{6}=\frac{2}{3}π$
两边同时除以$π$得：$\frac{R^2}{6}=\frac{2}{3}$
两边同时乘6得：$R^2=4$
∵R为扇形半径，$R＞0$
∴$R=2$
【答案】
2
【知识点】
1.扇形面积公式
2.一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对扇形面积公式的掌握运用，解题时只需准确代入已知量求解方程，注意结合半径的实际意义舍去负值即可得分。
【难度系数】
0.85
