9.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，点E是$∠ BAC$和$∠ ABC$角平分线的交点，AE的延长线交BC于点F，交$\odot O$于点D，连接BD。
(1)求证:$DB=DE$；
(2)若$AE=3$，$DF=4$，求DB的长。

(1)略
(2)$DB=6$。

【分析】
(1) 要证DB=DE，根据“等角对等边”，只需证明∠DBE=∠DEB即可。结合角平分线的性质，可将∠DEB转化为∠BAE+∠ABE，再利用同弧所对的圆周角相等，将∠DBC转化为∠DAC，结合角平分线的等角关系，即可推导两个角相等。
(2) 先通过角的等量关系证明△DBF∽△DAB，得到DB²=DF·DA。设DB=x，结合(1)中DB=DE的结论，用含x的式子表示AD的长度，代入比例式列方程求解即可，注意舍去负值。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE
∵ ∠DBC和∠CAD都是弧CD所对的圆周角
∴ ∠DBC=∠CAD，即∠DBC=∠BAD
∵ ∠DEB是△ABE的外角
∴ ∠DEB=∠BAD+∠ABE
又
∵ ∠DBE=∠DBC+∠CBE
∴ ∠DBE=∠DEB
∴ DB=DE
(2) 解：
设DB=x，由(1)知DE=DB=x
∵ DF=4，
∴ EF=DE-DF=x-4
∴ AD=AE+EF+DF=3+(x-4)+4=x+3
∵ ∠D=∠D，∠DBF=∠BAD
∴ △DBF∽△DAB
∴ $\frac{DB}{DA}=\frac{DF}{DB}$，即$DB^2=DF· DA$
代入得：$x^2=4(x+3)$
整理得：$x^2-4x-12=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-2$（线段长度为正，舍去）
∴ DB=6
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $DB=6$
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，将角平分线性质、圆周角定理、等腰三角形判定和相似三角形的应用相结合，解题的关键是找准角的等量关系，利用相似建立线段之间的方程求解，是圆与三角形结合的常见考法。
【难度系数】
0.6

10.阅读材料:
已知,如图①,在面积为 S 的△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆圆 O 的半径为 r。连接 OA,OB,OC,△ABC 被划分为三个小三角形。
因为 $ S = S_{△ OBC} + S_{△ OAC} + S_{△ OAB} = \frac{1}{2}BC · r + \frac{1}{2}AC · r + \frac{1}{2}AB · r = \frac{1}{2}(a + b + c)r $。
所以 $ r = \frac{2S}{a + b + c} $。
(1)类比推理:若面积为 S 的四边形 ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆),如图②,各边长分别为 AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径 r;
(2)理解应用:如图③,在等腰梯形 ABCD 中,AB//DC,AB=21,CD=11,AD=13,⊙O₁与⊙O₂分别为△ABD与△BCD的内切圆,设它们的半径分别为 r₁和 r₂,求 $ \frac{r_1}{r_2} $ 的值。

课后反思
存在的问题:
改进的措施:

解:(1)如图①,连接OA,OB,OC,OD。
因为 $S=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△COD}+S_{△AOD}$
$=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}dr$
$=\frac{1}{2}(a+b+c+d)r$,
所以 $r=\frac{2S}{a+b+c+d}$。
(2)如图②,过点 D 作 $DE⊥AB$ 于点 E,
因为梯形 ABCD 为等腰梯形,
所以 $AE=\frac{1}{2}(AB-CD)=\frac{1}{2}×(21-11)=5$。
所以 $EB=AB-AE=21-5=16$。
在$Rt△AED$中,
因为 $AD=13,AE=5$,所以 $DE=12$,
所以 $DB=\sqrt{DE^2+EB^2}=20$。
因为 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}·AB·DE=\frac{1}{2}×21×12=126$,
$S_{△CDB}=\frac{1}{2}×CD×DE=\frac{1}{2}×11×12=66$,
所以 $\frac{r_1}{r_2}=\frac{\frac{2S_{△ABD}}{AB+BD+AD}}{\frac{2S_{△CDB}}{CD+CB+DB}}=\frac{\frac{2×126}{21+20+13}}{\frac{2×66}{11+13+20}}=\frac{14}{9}$。

