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1. 如图，在$4×4$的正方形网格中，若将$△ ABC$绕着点$A$逆时针旋转得到$△ AB'C'$，则$\overset{\frown}{BB'}$的长为（
A.$π$
B.$\frac{π}{2}$
C.$7π$
D.$6π$
A
）。A.$π$
B.$\frac{π}{2}$
C.$7π$
D.$6π$
答案
1.A
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{BB'}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），因此需要先确定两个核心量：一是旋转形成的圆心角即旋转角$∠ BAB'$的度数，二是半径$AB$的长度。结合旋转的性质可知，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，即$AB=AB'$，旋转角等于$∠ BAB'$，再通过网格特征求出这两个量，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，观察网格可得$AB=4$，旋转角$∠ BAB'=45°$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BB'}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{45×π×4}{180}=π$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式，旋转的性质
【点评】
本题是弧长计算与旋转性质结合的基础题，解题的关键是从网格中准确识别旋转角的度数和旋转半径的长度，熟练掌握弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{BB'}$的长，需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），因此需要先确定两个核心量：一是旋转形成的圆心角即旋转角$∠ BAB'$的度数，二是半径$AB$的长度。结合旋转的性质可知，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，即$AB=AB'$，旋转角等于$∠ BAB'$，再通过网格特征求出这两个量，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，观察网格可得$AB=4$，旋转角$∠ BAB'=45°$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BB'}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{45×π×4}{180}=π$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式，旋转的性质
【点评】
本题是弧长计算与旋转性质结合的基础题，解题的关键是从网格中准确识别旋转角的度数和旋转半径的长度，熟练掌握弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，AB是$\odot O$的直径，E是BC的中点，$AB=4$，$∠ BED=120°$，则图中阴影部分的面积之和为（
A.$1$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
C
）。A.$1$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题需先结合圆的性质判断三角形形状，再通过割补法转化阴影面积：第一步，连接AE，利用直径所对圆周角为直角，结合E是BC中点，推出AB=AC；第二步，根据圆内接四边形对角互补，结合∠BED=120°求出∠BAC=60°，确定△ABC是等边三角形；第三步，连接BD，由直径所对圆周角为直角得D是AC中点，可知DE是△ABC中位线，△CDE为等边三角形；第四步，因弧BE、弧DE对应的弓形面积相等，阴影面积可转化为△CDE的面积，计算即可。
【解析】
解：连接AE、BD。
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又E是BC的中点，所以AE是BC的垂直平分线，得$AB=AC$。
2. 因为四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，所以$∠ BAD+∠ BED=180°$，
已知$∠ BED=120°$，所以$∠ BAC=∠ BAD=180°-120°=60°$，
因此$△ ABC$是等边三角形，边长$AB=AC=BC=4$。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$，
所以D是AC的中点，又E是BC的中点，因此DE是$△ ABC$的中位线，
得$CD=CE=DE=2$，即$△ CDE$是等边三角形。
4. 因为弧BE和弧DE所对圆心角均为$60°$、半径相等，所以弓形BE的面积=弓形DE的面积，
因此阴影部分面积之和等于$△ CDE$的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CDE}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
直径的性质，圆内接四边形的性质，阴影面积计算
【点评】
本题核心是通过辅助线判断出$△ ABC$为等边三角形，再利用割补法将不规则阴影面积转化为规则三角形面积求解，很好地考查了圆的基础性质和面积转化思想。
【难度系数】
0.6
解题需先结合圆的性质判断三角形形状，再通过割补法转化阴影面积：第一步，连接AE，利用直径所对圆周角为直角，结合E是BC中点，推出AB=AC；第二步，根据圆内接四边形对角互补，结合∠BED=120°求出∠BAC=60°，确定△ABC是等边三角形；第三步，连接BD，由直径所对圆周角为直角得D是AC中点，可知DE是△ABC中位线，△CDE为等边三角形；第四步，因弧BE、弧DE对应的弓形面积相等，阴影面积可转化为△CDE的面积，计算即可。
【解析】
解：连接AE、BD。
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又E是BC的中点，所以AE是BC的垂直平分线，得$AB=AC$。
2. 因为四边形ABED是$\odot O$的内接四边形，所以$∠ BAD+∠ BED=180°$，
