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2.一个等边三角形的边长为2,则这个等边三角形的内切圆半径为(
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
C
)。A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
要求等边三角形的内切圆半径，首先回忆相关性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）、外心、重心、垂心四心重合，内切圆半径是内心到任意一边的距离。我们可以选择两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用面积法，三角形面积等于内切圆半径乘三角形的半周长；思路2：结合30°角的直角三角形边角关系计算，等边三角形内角为60°，角平分线将内角分为两个30°角，构造直角三角形即可求出半径。
【解析】
我们用两种方法求解：
方法1：面积法
边长为2的等边三角形面积：$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
等边三角形的半周长：$s=\frac{1}{2}×(2+2+2)=3$
根据三角形内切圆半径公式$S=r· s$，代入数据得：$r=\frac{S}{s}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
方法2：构造直角三角形求解
等边三角形内角为60°，内心在角平分线上，过内心作一边的垂线，垂线段长度就是内切圆半径$r$。
此时形成的直角三角形中，一个锐角为$\frac{60°}{2}=30°$，该角相邻的直角边长度为边长的一半，即$\frac{2}{2}=1$，
由三角函数关系$\tan30°=\frac{r}{1}$，得$r=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、三角形的内切圆、解直角三角形
【点评】
本题是基础计算类题目，解题时可结合等边三角形的特殊性选择更简便的计算方法，熟练掌握内切圆相关性质、公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求等边三角形的内切圆半径，首先回忆相关性质：等边三角形的内心（内切圆圆心）、外心、重心、垂心四心重合，内切圆半径是内心到任意一边的距离。我们可以选择两种符合学段要求的思路求解：思路1：利用面积法，三角形面积等于内切圆半径乘三角形的半周长；思路2：结合30°角的直角三角形边角关系计算，等边三角形内角为60°，角平分线将内角分为两个30°角，构造直角三角形即可求出半径。
【解析】
我们用两种方法求解：
方法1：面积法
边长为2的等边三角形面积：$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
等边三角形的半周长：$s=\frac{1}{2}×(2+2+2)=3$
根据三角形内切圆半径公式$S=r· s$，代入数据得：$r=\frac{S}{s}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
方法2：构造直角三角形求解
等边三角形内角为60°，内心在角平分线上，过内心作一边的垂线，垂线段长度就是内切圆半径$r$。
此时形成的直角三角形中，一个锐角为$\frac{60°}{2}=30°$，该角相邻的直角边长度为边长的一半，即$\frac{2}{2}=1$，
由三角函数关系$\tan30°=\frac{r}{1}$，得$r=\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、三角形的内切圆、解直角三角形
【点评】
本题是基础计算类题目，解题时可结合等边三角形的特殊性选择更简便的计算方法，熟练掌握内切圆相关性质、公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点 E 是$△ ABC$的内心，AE 的延长线和$△ ABC$的外接圆相交于点 D，与 BC 相交于点 G。则下列结论：① $∠ BAD = ∠ CAD$；② 若 $∠ BAC = 60°$，则$∠ BEC = 120°$；③ 若 G 为 BC 的中点，则$∠ BGD = 90°$；④ $AE = DE = DB$。其中不一定正确的是(
A.①
B.②
C.③
D.④
D
)。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确三角形内心是内角角平分线的交点，结合圆周角定理、垂直平分线性质，逐个判断四个结论是否一定成立：①根据AE是角平分线直接判断；②利用三角形内角和结合内心角平分线的性质计算∠BEC；③根据等弧对应的点在弦的垂直平分线上，结合中点判断垂直；④先推导DB=DE，再判断AE与DE是否一定相等，最终选出不一定正确的选项。
【解析】
我们对4个结论逐一分析：
1. 结论①：
∵点E是△ABC的内心，
∴AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，①一定正确。
2. 结论②：若∠BAC=60°，则∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。
