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1.如图,根据图中条件能判定三角形是等边三角形的是.(填序号) 
答案
解：
① 三角形三边长为5,5,4，是等腰三角形，不是等边三角形；
② 三角形三边长均为5，三边相等，是等边三角形；
③ 三角形两个内角为60°，第三个内角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角都为60°，是等边三角形；
④ 仅已知一个内角为60°，无法判定其余边、角的关系，不能判定为等边三角形；
⑤ 三角形有两边长均为5，是等腰三角形，且顶角为60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
⑥ 三角形有两边长均为5，是等腰三角形，且有一个内角为60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
综上，能判定三角形是等边三角形的是$\boldsymbol{②③⑤⑥}$。
① 三角形三边长为5,5,4，是等腰三角形，不是等边三角形；
② 三角形三边长均为5，三边相等，是等边三角形；
③ 三角形两个内角为60°，第三个内角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角都为60°，是等边三角形；
④ 仅已知一个内角为60°，无法判定其余边、角的关系，不能判定为等边三角形；
⑤ 三角形有两边长均为5，是等腰三角形，且顶角为60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
⑥ 三角形有两边长均为5，是等腰三角形，且有一个内角为60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
综上，能判定三角形是等边三角形的是$\boldsymbol{②③⑤⑥}$。
解析
【分析】
解决本题首先要熟记等边三角形的3种判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都为60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来我们逐个分析每个三角形给出的已知条件，对照上述判定标准判断是否为等边三角形，排除不符合的，汇总符合的序号即可。
【解析】
① 该三角形三边长为5、5、4，仅两边相等，是等腰三角形，不满足三边相等，不是等边三角形；
② 该三角形三边长均为5，三边都相等，符合等边三角形判定，是等边三角形；
③ 该三角形已知两个内角为60°，根据三角形内角和为180°，第三个内角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角都为60°，符合等边三角形判定，是等边三角形；
④ 该三角形仅已知一个内角为60°，无法确定其余角、边的关系，不能判定为等边三角形；
⑤ 该三角形两边长均为5，是等腰三角形，且顶角为60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，是等边三角形；
⑥ 该三角形两边长均为5，是等腰三角形，且底角为60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，是等边三角形。
综上，能判定是等边三角形的是②③⑤⑥。
【答案】
$\boldsymbol{②③⑤⑥}$
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形判定的基础应用题，需要准确掌握不同判定条件的要求，分析时要结合给出的边、角信息逐一验证，尤其注意“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定的应用，避免漏判或误判仅给出单个60°角的情况。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要熟记等边三角形的3种判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形；②三个内角都为60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来我们逐个分析每个三角形给出的已知条件，对照上述判定标准判断是否为等边三角形，排除不符合的，汇总符合的序号即可。
【解析】
① 该三角形三边长为5、5、4，仅两边相等，是等腰三角形，不满足三边相等，不是等边三角形；
② 该三角形三边长均为5，三边都相等，符合等边三角形判定，是等边三角形；
③ 该三角形已知两个内角为60°，根据三角形内角和为180°，第三个内角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角都为60°，符合等边三角形判定，是等边三角形；
④ 该三角形仅已知一个内角为60°，无法确定其余角、边的关系，不能判定为等边三角形；
⑤ 该三角形两边长均为5，是等腰三角形，且顶角为60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，是等边三角形；
⑥ 该三角形两边长均为5，是等腰三角形，且底角为60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定，是等边三角形。
综上，能判定是等边三角形的是②③⑤⑥。
【答案】
$\boldsymbol{②③⑤⑥}$
【知识点】
等边三角形的判定、三角形内角和定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形判定的基础应用题，需要准确掌握不同判定条件的要求，分析时要结合给出的边、角信息逐一验证，尤其注意“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定的应用，避免漏判或误判仅给出单个60°角的情况。
【难度系数】
0.75
