8.在△ABC中，AB=AC，添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是()

A.∠A=60°
B.AC=BC
C.∠B的补角等于∠C的补角
D.AB边上的高也是AB边上的中线

C

【分析】
首先由已知AB=AC可知△ABC是等腰三角形，需结合等边三角形的判定定理逐一分析各选项：等边三角形的判定依据有三类：①三边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；③三个角都相等的三角形是等边三角形。我们只需判断每个选项添加后是否满足以上判定条件，即可选出不能判定的选项。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，且∠B=∠C。
A. 若∠A=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
B. 若AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，根据“三边相等的三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
C. 若∠B的补角等于∠C的补角，可得180°-∠B=180°-∠C，即∠B=∠C，这是等腰△ABC本身就具备的性质，无法推出有内角为60°或第三边与腰相等，不能判定△ABC是等边三角形，符合题意；
D. 若AB边上的高也是AB边上的中线，说明点C在AB的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定，等腰三角形的性质，补角的性质
【点评】
本题核心是区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，解题时要注意优先利用题目给出的已知等腰属性，再逐一验证新增条件是否能让等腰升级为等边，不要忽略等腰三角形本身固有的性质，避免将原本就成立的性质误认为是新增判定条件。
【难度系数】
0.75

9.如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是()

A.4
B.5
C.6
D.8

C

【分析】
首先梳理已知条件：等边△ABC的三个内角均为60°，三边相等，已知AC=9、AO=3，可先算出OC=6；再结合旋转的性质可知OP=OD，且旋转角∠POD=60°。接下来通过角的等量代换推导全等条件：平角∠AOC为180°，因此∠AOP+∠COD=180°-60°=120°；在△AOP中，∠A=60°，因此∠AOP+∠APO=180°-60°=120°，可推出∠APO=∠COD。结合∠A=∠C=60°、OP=OD，即可证明△AOP和△CDO全等，利用全等三角形对应边相等就能求出AP的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，AC=9，
又
∵AO=3，
∴OC=AC-AO=9-3=6，
由旋转的性质可得：OP=OD，∠POD=60°，
∵∠AOP + ∠COD = 180° - ∠POD = 180°-60°=120°，
在△AOP中，∠AOP + ∠APO = 180° - ∠A = 180°-60°=120°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠APO = ∠COD \\OP = OD\end{array} $
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等边三角形章节的典型考题，解题核心是通过角的等量代换找到全等三角形的判定条件，再结合旋转和等边三角形的性质求解线段长度，对基础知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

10.如图,在$△ ABC$中,$D$,$E$是$BC$上两点,且$BD=DE=AD=AE=EC$,则$∠ BAC$的度数是()

A.$90°$
B.$108°$
C.$120°$
D.$135°$

C

【分析】
解题时首先观察已知条件$AD=DE=AE$，可先判定$△ ADE$是等边三角形，得到它的各内角为$60°$；再根据$BD=AD$、$AE=EC$，可知$△ ABD$和$△ AEC$都是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可求出$∠ B$和$∠ C$的度数，最后利用三角形内角和为$180°$，即可算出$∠ BAC$的度数。
【解析】
解：$\because AD=DE=AE$，
$\therefore △ ADE$是等边三角形，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED=∠ DAE=60°$。
$\because BD=AD$，$\therefore △ ABD$是等腰三角形，$∠ B=∠ BAD$，
又$\because ∠ ADE$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADE=∠ B+∠ BAD=2∠ B=60°$，
解得$∠ B=30°$，同理可得$∠ C=30°$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-30°=120°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，等边三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题的突破口是先识别出等边三角形$△ ADE$，再结合等腰三角形的性质和外角性质求出底角的度数，整体思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7

11.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数.

(1) 证明：
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAE = ∠C = 60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB = CA \\∠BAE = ∠C \\AE = CD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAD（SAS）。
---
(2) 解：
由三角形外角的性质可得：
∠BFD = ∠ABE + ∠BAD。
由(1)知△ABE ≌ △CAD，
∴ ∠ABE = ∠CAD。
∴ ∠BFD = ∠CAD + ∠BAD = ∠BAC。
∵ △ABC为等边三角形，∠BAC = 60°，
∴ ∠BFD = 60°。

【分析】
（1）要证明△ABE≌△CAD，首先根据等边三角形的性质可得等边三角形三边相等、三个内角均为60°，由此得到AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再结合题目给出的AE=CD的条件，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，即可完成证明。
（2）求∠BFD的度数时，先观察角的位置，利用三角形外角的性质可知∠BFD等于△ABF中不相邻的两个内角∠ABE与∠BAD的和；再结合第(1)问全等的结论可得∠ABE=∠CAD，通过等量代换可将∠BFD转化为∠CAD与∠BAD的和，也就是等边三角形的内角∠BAC，即可求出度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAE = ∠C = 60°。
在△ABE和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}AB = CA \\∠BAE = ∠C \\AE = CD\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAD（SAS）。
(2) 解：
由三角形外角的性质可得：
∠BFD = ∠ABE + ∠BAD。
由(1)知△ABE ≌ △CAD，
∴ ∠ABE = ∠CAD。
∴ ∠BFD = ∠CAD + ∠BAD = ∠BAC。
∵ △ABC为等边三角形，∠BAC = 60°，
∴ ∠BFD = 60°。
【答案】
(1) 已证△ABE≌△CAD；
(2) ∠BFD的度数为60°
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练运用等边三角形的边角性质得到全等判定的条件，再通过全等的对应角相等进行角度的等量代换，结合三角形外角性质完成求解，能够有效巩固三角形全等和等边三角形的相关知识。
【难度系数】
0.8

12.如图，D为等边$△ ABC$的边AC上一动点，延长AB到E，使$BE=CD$，连DE交BC于点P，求证：$DP=PE$.

