11.如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,D为底边BC的延长线上任意一点,过点D作$DE // AB$,与AC的延长线交于点E.
(1)$△ CDE$的形状是,请说明理由;
(2)若在AC上截取$AF=CE$,连接FB,FD,判断FB,FD的数量关系,并给出证明.

(1)
$△ CDE$的形状是等腰三角形，理由如下：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$。
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ ABC=∠ CDE$。
又∵ $∠ ACB=∠ ECD$，
∴ $∠ ECD=∠ CDE$，
∴ $CE=DE$，
∴ $△ CDE$是等腰三角形。
---
(2)
$FB=FD$，证明如下：
由(1)得 $CE=DE$，
∵ $AF=CE$，
∴ $AF=DE$。
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ A=∠ E$。
∵ $AB=AC$，且 $AC=AF+FC$，$AF=CE$，
∴ $AB=CE+FC=FE$。
在$△ ABF$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}AB=FE \\∠ A=∠ E \\AF=ED\end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ EFD\ (\mathrm{SAS})$，
∴ $FB=FD$。

【分析】
(1)要判断△CDE的形状，可依据等腰三角形“等角对等边”的判定思路分析：先利用等腰△ABC的性质得到底角相等，再结合DE//AB的平行线性质、对顶角相等推导△CDE的两个内角相等，即可判断其形状；
(2)要判断FB和FD的数量关系，可通过证明两条边所在的三角形全等求解：先结合(1)的结论和已知AF=CE得到边的等量关系，再由平行线性质得到一组等角，推导AB=FE后，利用SAS证明△ABF≌△EFD，即可得到对应边的数量关系。
【解析】
(1)△CDE是等腰三角形，理由如下：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $DE // AB$，
∴ $∠ ABC=∠ CDE$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ ACB=∠ ECD$（对顶角相等），
∴ $∠ ECD=∠ CDE$，
∴ $CE=DE$（等角对等边），
∴ $△ CDE$是等腰三角形。
(2)$FB=FD$，证明如下：
由(1)得 $CE=DE$，
∵ $AF=CE$，
∴ $AF=DE$。
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ A=∠ E$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AB=AC$，且 $AC=AF+FC$，$AF=CE$，
∴ $AB=CE+FC=FE$。
在$△ ABF$和$△ EFD$中：
$\begin{cases}AB=FE \\∠ A=∠ E \\AF=ED\end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ EFD\ (\mathrm{SAS})$，
∴ $FB=FD$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
(1)等腰三角形；
(2)$FB=FD$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是灵活运用等腰三角形、平行线的性质推导角和边的等量关系，再通过全等三角形的判定证明边相等，对训练几何逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7

12.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2$,$∠ B=40°$,点$D$在线段$BC$上运动(点$D$不与$B$, $C$两点重合),连接$AD$,作$∠ ADE=40°$, $DE$交线段$AC$于点$E$.
(1)当$∠ BDA = 115°$时,$∠ BAD =$ ;点$D$从$B$向$C$运动时,$∠ BDA$逐渐变(填“大”或“小”);
(2)当$△ ABD ≌ △ DCE$时,求$CD$的长;
(3)在点$D$的运动过程中,$△ ADE$的形状也在改变,当$∠ BDA=110°$时,请判断$△ ADE$的形状,并证明.

$25°$；小
(2) $\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，
$\because △ ABD ≌ △ DCE$，
$\therefore AB = DC$，
又$\because AB=2$，
$\therefore CD=2$。
(3) $△ ADE$是等腰三角形，证明如下：
$\because AB=AC$，$∠ B=40°$，
$\therefore ∠ C = ∠ B = 40°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - 40° × 2 = 100°$，
$\because ∠ BDA=110°$，
$\therefore ∠ BAD = 180° - ∠ B - ∠ BDA = 180° - 40° - 110° = 30°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ BAC - ∠ BAD = 100° - 30° = 70°$，
又$\because ∠ ADE=40°$，
$\therefore ∠ AED = 180° - ∠ ADE - ∠ DAE = 180° - 40° - 70° = 70°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ AED$，
$\therefore AD=DE$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形。

【分析】
(1) 求∠BAD可利用三角形内角和为180°，在△ABD中已知∠B和∠BDA的度数，直接作差即可得到结果；分析∠BDA的变化时，∠B为固定值，点D从B向C运动的过程中∠BAD逐渐增大，根据三角形内角和可推得∠BDA逐渐变小。
(2) 已知△ABD≌△DCE，根据全等三角形对应边相等的性质，可得AB与DC是对应边，结合已知AB的长度即可求出CD的长。
(3) 判断△ADE的形状时，先根据等腰三角形的性质求出△ABC的顶角度数，再结合∠BDA的度数求出∠BAD，进而得到∠DAE的度数，再通过三角形内角和算出∠AED的度数，通过判断是否有等角即可确定三角形的形状。
【解析】
(1) 在△ABD中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAD=180°-∠ B-∠ BDA=180°-40°-115°=25°$；
点D从B向C运动时，$∠ B$固定不变，$∠ BAD$逐渐增大，由$∠ BDA=180°-∠ B-∠ BAD$可知，$∠ BDA$逐渐变小。
(2) $\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，
$\because △ ABD ≌ △ DCE$，
$\therefore AB = DC$，
又$\because AB=2$，
$\therefore CD=2$。
(3) $△ ADE$是等腰三角形，证明如下：
$\because AB=AC$，$∠ B=40°$，
$\therefore ∠ C = ∠ B = 40°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - 40° × 2 = 100°$，
$\because ∠ BDA=110°$，
$\therefore ∠ BAD = 180° - ∠ B - ∠ BDA = 180° - 40° - 110° = 30°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ BAC - ∠ BAD = 100° - 30° = 70°$，
又$\because ∠ ADE=40°$，
$\therefore ∠ AED = 180° - ∠ ADE - ∠ DAE = 180° - 40° - 70° = 70°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ AED$，
$\therefore AD=DE$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形。
【答案】
(1) $25°$；小
(2) $CD=2$
(3) $△ ADE$是等腰三角形
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合动点场景考查三角形的基础性质，题目梯度设置合理，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问需要通过角度推导判断三角形形状，能够有效考查学生对基础知识点的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7