∵E是内心，BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BEC=180°-60°=120°，②一定正确。
3. 结论③：由∠BAD=∠CAD可得弧BD=弧CD（相等的圆周角对应相等的弧），
∴点D在BC的垂直平分线上。若G为BC中点，则DG为BC的垂直平分线，
∴DG⊥BC，即∠BGD=90°，③一定正确。
4. 结论④：先证∠DBE=∠DEB：∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE。
∵∠DBC=∠DAC=∠BAD（同弧所对圆周角相等，AD平分∠BAC），∠CBE=∠ABE（BE平分∠ABC），
∴∠DBE=∠DEB，得DB=DE。但AE和DE无必然相等的关系，仅当△ABC为特殊三角形时成立，普通三角形中不满足，故④不一定正确。
综上，不一定正确的是④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是三角形内心与外接圆结合的典型题型，需要熟练运用角平分线、圆周角、垂直平分线的相关定理逐一推导结论，解题时要注意区分普遍成立的结论和仅特殊情况成立的结论。
【难度系数】
0.7
解题时先明确三角形内心是内角角平分线的交点，结合圆周角定理、垂直平分线性质，逐个判断四个结论是否一定成立：①根据AE是角平分线直接判断；②利用三角形内角和结合内心角平分线的性质计算∠BEC；③根据等弧对应的点在弦的垂直平分线上，结合中点判断垂直；④先推导DB=DE，再判断AE与DE是否一定相等，最终选出不一定正确的选项。
【解析】
我们对4个结论逐一分析：
1. 结论①：
∵点E是△ABC的内心，
∴AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，①一定正确。
2. 结论②：若∠BAC=60°，则∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。
∵E是内心，BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BEC=180°-60°=120°，②一定正确。
3. 结论③：由∠BAD=∠CAD可得弧BD=弧CD（相等的圆周角对应相等的弧），
∴点D在BC的垂直平分线上。若G为BC中点，则DG为BC的垂直平分线，
∴DG⊥BC，即∠BGD=90°，③一定正确。
4. 结论④：先证∠DBE=∠DEB：∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE。
∵∠DBC=∠DAC=∠BAD（同弧所对圆周角相等，AD平分∠BAC），∠CBE=∠ABE（BE平分∠ABC），
∴∠DBE=∠DEB，得DB=DE。但AE和DE无必然相等的关系，仅当△ABC为特殊三角形时成立，普通三角形中不满足，故④不一定正确。
综上，不一定正确的是④，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是三角形内心与外接圆结合的典型题型，需要熟练运用角平分线、圆周角、垂直平分线的相关定理逐一推导结论，解题时要注意区分普遍成立的结论和仅特殊情况成立的结论。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 70°$,I是$△ ABC$的内心,连接AI并延长至点D,使$ID = BD$。则$∠ DBC$的度数是(
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
)。A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC、BI平分∠ABC，可先求出∠BAD的度数，同时得到∠ABI与∠CBI相等；再结合ID=BD的条件得到等腰三角形的等角关系，最后利用三角形外角的性质，建立∠DIB与△ABI内角的关系，和∠DBI的组成角进行等量代换，消去相等的角即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$，$∠ ABI=∠ CBI$。
∵ID=BD，
∴$△ BDI$为等腰三角形，$∠ DIB=∠ DBI$。
∵$∠ DIB$是$△ ABI$的外角，根据三角形外角性质可得：
$∠ DIB=∠ BAD+∠ ABI$，
又
∵$∠ DBI=∠ DBC+∠ CBI$，且$∠ ABI=∠ CBI$，$∠ DIB=∠ DBI$，
∴$∠ BAD+∠ ABI=∠ DBC+∠ CBI$，
消去相等的$∠ ABI$和$∠ CBI$，可得$∠ DBC=∠ BAD=35°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题，解题的核心是熟练运用三角形内心的角平分线性质，结合等腰三角形等角对等边、三角形外角的性质进行角度的等量代换，掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC、BI平分∠ABC，可先求出∠BAD的度数，同时得到∠ABI与∠CBI相等；再结合ID=BD的条件得到等腰三角形的等角关系，最后利用三角形外角的性质，建立∠DIB与△ABI内角的关系，和∠DBI的组成角进行等量代换，消去相等的角即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$，$∠ ABI=∠ CBI$。
∵ID=BD，
∴$△ BDI$为等腰三角形，$∠ DIB=∠ DBI$。
∵$∠ DIB$是$△ ABI$的外角，根据三角形外角性质可得：