已知$∠ BED=120°$，所以$∠ BAC=∠ BAD=180°-120°=60°$，
因此$△ ABC$是等边三角形，边长$AB=AC=BC=4$。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$，
所以D是AC的中点，又E是BC的中点，因此DE是$△ ABC$的中位线，
得$CD=CE=DE=2$，即$△ CDE$是等边三角形。
4. 因为弧BE和弧DE所对圆心角均为$60°$、半径相等，所以弓形BE的面积=弓形DE的面积，
因此阴影部分面积之和等于$△ CDE$的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ CDE}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
直径的性质，圆内接四边形的性质，阴影面积计算
【点评】
本题核心是通过辅助线判断出$△ ABC$为等边三角形，再利用割补法将不规则阴影面积转化为规则三角形面积求解，很好地考查了圆的基础性质和面积转化思想。
【难度系数】
0.6
3.如图，平行四边形ABCD中，∠D=60°，AD=10，以BC为直径的⊙O交AB于点E，则$\overset{\frown}{BE}$的长为（
A.π
B.$\frac{5}{3}π$
C.5
D.$\frac{5}{6}π$
B
）。A.π
B.$\frac{5}{3}π$
C.5
D.$\frac{5}{6}π$
答案
3.B
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{BE}$的长，需先明确弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要求出弧$\overset{\frown}{BE}$所对的圆心角度数$n$和⊙O的半径$r$。首先利用平行四边形的性质可得到BC的长度和∠ABC的度数，进而得到⊙O的半径；再连接OE构造等腰三角形，结合∠ABC的度数推出圆心角∠BOE的度数，最后代入弧长公式即可求出结果。
【解析】
连接OE，步骤如下：
1. 利用平行四边形性质：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，AD=10，
∴∠ABC=∠D=60°，BC=AD=10。
2. 求⊙O的半径：
∵BC是⊙O的直径，
∴⊙O的半径$r=OB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
3. 求弧$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角：
∵OB=OE（同圆的半径相等），∠OBE=∠ABC=60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°，即弧$\overset{\frown}{BE}$所对的圆心角$n=60°$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{BE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；弧长的计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形、圆的基本性质与弧长计算相结合，解题的关键是通过作辅助线构造等腰三角形求出圆心角度数，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{BE}$的长，需先明确弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要求出弧$\overset{\frown}{BE}$所对的圆心角度数$n$和⊙O的半径$r$。首先利用平行四边形的性质可得到BC的长度和∠ABC的度数，进而得到⊙O的半径；再连接OE构造等腰三角形，结合∠ABC的度数推出圆心角∠BOE的度数，最后代入弧长公式即可求出结果。
【解析】
连接OE，步骤如下：
1. 利用平行四边形性质：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°，AD=10，
∴∠ABC=∠D=60°，BC=AD=10。
2. 求⊙O的半径：
∵BC是⊙O的直径，
∴⊙O的半径$r=OB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
3. 求弧$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角：
∵OB=OE（同圆的半径相等），∠OBE=∠ABC=60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE=60°，即弧$\overset{\frown}{BE}$所对的圆心角$n=60°$。
4. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{BE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；弧长的计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形、圆的基本性质与弧长计算相结合，解题的关键是通过作辅助线构造等腰三角形求出圆心角度数，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.已知一个扇形的半径为30 cm，面积为$240π \ \mathrm{cm}^2$，则此扇形的弧长为
$16π$
cm（结果保留π）。答案
4.$16π$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确已知条件：扇形半径r=30cm，面积S=240π cm²，要求弧长。我们学过扇形面积有两种表达形式，其中$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（l为弧长，r为半径）刚好关联了面积、半径、弧长三个量，不用额外求解圆心角，直接代入已知量变形就能求出弧长，是最简便的解题思路。
【解析】
已知扇形半径r=30cm，面积$S_{\mathrm{扇形}}=240π \ \mathrm{cm}^2$，根据扇形面积和弧长的关系公式：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为扇形弧长）
将已知数值代入公式：
$240π=\frac{1}{2} × l × 30$
