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5.(1)用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值、正切值；(精确到0.0001)
(2)已知$\sin A＝0.328\ 6$，$\tan B＝10.08$，利用计算器求相应的锐角$A$，$B$。(精确到$0.01°$)
(2)已知$\sin A＝0.328\ 6$，$\tan B＝10.08$，利用计算器求相应的锐角$A$，$B$。(精确到$0.01°$)
答案
(1)$\sin A≈0.868 2$；
$\cos A≈0.496 1$；
$\tan A=1.75$。
(2)$∠A≈19.18°$，$∠B≈84.33°$。
$\cos A≈0.496 1$；
$\tan A=1.75$。
(2)$∠A≈19.18°$，$∠B≈84.33°$。
解析
【分析】
(1) 首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知两条直角边AC=2、BC=3.5，要求∠A的三个三角函数值，首先需要根据勾股定理求出斜边AB的长度；再结合锐角三角函数的定义：$\sin A$为∠A的对边与斜边的比，$\cos A$为∠A的邻边与斜边的比，$\tan A$为∠A的对边与邻边的比，分别代入对应边长计算，最后用计算器求出数值并按要求精确到0.0001即可。
(2) 已知锐角的三角函数值求对应角度，直接使用计算器的反三角函数功能，输入对应三角函数值，得出角度后按要求精确到0.01°即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=3.5$，
由勾股定理得，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3.5^2}=\sqrt{16.25}\approx4.0311$，
因此：
$\sin A=\frac{BC}{AB}\approx\frac{3.5}{4.0311}\approx0.8682$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}\approx\frac{2}{4.0311}\approx0.4961$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3.5}{2}=1.75$。
(2) 已知$\sin A=0.3286$，使用计算器的反正弦功能计算，可得$∠ A\approx19.18°$；
已知$\tan B=10.08$，使用计算器的反正切功能计算，可得$∠ B\approx84.33°$。
【答案】
(1)$\sin A≈0.868 2$；$\cos A≈0.496 1$；$\tan A=1.75$。
(2)$∠A≈19.18°$，$∠B≈84.33°$。
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，计算器求三角函数值及角度
【点评】
本题属于基础题型，重点考查锐角三角函数的基本概念和计算器的操作使用，解题时要准确区分各三角函数对应的边的比例关系，计算时严格按照题目要求的精度保留结果即可。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知两条直角边AC=2、BC=3.5，要求∠A的三个三角函数值，首先需要根据勾股定理求出斜边AB的长度；再结合锐角三角函数的定义：$\sin A$为∠A的对边与斜边的比，$\cos A$为∠A的邻边与斜边的比，$\tan A$为∠A的对边与邻边的比，分别代入对应边长计算，最后用计算器求出数值并按要求精确到0.0001即可。
(2) 已知锐角的三角函数值求对应角度，直接使用计算器的反三角函数功能，输入对应三角函数值，得出角度后按要求精确到0.01°即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=3.5$，
由勾股定理得，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3.5^2}=\sqrt{16.25}\approx4.0311$，
因此：
$\sin A=\frac{BC}{AB}\approx\frac{3.5}{4.0311}\approx0.8682$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}\approx\frac{2}{4.0311}\approx0.4961$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3.5}{2}=1.75$。
(2) 已知$\sin A=0.3286$，使用计算器的反正弦功能计算，可得$∠ A\approx19.18°$；
已知$\tan B=10.08$，使用计算器的反正切功能计算，可得$∠ B\approx84.33°$。
【答案】
(1)$\sin A≈0.868 2$；$\cos A≈0.496 1$；$\tan A=1.75$。
(2)$∠A≈19.18°$，$∠B≈84.33°$。
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，计算器求三角函数值及角度
【点评】
本题属于基础题型，重点考查锐角三角函数的基本概念和计算器的操作使用，解题时要准确区分各三角函数对应的边的比例关系，计算时严格按照题目要求的精度保留结果即可。
【难度系数】
0.7