$∠ DIB=∠ BAD+∠ ABI$，
又
∵$∠ DBI=∠ DBC+∠ CBI$，且$∠ ABI=∠ CBI$，$∠ DIB=∠ DBI$，
∴$∠ BAD+∠ ABI=∠ DBC+∠ CBI$，
消去相等的$∠ ABI$和$∠ CBI$，可得$∠ DBC=∠ BAD=35°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题，解题的核心是熟练运用三角形内心的角平分线性质，结合等腰三角形等角对等边、三角形外角的性质进行角度的等量代换，掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5.如图，$△ ABC$ 的周长是 18 cm，点 O 是$△ ABC$ 的内心，过点 O 作 $EF // AB$，与AC，BC 分别交于点 E，F，已知 $AB = 6$ cm，则 $△ CEF$ 的周长为
12
cm。答案
12
解析
【分析】
解题时先利用三角形内心的性质得到角平分线，再结合平行线的性质推导等腰三角形，实现线段的等量转化，最终将△CEF的周长转化为AC与BC的和，结合△ABC的总周长与AB的长度即可求出结果。
【解析】
连接OA、OB。
∵点O是△ABC的内心，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，即$∠ OAE=∠ OAB$，$∠ OBF=∠ OBA$。
∵$EF// AB$，
∴$∠ EOA=∠ OAB$，$∠ FOB=∠ OBA$。
∴$∠ OAE=∠ EOA$，$∠ OBF=∠ FOB$，
根据等角对等边可得$OE=AE$，$OF=BF$。
∴$EF=OE+OF=AE+BF$。
则△CEF的周长为：
$C_{△ CEF}=CE+CF+EF=CE+CF+AE+BF=(CE+AE)+(CF+BF)=AC+BC$。
已知$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=18\mathrm{cm}$，$AB=6\mathrm{cm}$，
∴$AC+BC=18-6=12\mathrm{cm}$，即$C_{△ CEF}=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题核心是利用转化思想，通过角的等量关系将所求三角形的周长转化为已知三角形两边的和，需要熟练掌握三角形内心的性质和平行线、等腰三角形的相关知识点，是几何中较为典型的周长计算类题目。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形内心的性质得到角平分线，再结合平行线的性质推导等腰三角形，实现线段的等量转化，最终将△CEF的周长转化为AC与BC的和，结合△ABC的总周长与AB的长度即可求出结果。
【解析】
连接OA、OB。
∵点O是△ABC的内心，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，即$∠ OAE=∠ OAB$，$∠ OBF=∠ OBA$。
∵$EF// AB$，
∴$∠ EOA=∠ OAB$，$∠ FOB=∠ OBA$。
∴$∠ OAE=∠ EOA$，$∠ OBF=∠ FOB$，
根据等角对等边可得$OE=AE$，$OF=BF$。
∴$EF=OE+OF=AE+BF$。
则△CEF的周长为：
$C_{△ CEF}=CE+CF+EF=CE+CF+AE+BF=(CE+AE)+(CF+BF)=AC+BC$。
已知$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=18\mathrm{cm}$，$AB=6\mathrm{cm}$，
∴$AC+BC=18-6=12\mathrm{cm}$，即$C_{△ CEF}=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题核心是利用转化思想，通过角的等量关系将所求三角形的周长转化为已知三角形两边的和，需要熟练掌握三角形内心的性质和平行线、等腰三角形的相关知识点，是几何中较为典型的周长计算类题目。
【难度系数】
0.7
6.如图,点 D 是$△ ABC$的内心,连接 BD并延长交$△ ABC$的外接圆于点 E,BE 与AC 交于点 F,连接 AE。
(1)设$∠ ABC=α$,则$∠ EAC=$
(2)求证:$AE=DE$;
(3)若$DE=2,BD=1$,求 EF 的长。
(1)设$∠ ABC=α$,则$∠ EAC=$
$\frac{1}{2}α$
;(用含$α$的式子表示)(2)求证:$AE=DE$;
(3)若$DE=2,BD=1$,求 EF 的长。
答案
(1)$\frac{1}{2}α$
(2)证明:如图
,连接AD,因为点 D 是△ABC 的内心,
所以 AD 平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD。
因为 ∠EAD = ∠EAC + ∠CAD,∠EDA=∠BAD + ∠ABD,
又因为 ∠EAC = ∠EBC = ∠EBA,
所以∠EAD=∠EDA。
所以 AE=DE。
(3)解:由题可知 AE=DE=2,BE=DE+BD=3,
因为∠EBA=∠EAF,∠E=∠E,
所以△EAF∽△EBA。
所以$\frac{EA}{EB}=\frac{EF}{EA}$。
所以$EF=\frac{EA^2}{EB}=\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