化简得：$15l=240π$
解得：$l=16π$
【答案】
$16π$
【知识点】
扇形面积公式，弧长计算
【点评】
本题主要考查扇形相关公式的灵活运用，优先选择直接关联已知量和所求量的公式可简化计算过程，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确已知条件：扇形半径r=30cm，面积S=240π cm²，要求弧长。我们学过扇形面积有两种表达形式，其中$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（l为弧长，r为半径）刚好关联了面积、半径、弧长三个量，不用额外求解圆心角，直接代入已知量变形就能求出弧长，是最简便的解题思路。
【解析】
已知扇形半径r=30cm，面积$S_{\mathrm{扇形}}=240π \ \mathrm{cm}^2$，根据扇形面积和弧长的关系公式：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为扇形弧长）
将已知数值代入公式：
$240π=\frac{1}{2} × l × 30$
化简得：$15l=240π$
解得：$l=16π$
【答案】
$16π$
【知识点】
扇形面积公式，弧长计算
【点评】
本题主要考查扇形相关公式的灵活运用，优先选择直接关联已知量和所求量的公式可简化计算过程，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，一扇形纸片的圆心角为$90°$，半径为3。将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为
第5题图
$\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{8}$
。 第5题图答案
5.$\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{8}$
解析
【分析】
本题是不规则图形面积求解问题，解题思路如下：首先根据折叠的性质可得折痕CD垂直平分半径AO，因此可求出OC的长度；接着连接OD，OD为扇形半径，在Rt△OCD中利用直角三角形的边角关系求出∠AOD的度数和直角边CD的长度；最后阴影部分为扇形OAD减去Rt△OCD的部分，代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OD，
由题意得，扇形AOB的半径$OA=OD=3$，$∠ AOB=90°$，
∵ 折叠后点A与点O重合，折痕为CD，
∴ CD垂直平分AO，
∴ $OC=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2}$，且$CD⊥ AO$，
在Rt△OCD中，$OC=\frac{3}{2}$，$OD=3$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又$\cos∠ COD=\frac{OC}{OD}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ COD=60°$，
扇形OAD的面积：$S_{扇形OAD}=\frac{60°}{360°}×π×3^2=\frac{3}{2}π$，
Rt△OCD的面积：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× CD=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∴ 阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{扇形OAD}-S_{△ OCD}=\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{8}$
【知识点】
折叠的性质，扇形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠变换与面积计算结合的典型题型，核心是利用割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形与三角形面积的差，解题关键是通过折叠的性质得到线段和角度的对应关系，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是不规则图形面积求解问题，解题思路如下：首先根据折叠的性质可得折痕CD垂直平分半径AO，因此可求出OC的长度；接着连接OD，OD为扇形半径，在Rt△OCD中利用直角三角形的边角关系求出∠AOD的度数和直角边CD的长度；最后阴影部分为扇形OAD减去Rt△OCD的部分，代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OD，
由题意得，扇形AOB的半径$OA=OD=3$，$∠ AOB=90°$，
∵ 折叠后点A与点O重合，折痕为CD，
∴ CD垂直平分AO，
∴ $OC=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2}$，且$CD⊥ AO$，
在Rt△OCD中，$OC=\frac{3}{2}$，$OD=3$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又$\cos∠ COD=\frac{OC}{OD}=\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ COD=60°$，
扇形OAD的面积：$S_{扇形OAD}=\frac{60°}{360°}×π×3^2=\frac{3}{2}π$，
Rt△OCD的面积：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× CD=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∴ 阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{扇形OAD}-S_{△ OCD}=\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{8}$
【知识点】