【分析】
(1) 类比三角形内切圆半径的推导思路，将四边形沿内切圆圆心与四个顶点的连线分割为4个小三角形，每个小三角形的高均为内切圆半径r，底对应四边形的四条边长，所有小三角形面积之和等于四边形总面积，据此列等式整理即可得到r的表达式。
(2) 要求两个内切圆半径的比值，首先利用等腰梯形的性质求出梯形的高，再通过勾股定理计算对角线BD的长度；接着分别算出△ABD和△BCD的面积、周长，套用内切圆半径公式$r=\frac{2S}{C}$（S为图形面积，C为图形周长），代入比值化简即可得到结果。
【解析】
(1) 如图①，连接OA，OB，OC，OD。
四边形被划分为4个小三角形，每个小三角形的高都等于内切圆半径r，因此总面积：
$S=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△COD}+S_{△AOD}$
$=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}dr$
$=\frac{1}{2}(a+b+c+d)r$，
整理得$r=\frac{2S}{a+b+c+d}$。
(2) 如图②，过点D作$DE⊥AB$于点E：
因为四边形ABCD是等腰梯形，所以$AE=\frac{1}{2}(AB-CD)=\frac{1}{2}×(21-11)=5$，
则$EB=AB-AE=21-5=16$。
在$Rt△AED$中，$AD=13$，$AE=5$，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$；
在$Rt△DEB$中，$DB=\sqrt{DE^2+EB^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20$。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}·AB·DE=\frac{1}{2}×21×12=126$，
$S_{△CDB}=\frac{1}{2}×CD×DE=\frac{1}{2}×11×12=66$。
结合等腰梯形腰长$BC=AD=13$，代入内切圆半径公式求比值：
$\frac{r_1}{r_2}=\frac{\frac{2S_{△ABD}}{AB+BD+AD}}{\frac{2S_{△CDB}}{CD+CB+DB}}=\frac{\frac{2×126}{21+20+13}}{\frac{2×66}{11+13+20}}=\frac{14}{9}$。
【答案】
解:(1)如图①,连接OA,OB,OC,OD。
因为 $S=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△COD}+S_{△AOD}$
$=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}dr$
$=\frac{1}{2}(a+b+c+d)r$,
所以 $r=\frac{2S}{a+b+c+d}$。
(2)如图②,过点 D 作 $DE⊥AB$ 于点 E,
因为梯形 ABCD 为等腰梯形,
所以 $AE=\frac{1}{2}(AB-CD)=\frac{1}{2}×(21-11)=5$。
所以 $EB=AB-AE=21-5=16$。
在$Rt△AED$中,
因为 $AD=13,AE=5$,所以 $DE=12$,
所以 $DB=\sqrt{DE^2+EB^2}=20$。
因为 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}·AB·DE=\frac{1}{2}×21×12=126$,
$S_{△CDB}=\frac{1}{2}×CD×DE=\frac{1}{2}×11×12=66$,
所以 $\frac{r_1}{r_2}=\frac{\frac{2S_{△ABD}}{AB+BD+AD}}{\frac{2S_{△CDB}}{CD+CB+DB}}=\frac{\frac{2×126}{21+20+13}}{\frac{2×66}{11+13+20}}=\frac{14}{9}$。
【知识点】
1. 内切圆半径公式推导
2. 等腰梯形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题侧重考查知识迁移与综合运用能力，通过类比三角形内切圆半径的推导方法得到四边形内切圆半径公式，再结合等腰梯形、勾股定理、三角形面积计算等知识求解半径比值，掌握面积分割法的原理是解题的关键。
【难度系数】
0.6