6.用计算器求出下列三角函数的值，并填入下表（精确到0.01）：
α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°
sin α
cos α
从上面的表格中，你能发现哪些规律？与同伴进行交流。
α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°
sin α
0.17
0.34
0.50
0.77
0.87
0.94
0.98
cos α
0.98
0.94
0.87
0.77
0.64
0.50
0.34
0.17
从上面的表格中，你能发现哪些规律？与同伴进行交流。
答案
观察表格可得，$\sin α = \cos(90°−α)$。
解析
【分析】
解题分为三步：首先将计算器调整为角度运算模式，保证计算的是角度制下的三角函数值；其次依次输入表格对应角度，分别计算各角度的正弦值、余弦值，结果精确到0.01后填入表格；最后对比表格中sinα和cosα的数值变化、数值对应角度的关系，归纳总结规律。
【解析】
1. 计算三角函数值（精确到0.01）：
依次用计算器计算可得：
sin10°≈0.17，sin20°≈0.34，sin30°=0.50，sin40°≈0.64，sin50°≈0.77，sin60°≈0.87，sin70°≈0.94，sin80°≈0.98；
cos10°≈0.98，cos20°≈0.94，cos30°≈0.87，cos40°≈0.77，cos50°≈0.64，cos60°=0.50，cos70°≈0.34，cos80°≈0.17。
2. 规律总结：
观察表格数值可发现：①锐角的正弦值随角度增大而增大，锐角的余弦值随角度增大而减小；②对任意锐角α，都有$\sin α = \cos(90°−α)$，即互余的两个角，其中一个角的正弦值等于另一个角的余弦值。
【答案】
sinα行依次为：0.17、0.34、0.50、0.64、0.77、0.87、0.94、0.98；
cosα行依次为：0.98、0.94、0.87、0.77、0.64、0.50、0.34、0.17；
规律：$\sin α = \cos(90°−α)$（或锐角正弦随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小）。
【知识点】
计算器求锐角三角函数值，锐角三角函数性质，互余角三角函数关系
【点评】
本题结合基础计算器操作，通过计算、观察、归纳的过程探究锐角三角函数的规律，既锻炼了实操能力，也加深了对锐角三角函数相关性质的理解。
【难度系数】
0.8
解题分为三步：首先将计算器调整为角度运算模式，保证计算的是角度制下的三角函数值；其次依次输入表格对应角度，分别计算各角度的正弦值、余弦值，结果精确到0.01后填入表格；最后对比表格中sinα和cosα的数值变化、数值对应角度的关系，归纳总结规律。
【解析】
1. 计算三角函数值（精确到0.01）：
依次用计算器计算可得：
sin10°≈0.17，sin20°≈0.34，sin30°=0.50，sin40°≈0.64，sin50°≈0.77，sin60°≈0.87，sin70°≈0.94，sin80°≈0.98；
cos10°≈0.98，cos20°≈0.94，cos30°≈0.87，cos40°≈0.77，cos50°≈0.64，cos60°=0.50，cos70°≈0.34，cos80°≈0.17。
2. 规律总结：
观察表格数值可发现：①锐角的正弦值随角度增大而增大，锐角的余弦值随角度增大而减小；②对任意锐角α，都有$\sin α = \cos(90°−α)$，即互余的两个角，其中一个角的正弦值等于另一个角的余弦值。
【答案】
sinα行依次为：0.17、0.34、0.50、0.64、0.77、0.87、0.94、0.98；
cosα行依次为：0.98、0.94、0.87、0.77、0.64、0.50、0.34、0.17；
规律：$\sin α = \cos(90°−α)$（或锐角正弦随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小）。
【知识点】
计算器求锐角三角函数值，锐角三角函数性质，互余角三角函数关系
【点评】
本题结合基础计算器操作，通过计算、观察、归纳的过程探究锐角三角函数的规律，既锻炼了实操能力，也加深了对锐角三角函数相关性质的理解。
【难度系数】
0.8
7.等腰三角形中,两腰和底的长分别是10和13,求三角形的三个内角的度数(精确到1′)。
答案
等腰三角形的三个内角分别为 $81°4'$，$49°28'$，$49°28'$。
解析
【分析】
要解决本题，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点作底边的高，将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，把求等腰三角形内角的问题转化为求直角三角形锐角的问题。先在直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出底角的三角函数值，再用计算器反求对应的底角度数，最后根据三角形内角和定理求出顶角的度数，注意最终结果要精确到1′。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，腰长$AB=AC=10$，底边长$BC=13$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，根据等腰三角形三线合一的性质可得：