折叠的性质，扇形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠变换与面积计算结合的典型题型，核心是利用割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形与三角形面积的差，解题关键是通过折叠的性质得到线段和角度的对应关系，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6. 如图，$△ ABC$ 是正三角形，曲线 $CDEFG$ …叫作“正三角形的渐开线”，其中$\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{DE}$，$\overset{\frown}{EF}$，…的圆心依次为 $A$，$B$，$C$，…。当渐开线延伸开时，形成三个扇形 $S_1$，$S_2$，$S_3$ 和一系列扇环 $S_4$，$S_5$，…若正$△ ABC$ 的边长为 1。
(1)求出曲线 $CDEFG$ 的总长度；
(2)求出扇环 $S_4$ 的面积。
(1)求出曲线 $CDEFG$ 的总长度；
(2)求出扇环 $S_4$ 的面积。
答案
6.解:(1)因为正△ABC 的边长为 1，
所以 BD=2,CE=3,AF=4。
所以曲线 CDEFG 的总长度$\frac{120π×(1+2+3+4)}{180}=\frac{20π}{3}$。
(2)$S_4=\frac{120π×4^2}{360}-\frac{120π×1^2}{360}=5π$。
所以 BD=2,CE=3,AF=4。
所以曲线 CDEFG 的总长度$\frac{120π×(1+2+3+4)}{180}=\frac{20π}{3}$。
(2)$S_4=\frac{120π×4^2}{360}-\frac{120π×1^2}{360}=5π$。
解析
【分析】
本题考查弧长与扇形面积的计算，解题核心是抓住正三角形渐开线的特征：正三角形内角为$60°$，因此每段弧对应的扇形圆心角均为$120°$，且每段弧的半径依次增加1个正三角形的边长。
（1）求曲线总长度时，先找出组成曲线的4段弧各自的半径，再用弧长公式分别计算每段弧长，求和即可得到总长度；
（2）求扇环面积时，扇环面积等于同圆心角的外扇形面积减去内扇形面积，找准内外半径后代入扇形面积公式计算差值即可。
【解析】
（1）已知正$△ ABC$的边长为1，正三角形内角为$60°$，因此$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{EF}$、$\overset{\frown}{FG}$对应的扇形圆心角均为$180°-60°=120°$。
各段弧的半径分别为：
$\overset{\frown}{CD}$的圆心为A，半径$r_1=AC=1$；
$\overset{\frown}{DE}$的圆心为B，半径$r_2=BD=AB+AD=1+1=2$；
$\overset{\frown}{EF}$的圆心为C，半径$r_3=CE=BC+BE=1+2=3$；
$\overset{\frown}{FG}$的圆心为A，半径$r_4=AF=AC+CF=1+3=4$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，曲线总长度为四段弧长之和：
$l_{\mathrm{总}}=\frac{120π×1}{180}+\frac{120π×2}{180}+\frac{120π×3}{180}+\frac{120π×4}{180}=\frac{120π×(1+2+3+4)}{180}=\frac{20π}{3}$。
（2）扇环$S_4$是圆心角为$120°$，外半径为4、内半径为1的扇环，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，扇环面积为外扇形面积减去内扇形面积：
$S_4=\frac{120π×4^2}{360}-\frac{120π×1^2}{360}=\frac{1920π-120π}{360}=5π$。
【答案】
(1) $\frac{20π}{3}$；(2) $5π$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算；正三角形的性质
【点评】
本题结合渐开线的新定义考查几何公式的应用，解题的关键是梳理清楚每段弧、每个扇形对应的圆心角和半径的变化规律，计算时注意不要漏算弧的段数或错用半径。
【难度系数】
0.6
本题考查弧长与扇形面积的计算，解题核心是抓住正三角形渐开线的特征：正三角形内角为$60°$，因此每段弧对应的扇形圆心角均为$120°$，且每段弧的半径依次增加1个正三角形的边长。
（1）求曲线总长度时，先找出组成曲线的4段弧各自的半径，再用弧长公式分别计算每段弧长，求和即可得到总长度；
（2）求扇环面积时，扇环面积等于同圆心角的外扇形面积减去内扇形面积，找准内外半径后代入扇形面积公式计算差值即可。
【解析】
（1）已知正$△ ABC$的边长为1，正三角形内角为$60°$，因此$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DE}$、$\overset{\frown}{EF}$、$\overset{\frown}{FG}$对应的扇形圆心角均为$180°-60°=120°$。
各段弧的半径分别为：
$\overset{\frown}{CD}$的圆心为A，半径$r_1=AC=1$；
$\overset{\frown}{DE}$的圆心为B，半径$r_2=BD=AB+AD=1+1=2$；
$\overset{\frown}{EF}$的圆心为C，半径$r_3=CE=BC+BE=1+2=3$；
$\overset{\frown}{FG}$的圆心为A，半径$r_4=AF=AC+CF=1+3=4$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，曲线总长度为四段弧长之和：
$l_{\mathrm{总}}=\frac{120π×1}{180}+\frac{120π×2}{180}+\frac{120π×3}{180}+\frac{120π×4}{180}=\frac{120π×(1+2+3+4)}{180}=\frac{20π}{3}$。
（2）扇环$S_4$是圆心角为$120°$，外半径为4、内半径为1的扇环，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，扇环面积为外扇形面积减去内扇形面积：
$S_4=\frac{120π×4^2}{360}-\frac{120π×1^2}{360}=\frac{1920π-120π}{360}=5π$。
【答案】
(1) $\frac{20π}{3}$；(2) $5π$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算；正三角形的性质
【点评】
