例1 如图,在等边△ABC中,D是AC边的中点,延长BC到点E,使CE=CD,连接BD,DE,试判断△BDE的形状,并说明理由.

【思路导析】利用等腰三角形“三线合一”的性质和三角形外角的性质,证明∠DBE=∠E.
【请你解答】

解：△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ D是AC边的中点，
∴ BD平分∠ABC（等腰三角形“三线合一”的性质），
∴ ∠DBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
∵ ∠ACB是△CDE的外角，
∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E = 60°，
∴ ∠E = 30°。
∴ ∠DBE = ∠E，
∴ BD = DE，
∴ △BDE是等腰三角形。

【分析】
要判断△BDE的形状，可通过推导角相等或边相等来分析：首先从已知条件等边△ABC入手，结合D是AC中点，利用等腰三角形“三线合一”可求出∠DBE的度数；再根据CE=CD得出△CDE为等腰三角形，结合三角形外角的性质求出∠E的度数；最后对比∠DBE和∠E的度数，若相等则可根据等角对等边判断△BDE为等腰三角形。
【解析】
△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ D是AC边的中点，
∴ BD平分∠ABC（等腰三角形“三线合一”的性质），
∴ ∠DBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°。
∵ CE = CD，
∴ ∠E = ∠CDE。
∵ ∠ACB是△CDE的外角，
∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE = 2∠E = 60°，
∴ ∠E = 30°。
∴ ∠DBE = ∠E，
∴ BD = DE，
∴ △BDE是等腰三角形。
【答案】
△BDE是等腰三角形
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质应用的基础题，解题关键是结合已知条件，利用三线合一和三角形外角性质推导角的等量关系，熟练掌握这类题型的推导逻辑有助于巩固特殊三角形的相关知识点。
【难度系数】
0.7

例2 如图,在等边△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,BO,OC的垂直平分线分别交BC于点E,F,求证:△OEF是等边三角形.
【思路导析】利用三角形外角的性质,可求得∠OEF=∠OFE=60°,从而证明△OEF是等边三角形.
【请你解答】

互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠OBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，∠OCF = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°。
∵ 点E在BO的垂直平分线上，
∴ EB = EO，
∴ ∠EOB = ∠OBE = 30°，
∴ ∠OEF = ∠OBE + ∠EOB = 60°。
同理，点F在OC的垂直平分线上，
∴ FC = FO，
∴ ∠FOC = ∠OCF = 30°，
∴ ∠OFE = ∠OCF + ∠FOC = 60°。
在△OEF中，∠OEF = ∠OFE = 60°，
∴ ∠EOF = 180° - ∠OEF - ∠OFE = 60°，
∴ ∠OEF = ∠OFE = ∠EOF = 60°，
∴ △OEF是等边三角形。

【分析】
要证明△OEF是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°实现。首先结合等边△ABC内角为60°的性质，利用角平分线的性质求出∠OBE、∠OCF均为30°；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得EB=EO、FC=FO，进而得到等腰三角形底角相等；最后利用三角形外角的性质分别求出∠OEF、∠OFE为60°，结合三角形内角和推出∠EOF也为60°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°。
∵ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ ∠OBE = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°，∠OCF = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°。
∵ 点E在BO的垂直平分线上，
∴ EB = EO，
∴ ∠EOB = ∠OBE = 30°，
∴ ∠OEF = ∠OBE + ∠EOB = 60°。
同理，点F在OC的垂直平分线上，
∴ FC = FO，
∴ ∠FOC = ∠OCF = 30°，
∴ ∠OFE = ∠OCF + ∠FOC = 60°。
在△OEF中，∠OEF = ∠OFE = 60°，
∴ ∠EOF = 180° - ∠OEF - ∠OFE = 60°，
∴ ∠OEF = ∠OFE = ∠EOF = 60°，
∴ △OEF是等边三角形。
【答案】
△OEF是等边三角形
【知识点】
等边三角形的性质与判定；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形判定的典型基础习题，综合考查了角平分线、垂直平分线、三角形外角及内角和的相关性质，解题的关键是从已知条件出发，逐步推导待证结论所需的角度条件，熟练掌握各基础性质是解决这类综合题的核心。
【难度系数】
0.7

例3 如图，E为等边△ABC的边AC上一点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状.

【思路导析】观察图形不难发现△ABE≌△ACD，从而AE=AD，∠CAD=∠BAE=60°,由此△ADE为等边三角形.
【示范解答】证明：∵ △ABC为等边三角形.
∴ AB=AC，∠BAE=60°.
在△ABE和△ACD中，$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠1=∠2, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ACD(SAS)，
∴ AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°.
∴ △ADE为等边三角形.
变式探究

证明：
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAE=60°。
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠1=∠2, \\BE=CD,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ACD(SAS)，
∴ AE=AD，∠CAD=∠BAE=60°。
∴ △ADE为等边三角形。

【分析】要判断△ADE的形状，可从已知条件逐步推导：首先由△ABC是等边三角形，可得AB=AC，∠BAE=60°；结合题目给出的∠1=∠2、BE=CD，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，因此先证明△ABE≌△ACD。再根据全等三角形的性质，可得到AE=AD，∠CAD=∠BAE=60°，最后根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△ADE的形状。
【解析】
证明：
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAE=60°。
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠1=∠2, \\BE=CD,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ACD(SAS)，
∴ AE=AD，∠CAD=∠BAE=60°。
∴ △ADE为等边三角形。
【答案】△ADE是等边三角形
【知识点】SAS全等判定、等边三角形的性质、等边三角形的判定
【点评】本题是全等三角形与等边三角形结合的基础题型，解题核心是从已知条件中挖掘全等三角形的判定要素，借助全等的性质得到待判定三角形的边、角特征，结合等边三角形判定定理即可得出结论，熟练掌握相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

如图所示的是一把遮阳伞的示意图.当伞收紧时,点P与点A重合;当伞慢慢撑开时,动点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞撑开得最大.已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN,CM=CN.若CN=PN=60 cm,则当∠CPN=60°时,AP的长为.

$\boldsymbol{60\ \mathrm{cm}}$

【分析】
解题时首先根据$PM=PN$、$CM=CN$，可判断C、P都在MN的垂直平分线上，即C、P、A三点共线；再结合$CN=PN=60\ \mathrm{cm}$、$∠ CPN=60°$，可判定$△ CPN$为等边三角形，求出CP的长度；然后根据伞收紧时P与A重合，此时C、P、N共线，求出AC的总长度；最后用AC减去CP即可得到AP的长度。
【解析】
1. 由$PM=PN$，$CM=CN$可知，点C和点P都在线段MN的垂直平分线上，因此C、P、A三点共线。
2. 在$△ CPN$中，已知$CN=PN=60\ \mathrm{cm}$，$∠ CPN=60°$，根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可得$△ CPN$是等边三角形，因此$CP=CN=60\ \mathrm{cm}$。
3. 当伞收紧时，点P与点A重合，此时C、P（A）、N三点共线，因此$AC=CN+PN=60+60=120\ \mathrm{cm}$。
4. 计算$AP$的长度：$AP=AC-CP=120-60=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{60\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，线段的和差计算
【点评】
本题结合生活中的遮阳伞场景考查几何知识的应用，解题的关键是结合实际场景理解伞收紧和撑开时的线段关系，再利用等边三角形的性质求出对应线段长度，注重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7