2.如图,等边△ABC的边长如图所示,那么y=。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题思路要结合等边三角形的性质推导：首先回忆等边三角形的核心性质是三条边长度相等，观察题图可知AB和BC的边长表达式仅含未知数x，因此先利用AB=BC列一元一次方程求出x的值，再计算出等边三角形的边长，最后利用AC等于边长的关系列方程即可求出y的值。
【解析】
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
首先根据AB=BC列方程：
$2x+3=6-x$
移项得：$2x+x=6-3$
合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
则等边三角形的边长为$AB=2×1+3=5$
再根据AC=边长列方程：
$2y-1=5$
移项得：$2y=5+1=6$
解得：$y=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用，解题关键是熟练掌握等边三角形三边相等的性质，通过建立一元一次方程求解未知量，逻辑链条清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题思路要结合等边三角形的性质推导：首先回忆等边三角形的核心性质是三条边长度相等，观察题图可知AB和BC的边长表达式仅含未知数x，因此先利用AB=BC列一元一次方程求出x的值，再计算出等边三角形的边长，最后利用AC等于边长的关系列方程即可求出y的值。
【解析】
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
首先根据AB=BC列方程：
$2x+3=6-x$
移项得：$2x+x=6-3$
合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
则等边三角形的边长为$AB=2×1+3=5$
再根据AC=边长列方程：
$2y-1=5$
移项得：$2y=5+1=6$
解得：$y=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用，解题关键是熟练掌握等边三角形三边相等的性质，通过建立一元一次方程求解未知量，逻辑链条清晰，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,已知直线$l_1 // l_2$,将等边三角形如图放置.若$∠ α = 40°$,则$∠ β =$.
答案
20°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆等边三角形的性质，其每个内角均为60°；再结合已知$l_1 // l_2$的条件，考虑通过作辅助线构造平行线，利用平行线内错角相等的性质，建立$∠ α$、$∠ β$和等边三角形内角的数量关系，进而求出$∠ β$的度数。具体步骤：先过等边三角形夹在两条平行线之间的顶点作平行于$l_1$的直线，根据平行线的传递性可知该直线也平行于$l_2$，再利用内错角相等可证$∠ α + ∠ β$等于等边三角形的内角60°，代入$∠ α$的度数即可计算出$∠ β$。
【解析】
过等边三角形位于$l_1$、$l_2$之间的顶点作直线$l // l_1$。
∵ $l_1 // l_2$，
∴ $l // l_2$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：
$∠ β$等于直线$l$与等边三角形上侧边的夹角，$∠ α$等于直线$l$与等边三角形下侧边的夹角。
∵ 等边三角形的内角为$60°$，
∴ $∠ α + ∠ β = 60°$。
已知$∠ α = 40°$，代入得：
$∠ β = 60° - 40° = 20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理推论
【点评】
本题为平行线与等边三角形性质的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，利用平行线的内错角相等建立角度间的等量关系，是几何角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆等边三角形的性质，其每个内角均为60°；再结合已知$l_1 // l_2$的条件，考虑通过作辅助线构造平行线，利用平行线内错角相等的性质，建立$∠ α$、$∠ β$和等边三角形内角的数量关系，进而求出$∠ β$的度数。具体步骤：先过等边三角形夹在两条平行线之间的顶点作平行于$l_1$的直线，根据平行线的传递性可知该直线也平行于$l_2$，再利用内错角相等可证$∠ α + ∠ β$等于等边三角形的内角60°，代入$∠ α$的度数即可计算出$∠ β$。
【解析】
过等边三角形位于$l_1$、$l_2$之间的顶点作直线$l // l_1$。
∵ $l_1 // l_2$，
∴ $l // l_2$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据“两直线平行，内错角相等”可得：
$∠ β$等于直线$l$与等边三角形上侧边的夹角，$∠ α$等于直线$l$与等边三角形下侧边的夹角。
∵ 等边三角形的内角为$60°$，
∴ $∠ α + ∠ β = 60°$。
已知$∠ α = 40°$，代入得：
$∠ β = 60° - 40° = 20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理推论
【点评】
本题为平行线与等边三角形性质的综合基础题，解题的关键是合理构造辅助线，利用平行线的内错角相等建立角度间的等量关系，是几何角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
4.如图,在等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°,DE交∠ACB的外角平分线于点E,则△ADE是三角形.