(1) 首先明确三角形内心是角平分线的交点，可得BE平分∠ABC，算出∠EBC的大小；再根据同弧所对的圆周角相等，可知∠EAC与∠EBC相等，即可得到结果。
(2) 要证AE=DE，可证明∠EAD=∠EDA。先连接AD，利用内心性质得AD平分∠BAC，结合外角性质分别拆解∠EAD和∠EDA，再结合圆周角的等量关系，即可证明两个角相等，进而得到边相等。
(3) 求EF的长可通过相似三角形求解：找到△EAF和△EBA的公共角，再证明另一组角相等得到两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例代入已知边长计算即可。
【解析】
(1)
∵点D是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}α$。
∵∠EAC和∠EBC都是弧EC所对的圆周角，
∴∠EAC=∠EBC=$\frac{1}{2}α$。
(2) 证明：如图，连接AD，
∵点D是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，BD平分∠ABC，即∠ABD=∠EBC。
∵∠EAD = ∠EAC + ∠CAD，∠EDA是△ABD的外角，
∴∠EDA=∠BAD + ∠ABD，
又
∵同弧所对圆周角相等，∠EAC = ∠EBC = ∠ABD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE。
(3) 解：由(2)可知AE=DE=2，
BE=DE+BD=2+1=3，
∵∠EAF=∠EBA，∠E是△EAF和△EBA的公共角，
∴△EAF∽△EBA，
∴$\frac{EA}{EB}=\frac{EF}{EA}$，
∴$EF=\frac{EA^2}{EB}=\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}α$
(2)证明:如图,连接AD,
因为点 D 是△ABC 的内心,
所以 AD 平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD。
因为 ∠EAD = ∠EAC + ∠CAD,∠EDA=∠BAD + ∠ABD,
又因为 ∠EAC = ∠EBC = ∠EBA,
所以∠EAD=∠EDA。
所以 AE=DE。
(3)解:由题可知 AE=DE=2,BE=DE+BD=3,
因为∠EBA=∠EAF,∠E=∠E,
所以△EAF∽△EBA。
所以$\frac{EA}{EB}=\frac{EF}{EA}$。
所以$EF=\frac{EA^2}{EB}=\frac{4}{3}$。
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是利用角的等量关系推导等角、证明相似，是圆与三角形结合的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确三角形内心是角平分线的交点，可得BE平分∠ABC，算出∠EBC的大小；再根据同弧所对的圆周角相等，可知∠EAC与∠EBC相等，即可得到结果。
(2) 要证AE=DE，可证明∠EAD=∠EDA。先连接AD，利用内心性质得AD平分∠BAC，结合外角性质分别拆解∠EAD和∠EDA，再结合圆周角的等量关系，即可证明两个角相等，进而得到边相等。
(3) 求EF的长可通过相似三角形求解：找到△EAF和△EBA的公共角，再证明另一组角相等得到两三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例代入已知边长计算即可。
【解析】
(1)
∵点D是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}α$。
∵∠EAC和∠EBC都是弧EC所对的圆周角，
∴∠EAC=∠EBC=$\frac{1}{2}α$。
(2) 证明：如图
，连接AD，∵点D是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，BD平分∠ABC，即∠ABD=∠EBC。
∵∠EAD = ∠EAC + ∠CAD，∠EDA是△ABD的外角，
∴∠EDA=∠BAD + ∠ABD，
又
∵同弧所对圆周角相等，∠EAC = ∠EBC = ∠ABD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE。
(3) 解：由(2)可知AE=DE=2，
BE=DE+BD=2+1=3，
∵∠EAF=∠EBA，∠E是△EAF和△EBA的公共角，
∴△EAF∽△EBA，
∴$\frac{EA}{EB}=\frac{EF}{EA}$，
∴$EF=\frac{EA^2}{EB}=\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{2}α$
(2)证明:如图
,连接AD,因为点 D 是△ABC 的内心,
所以 AD 平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD。
因为 ∠EAD = ∠EAC + ∠CAD,∠EDA=∠BAD + ∠ABD,
又因为 ∠EAC = ∠EBC = ∠EBA,
所以∠EAD=∠EDA。
所以 AE=DE。
(3)解:由题可知 AE=DE=2,BE=DE+BD=3,
因为∠EBA=∠EAF,∠E=∠E,
所以△EAF∽△EBA。