证明：
过点D作$DF// AB$，交BC于点F。
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ A = ∠ ACB = 60°$，
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ CDF = ∠ A = 60°$，
∴ $△ CDF$是等边三角形，
∴ $CD = DF$。
又∵ $BE = CD$，
∴ $DF = BE$。
∵ $DF// AB$，
∴ $∠ DFP = ∠ EBP$，
又∵ $∠ DPF = ∠ EPB$，
∴ $△ DFP ≌ △ EBP$（AAS），
∴ $DP = PE$。

【分析】
要证明$DP=PE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。观察图形可知$DP$、$PE$所在的$△ DPC$和$△ EPB$不全等，因此需要构造全等三角形。我们可以过点$D$作$DF// AB$交$BC$于$F$，首先利用等边三角形的性质证明$△ CDF$是等边三角形，得到$DF=CD$，再结合已知$BE=CD$推出$DF=BE$，最后利用平行线的性质和对顶角相等，证明$△ DFP$和$△ EBP$全等，即可得到$DP=PE$。
【解析】
证明：
过点$D$作$DF// AB$，交$BC$于点$F$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ ACB = 60°$，
$\because DF// AB$，
$\therefore ∠ CDF = ∠ A = 60°$，
$\therefore △ CDF$是等边三角形，
$\therefore CD = DF$。
又$\because BE = CD$，
$\therefore DF = BE$。
$\because DF// AB$，
$\therefore ∠ DFP = ∠ EBP$，
又$\because ∠ DPF = ∠ EPB$，
$\therefore △ DFP ≌ △ EBP$（AAS），
$\therefore DP = PE$。
【答案】
$DP=PE$
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型证明题，解题核心是通过作平行线构造全等三角形，借助等边三角形的性质完成线段的等量转化，能够有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

13.如图，$△ ABC$为等边三角形，点D为BC边上一动点(不与B，C重合)，$∠ DAE=60°$，过点B作$BE// AC$交AE于点E.
(1)求证:$△ ADE$是等边三角形；
(2)当点D在何处时，$AE⊥ BE$？

(1) 证明：
∵ $△ ABC$是等边三角形，
∴ $AB=AC$，$∠ BAC=∠ C=60°$，
∵ $∠ DAE=60°$，
∴ $∠ DAE=∠ BAC$，
∴ $∠ DAE - ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ BAD$，
即 $∠ BAE=∠ CAD$，
∵ $BE// AC$，
∴ $∠ ABE=∠ BAC=60°$，
∴ $∠ ABE=∠ C$，
在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CAD \\AB=AC \\∠ ABE=∠ C\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=AD$，
又∵ $∠ DAE=60°$，
∴ $△ ADE$是等边三角形。
---
(2) 解：
当点$D$为$BC$的中点时，$AE⊥ BE$。
理由如下：
∵ $△ ABC$是等边三角形，$D$为$BC$中点，
∴ $AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
由(1)知$△ ABE ≌ △ ACD$，
∴ $∠ AEB=∠ ADC=90°$，
∴ $AE⊥ BE$。
答：当点$D$为$BC$边的中点时，$AE⊥ BE$。

【分析】
(1) 要证明△ADE是等边三角形，已知∠DAE=60°，因此只需证明AE=AD即可。我们可通过证明△ABE≌△ACD得到对应边相等：首先利用等边△ABC的性质得AB=AC、∠BAC=∠C=60°，结合∠DAE=60°可推出∠BAE=∠CAD；再由BE//AC得∠ABE=∠BAC=60°，即∠ABE=∠C，满足ASA全等判定条件，证得全等后即可得到AE=AD，结合∠DAE=60°就能证明△ADE是等边三角形。
(2) 若AE⊥BE，则∠AEB=90°，由(1)的全等关系可知∠AEB=∠ADC，因此需要∠ADC=90°。根据等边三角形“三线合一”的性质，当D为BC中点时，AD⊥BC，即∠ADC=90°，对应可得∠AEB=90°，满足AE⊥BE的要求。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ $AB=AC$，$∠ BAC=∠ C=60°$，
∵ $∠ DAE=60°$，
∴ $∠ DAE=∠ BAC$，
∴ $∠ DAE - ∠ BAD = ∠ BAC - ∠ BAD$，
即 $∠ BAE=∠ CAD$，
∵ $BE// AC$，
∴ $∠ ABE=∠ BAC=60°$，
∴ $∠ ABE=∠ C$，
在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAE=∠ CAD \\AB=AC \\∠ ABE=∠ C\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=AD$，
又
∵ $∠ DAE=60°$，
∴ $△ ADE$是等边三角形。
(2) 解：
当点$D$为$BC$的中点时，$AE⊥ BE$。
理由如下：
∵ $△ ABC$是等边三角形，$D$为$BC$中点，
∴ $AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
由(1)知$△ ABE ≌ △ ACD$，
∴ $∠ AEB=∠ ADC=90°$，
∴ $AE⊥ BE$。
【答案】
(1) △ADE是等边三角形，证明成立；
(2) 当点D为BC边的中点时，AE⊥BE。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于等边三角形章节的常规综合题，融合了平行线性质、全等三角形证明、等边三角形的判定及性质多个考点，解题核心是通过角的等量转换找到全等条件，再借助全等的性质推导边和角的关系，对锻炼几何逻辑推理能力有较大帮助。
【难度系数】
0.7