答案
等边
解析
【分析】
要判断△ADE的形状，已知∠ADE=60°，结合等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此只需证明AD=DE即可。首先利用等边△ABC的性质得到内角为60°、边相等，再结合角平分线的性质得到相关角度相等，通过截长法构造全等三角形，证明AD=DE，进而推导△ADE的形状。
【解析】
在AB上截取BF=BD，连接DF。
1. 由等边△ABC的性质得：
AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∵BF=BD，∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，DF=BD，∠AFD=180°-∠BFD=120°，
且AB-BF=BC-BD，即AF=CD。
2. 计算∠DCE的度数：
∠ACB的外角为180°-60°=120°，
∵CE平分该外角，
∴外角被平分为两个60°的角，
∴∠DCE=∠ACB + 60°=120°，即∠AFD=∠DCE=120°。
3. 推导角度相等：
∠ADC是△ABD的外角，故∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠CDE。
4. 证全等得边相等：
在△AFD和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠FAD=∠CDE \\AF=CD \\∠AFD=∠DCE\end{array} $
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE。
5. 判定△ADE的形状：
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题的核心是通过构造全等三角形转化边相等的关系，解题时要灵活运用等边三角形的角度性质、外角性质推导角相等，辅助线的构造是突破点。
【难度系数】
0.65
要判断△ADE的形状，已知∠ADE=60°，结合等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此只需证明AD=DE即可。首先利用等边△ABC的性质得到内角为60°、边相等，再结合角平分线的性质得到相关角度相等，通过截长法构造全等三角形，证明AD=DE，进而推导△ADE的形状。
【解析】
在AB上截取BF=BD，连接DF。
1. 由等边△ABC的性质得：
AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∵BF=BD，∠B=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，DF=BD，∠AFD=180°-∠BFD=120°，
且AB-BF=BC-BD，即AF=CD。
2. 计算∠DCE的度数：
∠ACB的外角为180°-60°=120°，
∵CE平分该外角，
∴外角被平分为两个60°的角，
∴∠DCE=∠ACB + 60°=120°，即∠AFD=∠DCE=120°。
3. 推导角度相等：
∠ADC是△ABD的外角，故∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，
又
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠CDE。
4. 证全等得边相等：
在△AFD和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠FAD=∠CDE \\AF=CD \\∠AFD=∠DCE\end{array} $
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE。
5. 判定△ADE的形状：
∵AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
等边
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题的核心是通过构造全等三角形转化边相等的关系，解题时要灵活运用等边三角形的角度性质、外角性质推导角相等，辅助线的构造是突破点。
【难度系数】
0.65
5.将含$30°$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知$∠α=60°$，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为cm.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时先从直尺刻度入手，先算出线段BC的长度；再根据直尺对边平行的性质，结合已知的∠α的度数，得到△ABC中∠ACB的度数；最后根据等边三角形的判定与性质，即可推出AB和BC的等量关系，求出AB的长度。
【解析】
1. 计算BC的长度：已知点B刻度为1cm，点C刻度为3cm，因此$ BC = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $。
2. 利用平行线性质求角：因为直尺的上下两条边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$ ∠ ACB = ∠ α = 60° $。
3. 判断三角形形状并求AB：由图可知$ ∠ A = 60° $，因此在$ △ ABC $中，$ ∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 60° - 60° = 60° $，三个角均为60°，故$ △ ABC $是等边三角形，因此$ AB = BC = 2\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；刻度尺读数
【点评】
本题是几何基础综合题，将实际测量和几何性质结合考查，解题的关键是通过平行线性质得到角的等量关系，进而判断三角形的形状，这类题是三角形章节的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先从直尺刻度入手，先算出线段BC的长度；再根据直尺对边平行的性质，结合已知的∠α的度数，得到△ABC中∠ACB的度数；最后根据等边三角形的判定与性质，即可推出AB和BC的等量关系，求出AB的长度。