所以$\frac{EA}{EB}=\frac{EF}{EA}$。
所以$EF=\frac{EA^2}{EB}=\frac{4}{3}$。
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，解题的核心是利用角的等量关系推导等角、证明相似，是圆与三角形结合的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
7.如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D。
(1)求证:DE=DB;
(2)连接BE,CE。若∠CBD=32°,求∠BEC的度数。
(1)求证:DE=DB;
(2)连接BE,CE。若∠CBD=32°,求∠BEC的度数。
答案
(1)略
(2)$∠BEC=122°$。
(2)$∠BEC=122°$。
解析
【分析】
第(1)问：要证DE=DB，可转化为证明两条边所对的角相等，即证∠DBE=∠DEB。结合三角形内心是内角平分线交点的性质，可得AE平分∠BAC、BE平分∠ABC，再结合同弧所对圆周角相等得到∠CBD=∠BAD，最后利用三角形外角性质推导两角相等即可得证。
第(2)问：先根据同弧所对圆周角相等推出∠BAC的度数，再结合三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，利用角平分线性质求出∠EBC+∠ECB的度数，最后再次用三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$。
∵$∠ CBD$和$∠ CAD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴$∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ CBD=∠ BAD$。
∵$∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE$，$∠ DEB=∠ BAD+∠ ABE$（三角形外角等于与它不相邻的两个内角和），
∴$∠ DBE=∠ DEB$，
∴$DE=DB$。
(2)解：
∵$∠ CBD=32°$，且$∠ CBD=∠ CAD=∠ BAD$，
∴$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=32°×2=64°$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-64°=116°$。
∵点E是$△ ABC$的内心，
∴BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×116°=58°$。
在$△ BEC$中，$∠ BEC=180°-(∠ EBC+∠ ECB)=180°-58°=122°$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\boxed{122°}$
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内心的性质展开考查，结合了圆周角定理、角度运算的相关知识，解题的核心是熟练运用角平分线的性质进行角度的转化与推导，是圆与三角形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
第(1)问：要证DE=DB，可转化为证明两条边所对的角相等，即证∠DBE=∠DEB。结合三角形内心是内角平分线交点的性质，可得AE平分∠BAC、BE平分∠ABC，再结合同弧所对圆周角相等得到∠CBD=∠BAD，最后利用三角形外角性质推导两角相等即可得证。
第(2)问：先根据同弧所对圆周角相等推出∠BAC的度数，再结合三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，利用角平分线性质求出∠EBC+∠ECB的度数，最后再次用三角形内角和定理即可求出∠BEC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABE=∠ CBE$。
∵$∠ CBD$和$∠ CAD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴$∠ CBD=∠ CAD$，
∴$∠ CBD=∠ BAD$。
∵$∠ DBE=∠ CBD+∠ CBE$，$∠ DEB=∠ BAD+∠ ABE$（三角形外角等于与它不相邻的两个内角和），
∴$∠ DBE=∠ DEB$，
∴$DE=DB$。
(2)解：
∵$∠ CBD=32°$，且$∠ CBD=∠ CAD=∠ BAD$，
∴$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=32°×2=64°$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-64°=116°$。
∵点E是$△ ABC$的内心，
∴BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$，
∴$∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×116°=58°$。
在$△ BEC$中，$∠ BEC=180°-(∠ EBC+∠ ECB)=180°-58°=122°$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\boxed{122°}$