$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{13}{2}=6.5$，$∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据余弦的定义：
$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{6.5}{10}=0.65$
用计算器计算得底角$∠ B\approx49°28'$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ C=∠ B\approx49°28'$。
根据三角形内角和为$180°$，顶角$∠ BAC=180°-2∠ B\approx180°-2×49°28'=81°4'$。
【答案】
等腰三角形的三个内角分别为 $81°4'$，$49°28'$，$49°28'$。
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；计算器求锐角角度
【点评】
本题是等腰三角形与锐角三角函数的综合应用题目，解题的核心是通过作底边上的高将等腰三角形转化为直角三角形，将未知问题转化为已知的直角三角形求解问题，计算时要注意度分的换算和精度要求。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点作底边的高，将等腰三角形分割为两个全等的直角三角形，把求等腰三角形内角的问题转化为求直角三角形锐角的问题。先在直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出底角的三角函数值，再用计算器反求对应的底角度数，最后根据三角形内角和定理求出顶角的度数，注意最终结果要精确到1′。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，腰长$AB=AC=10$，底边长$BC=13$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，根据等腰三角形三线合一的性质可得：
$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{13}{2}=6.5$，$∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据余弦的定义：
$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{6.5}{10}=0.65$
用计算器计算得底角$∠ B\approx49°28'$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ C=∠ B\approx49°28'$。
根据三角形内角和为$180°$，顶角$∠ BAC=180°-2∠ B\approx180°-2×49°28'=81°4'$。
【答案】
等腰三角形的三个内角分别为 $81°4'$，$49°28'$，$49°28'$。
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；计算器求锐角角度
【点评】
本题是等腰三角形与锐角三角函数的综合应用题目，解题的核心是通过作底边上的高将等腰三角形转化为直角三角形，将未知问题转化为已知的直角三角形求解问题，计算时要注意度分的换算和精度要求。
【难度系数】
0.7
8. 用计算器分别求出下列三组三角函数的值：
sin 13°,cos 77°；
sin 62°18′,cos 27°42′；
sin 83°21′,cos 6°39′。
由此你发现的规律是
sin 13°,cos 77°；
sin 62°18′,cos 27°42′；
sin 83°21′,cos 6°39′。
由此你发现的规律是
sin α = cos(90°−α)
（答案不唯一）
。答案
求值略。$\sin α = \cos(90°−α)$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先将计算器调整为角度制模式，分别计算出每组中正弦、余弦函数的数值；②对比每组两个函数的计算结果，可发现每组的两个数值相等；③再观察每组中两个角的度数和，可发现每组两个角相加都等于90°，即两角互余；④最后结合角的关系和函数值的关系，总结出普遍规律即可。
【解析】
1. 计算各组三角函数值：
第一组：$\sin 13° \approx 0.2250$，$\cos 77° \approx 0.2250$，二者数值相等；
第二组：$\sin 62°18' \approx 0.8857$，$\cos 27°42' \approx 0.8857$，二者数值相等；
第三组：$\sin 83°21' \approx 0.9933$，$\cos 6°39' \approx 0.9933$，二者数值相等。
2. 观察角的关系：
$13°+77°=90°$，$62°18'+27°42'=90°$，$83°21'+6°39'=90°$，即每组中正弦对应的锐角和余弦对应的锐角互为余角。
3. 总结规律：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，用公式表示为$\sin α = \cos(90°−α)$（也可表述为任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即$\cos α = \sin(90°−α)$，均正确）。
【答案】
求值略。$\sin α = \cos(90°−α)$(答案不唯一)
【知识点】
1. 计算器求锐角三角函数值