【解析】
1. 计算BC的长度：已知点B刻度为1cm，点C刻度为3cm，因此$ BC = 3 - 1 = 2\ \mathrm{cm} $。
2. 利用平行线性质求角：因为直尺的上下两条边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$ ∠ ACB = ∠ α = 60° $。
3. 判断三角形形状并求AB：由图可知$ ∠ A = 60° $，因此在$ △ ABC $中，$ ∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 60° - 60° = 60° $，三个角均为60°，故$ △ ABC $是等边三角形，因此$ AB = BC = 2\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；刻度尺读数
【点评】
本题是几何基础综合题，将实际测量和几何性质结合考查，解题的关键是通过平行线性质得到角的等量关系，进而判断三角形的形状，这类题是三角形章节的常见考法。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示的是某种落地灯的简易示意图，AB为立杆，BC为支杆，可绕点B旋转，DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度。为了使落地灯更方便照明，小唯将该落地灯进行了调整，使悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等，且∠BCE=120°.若CD的长为50 cm，则此时B，D两点之间的距离为cm.
答案
50
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先已知CD=BC，CD长为50cm，可先得到BC的长度；再根据∠BCE=120°，利用平角为180°求出∠BCD的度数；最后根据三角形边和角的特征判定△BCD的形状，即可求出B、D两点的距离。
【解析】
连接BD，
由题意可知：BC=CD=50cm，
∵∠BCE=120°，∠BCE与∠BCD组成平角，
∴∠BCD=180°-120°=60°，
在△BCD中，BC=CD，且∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴BD=BC=50cm。
【答案】
50
【知识点】
平角的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确求出∠BCD的度数，结合等边三角形的判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先已知CD=BC，CD长为50cm，可先得到BC的长度；再根据∠BCE=120°，利用平角为180°求出∠BCD的度数；最后根据三角形边和角的特征判定△BCD的形状，即可求出B、D两点的距离。
【解析】
连接BD，
由题意可知：BC=CD=50cm，
∵∠BCE=120°，∠BCE与∠BCD组成平角，
∴∠BCD=180°-120°=60°，
在△BCD中，BC=CD，且∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴BD=BC=50cm。
【答案】
50
【知识点】
平角的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确求出∠BCD的度数，结合等边三角形的判定定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$DE // BC$，分别交 $AB$，$AC$ 于点 $D$，$E$，点 $P$ 为线段 $AE$ 上任意一点. 若 $∠ DPE = 80°$，则 $∠ PDE$ 的度数为()
A.$20°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$100°$
A.$20°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$100°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可直接得到其内角为60°；再结合DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等，可推出△DPE中∠PED的度数；最后在△DPE中，利用三角形内角和为180°，代入已知的∠DPE=80°和求出的∠PED的度数，即可计算出∠PDE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE//BC，
∴∠AED=∠C=60°（两直线平行，同位角相等），即∠PED=60°，
在△DPE中，根据三角形内角和定理得：
∠PDE=180°-∠DPE-∠PED=180°-80°-60°=40°。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了三角形相关的基础性质，只要熟练掌握等边三角形内角特征、平行线的角的关系以及三角形内角和定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可直接得到其内角为60°；再结合DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等，可推出△DPE中∠PED的度数；最后在△DPE中，利用三角形内角和为180°，代入已知的∠DPE=80°和求出的∠PED的度数，即可计算出∠PDE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE//BC，
∴∠AED=∠C=60°（两直线平行，同位角相等），即∠PED=60°，
在△DPE中，根据三角形内角和定理得：
∠PDE=180°-∠DPE-∠PED=180°-80°-60°=40°。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了三角形相关的基础性质，只要熟练掌握等边三角形内角特征、平行线的角的关系以及三角形内角和定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