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内心的性质展开考查，结合了圆周角定理、角度运算的相关知识，解题的核心是熟练运用角平分线的性质进行角度的转化与推导，是圆与三角形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 已知$\odot O$为$△ ABC$的外接圆，点$E$是$△ ABC$的内心，$AE$的延长线交$BC$于点$F$，交$\odot O$于点$D$。如图，$AD$为$\odot O$的直径，若$AD=10$，$BC=6$，则$OE$的长为（
A.$2$
B.$5-\sqrt{10}$
C.$3$
D.$5-2\sqrt{2}$
B
）。A.$2$
B.$5-\sqrt{10}$
C.$3$
D.$5-2\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合AD是直径、AE是角平分线的性质，由垂径定理可得AD垂直平分BC，先求出OF的长度；再连接OB、BD，通过勾股定理计算出BD的长度；接着利用三角形内心的性质、圆周角定理和三角形外角性质，证明DB=DE；最后根据线段的和差关系即可求出OE的长度。
【解析】
连接OB、BD：
1. 由AD是$\odot O$的直径，E是$△ ABC$的内心可知AD平分$∠ BAC$，根据垂径定理可得$AD⊥ BC$，且$BF=FC=\frac{1}{2}BC=3$。
已知$AD=10$，则$\odot O$的半径$OB=OD=OA=5$，在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此$DF=OD-OF=5-4=1$。
2. 在$Rt△ BDF$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
3. 证明$DB=DE$：
∵E是$△ ABC$的内心，
∴BE平分$∠ ABC$，即$∠ ABE=∠ CBE$。
∵$∠ DBC$和$∠ DAC$是同弧DC所对的圆周角，
∴$∠ DBC=∠ DAC$，又AD平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=∠ DAC$，因此$∠ DBC=∠ BAD$。
根据三角形外角性质，$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE$，$∠ DEB=∠ BAD+∠ ABE$，可得$∠ DBE=∠ DEB$，故$DB=DE=\sqrt{10}$。
4. 计算OE：
$OE=OD-DE=5-\sqrt{10}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，三角形内心的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的典型题型，解题的核心是通过角的等量转换证明$DB=DE$，再结合勾股定理求解线段长度，能有效考查对圆和三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合AD是直径、AE是角平分线的性质，由垂径定理可得AD垂直平分BC，先求出OF的长度；再连接OB、BD，通过勾股定理计算出BD的长度；接着利用三角形内心的性质、圆周角定理和三角形外角性质，证明DB=DE；最后根据线段的和差关系即可求出OE的长度。
【解析】
连接OB、BD：
1. 由AD是$\odot O$的直径，E是$△ ABC$的内心可知AD平分$∠ BAC$，根据垂径定理可得$AD⊥ BC$，且$BF=FC=\frac{1}{2}BC=3$。
已知$AD=10$，则$\odot O$的半径$OB=OD=OA=5$，在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此$DF=OD-OF=5-4=1$。
2. 在$Rt△ BDF$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
3. 证明$DB=DE$：
∵E是$△ ABC$的内心，
∴BE平分$∠ ABC$，即$∠ ABE=∠ CBE$。
∵$∠ DBC$和$∠ DAC$是同弧DC所对的圆周角，
∴$∠ DBC=∠ DAC$，又AD平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=∠ DAC$，因此$∠ DBC=∠ BAD$。
根据三角形外角性质，$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE$，$∠ DEB=∠ BAD+∠ ABE$，可得$∠ DBE=∠ DEB$，故$DB=DE=\sqrt{10}$。
4. 计算OE：
$OE=OD-DE=5-\sqrt{10}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，三角形内心的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的典型题型，解题的核心是通过角的等量转换证明$DB=DE$，再结合勾股定理求解线段长度，能有效考查对圆和三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