本题结合渐开线的新定义考查几何公式的应用，解题的关键是梳理清楚每段弧、每个扇形对应的圆心角和半径的变化规律，计算时注意不要漏算弧的段数或错用半径。
【难度系数】
0.6
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,E为BC上一点,以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D,连接CD,若BE=OE=2。
(1)求证:∠A=2∠DCB;
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)。
(1)求证:∠A=2∠DCB;
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)。
答案
7.(1)略
(2)图中阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$。
(2)图中阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$。
解析
【分析】
(1)要证明∠A=2∠DCB，先连接OD，利用切线性质得到OD⊥AB，结合同圆半径相等推出∠DOE=2∠DCB，再通过同角的余角相等证明∠A=∠DOE，即可推导出结论。
(2)阴影部分是不规则图形，可转化为Rt△ODB的面积减去扇形ODE的面积计算。先根据已知线段长度求出Rt△ODB的边长和内角度数，分别计算三角形和扇形面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1)证明：连接OD
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ODB=90°
∴∠B+∠DOE=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°
∴∠A=∠DOE
∵OC=OD，
∴∠DCB=∠ODC
∴∠DOE=∠DCB+∠ODC=2∠DCB
∴∠A=2∠DCB，得证。
(2)解：
∵BE=OE=2，
∴⊙O半径$r=OD=OE=2$，$OB=OE+BE=4$
在Rt△ODB中，$OD=2$，$OB=4$
∴$\sin B=\frac{OD}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，∠DOE=60°
由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
∴$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}× OD× BD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
扇形ODE的面积$S_{扇形}=\frac{60°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{6}×π×2^2=\frac{2π}{3}$
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ ODB}-S_{扇形}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)图中阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$。
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与不规则图形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用切线性质推导角度关系，再将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解。
【难度系数】
0.65
(1)要证明∠A=2∠DCB，先连接OD，利用切线性质得到OD⊥AB，结合同圆半径相等推出∠DOE=2∠DCB，再通过同角的余角相等证明∠A=∠DOE，即可推导出结论。
(2)阴影部分是不规则图形，可转化为Rt△ODB的面积减去扇形ODE的面积计算。先根据已知线段长度求出Rt△ODB的边长和内角度数，分别计算三角形和扇形面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1)证明：连接OD
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ODB=90°
∴∠B+∠DOE=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°
∴∠A=∠DOE
∵OC=OD，
∴∠DCB=∠ODC
∴∠DOE=∠DCB+∠ODC=2∠DCB
∴∠A=2∠DCB，得证。
(2)解：
∵BE=OE=2，
∴⊙O半径$r=OD=OE=2$，$OB=OE+BE=4$
在Rt△ODB中，$OD=2$，$OB=4$
∴$\sin B=\frac{OD}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，∠DOE=60°
由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$
∴$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}× OD× BD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
扇形ODE的面积$S_{扇形}=\frac{60°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{6}×π×2^2=\frac{2π}{3}$
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ ODB}-S_{扇形}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)图中阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$。
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与不规则图形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用切线性质推导角度关系，再将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解。
【难度系数】
0.65