2. 互余两角的三角函数关系
【点评】
本题既考查了计算器计算锐角三角函数的操作技能，又考查了观察、归纳数学规律的能力，是锐角三角函数基础性质的典型应用题目，计算时要注意度分秒的正确输入，避免操作失误。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下步骤思考：①先将计算器调整为角度制模式，分别计算出每组中正弦、余弦函数的数值；②对比每组两个函数的计算结果，可发现每组的两个数值相等；③再观察每组中两个角的度数和，可发现每组两个角相加都等于90°，即两角互余；④最后结合角的关系和函数值的关系，总结出普遍规律即可。
【解析】
1. 计算各组三角函数值：
第一组：$\sin 13° \approx 0.2250$，$\cos 77° \approx 0.2250$，二者数值相等；
第二组：$\sin 62°18' \approx 0.8857$，$\cos 27°42' \approx 0.8857$，二者数值相等；
第三组：$\sin 83°21' \approx 0.9933$，$\cos 6°39' \approx 0.9933$，二者数值相等。
2. 观察角的关系：
$13°+77°=90°$，$62°18'+27°42'=90°$，$83°21'+6°39'=90°$，即每组中正弦对应的锐角和余弦对应的锐角互为余角。
3. 总结规律：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，用公式表示为$\sin α = \cos(90°−α)$（也可表述为任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即$\cos α = \sin(90°−α)$，均正确）。
【答案】
求值略。$\sin α = \cos(90°−α)$(答案不唯一)
【知识点】
1. 计算器求锐角三角函数值
2. 互余两角的三角函数关系
【点评】
本题既考查了计算器计算锐角三角函数的操作技能，又考查了观察、归纳数学规律的能力，是锐角三角函数基础性质的典型应用题目，计算时要注意度分秒的正确输入，避免操作失误。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$△ ABC$中,$AB=8,AC=9,∠A=48^{\circ }$。
求:(1)$AB$边上的高(精确到$0.01$);
(2)$∠B$的度数(精确到$1'$)。
求:(1)$AB$边上的高(精确到$0.01$);
(2)$∠B$的度数(精确到$1'$)。
答案
(1)作 AB 边上的高 CH,垂足为 H，因为在$\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，$\sin A =\frac{CH}{AC}$，所以 $CH = AC · \sin A = 9\sin 48°≈6.69$。
(2)因为在$\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，$\cos A =\frac{AH}{AC}$，所以 $AH = AC · \cos A = 9\cos 48°$。
所以在$\mathrm{Rt}△ BCH$ 中，$\tan B =\frac{CH}{BH} =\frac{CH}{AB-AH} =\frac{9\sin 48°}{8-9\cos 48°}≈3.382$。
所以$∠B≈73°32'$。
配图：
解析
【分析】
解决本题的核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用解直角三角形的知识求解：
(1)求AB边上的高时，过C作CH⊥AB构造Rt△ACH，已知AC和∠A的度数，根据正弦函数的定义即可求出高CH的长度；
(2)求∠B的度数时，先在Rt△ACH中用余弦函数求出AH的长度，再得到BH的长度，最后在Rt△BCH中根据正切函数的定义求出tanB的值，用计算器即可得到∠B的度数。
【解析】
(1) 作AB边上的高CH，垂足为H。
在$\mathrm{Rt}△ACH$中，$\sin A =\frac{CH}{AC}$，
代入数据得：$CH = AC · \sin A = 9\sin 48°≈9×0.7431≈6.69$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ACH$中，$\cos A =\frac{AH}{AC}$，
代入数据得：$AH = AC · \cos A = 9\cos 48°≈9×0.6691≈6.022$，
则$BH = AB - AH = 8 - 6.022 = 1.978$。
在$\mathrm{Rt}△BCH$中，$\tan B =\frac{CH}{BH}≈\frac{6.69}{1.978}≈3.382$，
用计算器计算得：$∠B≈73°32'$。
【答案】
(1) $AB$边上的高约为$\boxed{6.69}$；
(2) $∠ B$约为$\boxed{73°32'}$。
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，三角函数值计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题目，通过作辅助线转化图形是解题的关键，解题过程中要注意精度要求，熟练使用计算器计算三角函数值和对应锐角度数。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，利用解直角三角形的知识求解：
(1)求AB边上的高时，过C作CH⊥AB构造Rt△ACH，已知AC和∠A的度数，根据正弦函数的定义即可求出高CH的长度；
(2)求∠B的度数时，先在Rt△ACH中用余弦函数求出AH的长度，再得到BH的长度，最后在Rt△BCH中根据正切函数的定义求出tanB的值，用计算器即可得到∠B的度数。
【解析】
(1) 作AB边上的高CH，垂足为H。
在$\mathrm{Rt}△ACH$中，$\sin A =\frac{CH}{AC}$，
代入数据得：$CH = AC · \sin A = 9\sin 48°≈9×0.7431≈6.69$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ACH$中，$\cos A =\frac{AH}{AC}$，
代入数据得：$AH = AC · \cos A = 9\cos 48°≈9×0.6691≈6.022$，
则$BH = AB - AH = 8 - 6.022 = 1.978$。
在$\mathrm{Rt}△BCH$中，$\tan B =\frac{CH}{BH}≈\frac{6.69}{1.978}≈3.382$，
用计算器计算得：$∠B≈73°32'$。
【答案】
(1) $AB$边上的高约为$\boxed{6.69}$；
(2) $∠ B$约为$\boxed{73°32'}$。
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，三角函数值计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题目，通过作辅助线转化图形是解题的关键，解题过程中要注意精度要求，熟练使用计算器计算三角函数值和对应锐角度数。
【难度系数】
0.7
10.(1)通过计算(可用计算器),比较下列各对数的大小,并提出你的猜想。
①sin 30°
②sin 36°
③sin 45°
④sin 60°
⑤sin 80°
猜想:已知0°＜α＜45°,则sin 2α
(2)请你写出类似的等式,并用计算器验证,一般地,你能得到怎样的等式?请用符号语言和文字语言叙述你的结论。
(3)根据你的结论解答:若sin 16°=a,cos 16°=b,求sin 32°的值。
(4)如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=2α,请根据提示,利用面积方法验证结论。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
①sin 30°
=
2sin 15°cos 15°;②sin 36°
=
2sin 18°cos 18°;③sin 45°
=
2sin 22.5°cos 22.5°;④sin 60°
=
2sin 30°cos 30°;⑤sin 80°
=
2sin 40°cos 40°。猜想:已知0°＜α＜45°,则sin 2α
=
2sin αcos α。(2)请你写出类似的等式,并用计算器验证,一般地,你能得到怎样的等式?请用符号语言和文字语言叙述你的结论。
(3)根据你的结论解答:若sin 16°=a,cos 16°=b,求sin 32°的值。
(4)如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=2α,请根据提示,利用面积方法验证结论。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
(1)①= ②= ③= ④= ⑤= 猜想：=
(2)文字表述:正弦函数在角度为 2α 时的值等于角度为 α 时正弦函数和余弦函数值之积的 2 倍。
(3)$\sin 32°=2ab$。
(4)证明:$S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · \sin 2α · AC$，$S_{△ ABC} = 2×\frac{1}{2}AB\sin α · AC\cos α$，所以 $\sin 2α=2\sin α\cos α$。
(2)文字表述:正弦函数在角度为 2α 时的值等于角度为 α 时正弦函数和余弦函数值之积的 2 倍。
(3)$\sin 32°=2ab$。
(4)证明:$S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · \sin 2α · AC$，$S_{△ ABC} = 2×\frac{1}{2}AB\sin α · AC\cos α$，所以 $\sin 2α=2\sin α\cos α$。
解析
【分析】
(1) 可先借助计算器分别计算每组式子左右两边的数值，对比大小，再通过多组相等的结果归纳出通用猜想；
(2) 仿照(1)的形式写出类似等式验证后，将猜想分别用符号和文字表述即可；
(3) 观察可得32°是16°的2倍，直接套用归纳出的二倍角正弦公式代入计算即可；
(4) 用两种不同的方法计算同一个△ABC的面积，根据面积相等建立等式，化简后即可验证二倍角正弦结论。
【解析】
(1) 用计算器计算每组左右两边的值：
① $\sin30°=0.5$，$2\sin15°\cos15°\approx2×0.2588×0.9659=0.5$，二者相等；
② $\sin36°\approx0.5878$，$2\sin18°\cos18°\approx2×0.3090×0.9511\approx0.5878$，二者相等；
同理计算③④⑤，左右两边数值均相等，因此猜想：当$0°＜α＜45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$。
(2) 示例等式：$\sin70°=2\sin35°\cos35°$，用计算器验证两边相等；
通用结论：符号语言为对任意锐角$α$，$\boxed{\sin2α=2\sinα\cosα}$；文字语言为：一个锐角二倍角的正弦值，等于该角的正弦值与余弦值乘积的2倍。
(3) 因为$32°=2×16°$，根据二倍角正弦公式可得：
$\sin32°=\sin(2×16°)=2\sin16°\cos16°$，代入$\sin16°=a$，$\cos16°=b$，得$\sin32°=2ab$。
(4) 证明：
方法一：根据两边及夹角的三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC·\sin∠ BAC$，代入$AB=AC=1$，$∠ BAC=2α$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}\sin2α$；
方法二：等腰$△ ABC$中$AD⊥ BC$，则$AD$平分$∠ BAC$，在$Rt△ ABD$中，$AD=AB·\cosα=\cosα$，$BD=AB·\sinα=\sinα$，故$BC=2BD=2\sinα$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×2\sinα×\cosα=\sinα\cosα$；
两式均表示$△ ABC$的面积，因此$\frac{1}{2}\sin2α=\sinα\cosα$，化简得$\sin2α=2\sinα\cosα$，结论得证。
【答案】
(1)①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；⑤$=$；$=$
(2)符号语言：$\sin2α=2\sinα\cosα$（$α$为锐角）；文字语言：正弦函数在角度为$2α$时的值等于角度为$α$时正弦函数和余弦函数值之积的2倍
(3)$\sin32°=2ab$
(4)证明如上，$\sin2α=2\sinα\cosα$成立
【知识点】
锐角三角函数；二倍角正弦公式；面积法证明
【点评】
本题遵循从特殊到一般的认知规律，从特殊值计算切入，引导学生自主猜想、验证并应用结论，既考查了锐角三角函数的基础计算，也锻炼了归纳推理能力和面积法在几何证明中的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 可先借助计算器分别计算每组式子左右两边的数值，对比大小，再通过多组相等的结果归纳出通用猜想；
(2) 仿照(1)的形式写出类似等式验证后，将猜想分别用符号和文字表述即可；
(3) 观察可得32°是16°的2倍，直接套用归纳出的二倍角正弦公式代入计算即可；
(4) 用两种不同的方法计算同一个△ABC的面积，根据面积相等建立等式，化简后即可验证二倍角正弦结论。
【解析】
(1) 用计算器计算每组左右两边的值：
① $\sin30°=0.5$，$2\sin15°\cos15°\approx2×0.2588×0.9659=0.5$，二者相等；
② $\sin36°\approx0.5878$，$2\sin18°\cos18°\approx2×0.3090×0.9511\approx0.5878$，二者相等；
同理计算③④⑤，左右两边数值均相等，因此猜想：当$0°＜α＜45°$时，$\sin2α=2\sinα\cosα$。
(2) 示例等式：$\sin70°=2\sin35°\cos35°$，用计算器验证两边相等；
通用结论：符号语言为对任意锐角$α$，$\boxed{\sin2α=2\sinα\cosα}$；文字语言为：一个锐角二倍角的正弦值，等于该角的正弦值与余弦值乘积的2倍。
(3) 因为$32°=2×16°$，根据二倍角正弦公式可得：
$\sin32°=\sin(2×16°)=2\sin16°\cos16°$，代入$\sin16°=a$，$\cos16°=b$，得$\sin32°=2ab$。
(4) 证明：
方法一：根据两边及夹角的三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC·\sin∠ BAC$，代入$AB=AC=1$，$∠ BAC=2α$，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}\sin2α$；
方法二：等腰$△ ABC$中$AD⊥ BC$，则$AD$平分$∠ BAC$，在$Rt△ ABD$中，$AD=AB·\cosα=\cosα$，$BD=AB·\sinα=\sinα$，故$BC=2BD=2\sinα$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×2\sinα×\cosα=\sinα\cosα$；
两式均表示$△ ABC$的面积，因此$\frac{1}{2}\sin2α=\sinα\cosα$，化简得$\sin2α=2\sinα\cosα$，结论得证。
【答案】
(1)①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；⑤$=$；$=$
(2)符号语言：$\sin2α=2\sinα\cosα$（$α$为锐角）；文字语言：正弦函数在角度为$2α$时的值等于角度为$α$时正弦函数和余弦函数值之积的2倍
(3)$\sin32°=2ab$
(4)证明如上，$\sin2α=2\sinα\cosα$成立
【知识点】
锐角三角函数；二倍角正弦公式；面积法证明
【点评】
本题遵循从特殊到一般的认知规律，从特殊值计算切入，引导学生自主猜想、验证并应用结论，既考查了锐角三角函数的基础计算，也锻炼了归纳推理能力和面积法在几何证明中的运用能力。
【难度系数】
0.7
