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例1 已知三角形的两边长分别是2 cm、8 cm，第三边长为偶数，求第三边长。
【思路导析】先求第三边长的取值范围。
【请你解答】
【思路导析】先求第三边长的取值范围。
【请你解答】
答案
解：设第三边长为x cm，
根据三角形的三边关系，得：
8 - 2 ＜ x ＜ 8 + 2，
即 6 ＜ x ＜ 10。
∵第三边长为偶数，
∴符合条件的x的值为8。
答：第三边长为8 cm。
根据三角形的三边关系，得：
8 - 2 ＜ x ＜ 8 + 2，
即 6 ＜ x ＜ 10。
∵第三边长为偶数，
∴符合条件的x的值为8。
答：第三边长为8 cm。
解析
【分析】
解题时首先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得到第三边的区间后，再结合“第三边长为偶数”的条件，在区间内找出符合要求的偶数即可得到答案。
【解析】
解：设第三边长为x cm，
根据三角形的三边关系，得：
$8 - 2 ＜ x ＜ 8 + 2$，
即 $6 ＜ x ＜ 10$。
∵第三边长为偶数，
∴符合条件的x的值为8。
答：第三边长为8 cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
三角形三边关系，偶数的判定
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，核心是先通过三边关系锁定第三边的取值范围，再结合题干给出的限制条件筛选出最终结果，解题时需注意不要忽略附加限制条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形三边关系确定第三边的取值范围：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得到第三边的区间后，再结合“第三边长为偶数”的条件，在区间内找出符合要求的偶数即可得到答案。
【解析】
解：设第三边长为x cm，
根据三角形的三边关系，得：
$8 - 2 ＜ x ＜ 8 + 2$，
即 $6 ＜ x ＜ 10$。
∵第三边长为偶数，
∴符合条件的x的值为8。
答：第三边长为8 cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
三角形三边关系，偶数的判定
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，核心是先通过三边关系锁定第三边的取值范围，再结合题干给出的限制条件筛选出最终结果，解题时需注意不要忽略附加限制条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.8
例2 在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性来设计物体，下列实物图中利用了三角形的稳定性的是()
【思路导析】根据三角形的稳定性进行判定.
【请你解答】
互动探究 ▶▶ 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】根据三角形的稳定性进行判定.
【请你解答】
互动探究 ▶▶ 探究解题规律 总结方法技巧
答案
C
解析
【分析】要解决这道题，首先要明确两类几何图形的核心特性：三角形具有稳定性，即形状固定、不易变形；四边形具有不稳定性，即形状可变、容易发生形变。接下来逐一分析每个选项中实物的结构，判断其利用的是哪种图形的特性，即可得出正确答案。
【解析】三角形三边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，因此三角形具备稳定性；四边形的边长确定后，形状仍然可以改变，因此四边形具备不稳定性。
对各选项逐一分析：
A. 电动伸缩门采用平行四边形铰接结构，利用四边形的不稳定性实现伸缩功能，不符合题意；
B. 升降台的折叠结构为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，不符合题意；
C. 栅栏的交叉结构形成了大量三角形，利用三角形的稳定性提升栅栏的牢固度，不易变形，符合题意；
D. 窗户为四边形框架，没有利用三角形的稳定性，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】本题结合生活常见实物考查几何图形特性的实际应用，能引导学生感知数学知识在生活中的实用价值，解题时只要明确两类图形的特性即可快速判断。
【难度系数】0.9
【解析】三角形三边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，因此三角形具备稳定性；四边形的边长确定后，形状仍然可以改变，因此四边形具备不稳定性。
对各选项逐一分析：
A. 电动伸缩门采用平行四边形铰接结构，利用四边形的不稳定性实现伸缩功能，不符合题意；
B. 升降台的折叠结构为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，不符合题意；
C. 栅栏的交叉结构形成了大量三角形，利用三角形的稳定性提升栅栏的牢固度，不易变形，符合题意；
D. 窗户为四边形框架，没有利用三角形的稳定性，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】本题结合生活常见实物考查几何图形特性的实际应用，能引导学生感知数学知识在生活中的实用价值，解题时只要明确两类图形的特性即可快速判断。
【难度系数】0.9
例3 等腰三角形的周长为36 cm，已知其中一边长为8 cm，求另两边长.
【思路导析】分已知的边长是腰还是底边进行讨论.
【示范解答】①当腰长为8 cm时，另两边分别为8 cm和$36-2×8=20$ (cm). 此时三角形的三边长为8 cm、8 cm、20 cm，$8\ \mathrm{cm}+8\ \mathrm{cm}=16\ \mathrm{cm}＜20\ \mathrm{cm}$，不符合三角形三边的关系.
②当底边长为8 cm时，两腰长为$\frac{1}{2}×(36-8)=14$ (cm)，此时三角形的三边长为8 cm、14 cm、14 cm，$8\ \mathrm{cm}+14\ \mathrm{cm}=22\ \mathrm{cm}＞14\ \mathrm{cm}$，符合三角形三边的关系.
故三角形的另外两边长为14 cm、14 cm.
【变式探究】
有两根钢筋，长度分别是30 cm和50 cm，取第三根钢筋使这三根钢筋可焊接成一个三角形钢架，那么第三根钢筋的长度应在什么范围内？
【思路导析】分已知的边长是腰还是底边进行讨论.
【示范解答】①当腰长为8 cm时，另两边分别为8 cm和$36-2×8=20$ (cm). 此时三角形的三边长为8 cm、8 cm、20 cm，$8\ \mathrm{cm}+8\ \mathrm{cm}=16\ \mathrm{cm}＜20\ \mathrm{cm}$，不符合三角形三边的关系.
②当底边长为8 cm时，两腰长为$\frac{1}{2}×(36-8)=14$ (cm)，此时三角形的三边长为8 cm、14 cm、14 cm，$8\ \mathrm{cm}+14\ \mathrm{cm}=22\ \mathrm{cm}＞14\ \mathrm{cm}$，符合三角形三边的关系.
故三角形的另外两边长为14 cm、14 cm.
【变式探究】
有两根钢筋，长度分别是30 cm和50 cm，取第三根钢筋使这三根钢筋可焊接成一个三角形钢架，那么第三根钢筋的长度应在什么范围内？
答案
解：设第三根钢筋的长度为$x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系，可得：
$50 - 30 ＜ x ＜ 50 + 30$
即$20 ＜ x ＜ 80$。
答：第三根钢筋的长度应大于20 cm且小于80 cm。
根据三角形三边关系，可得：
$50 - 30 ＜ x ＜ 50 + 30$
即$20 ＜ x ＜ 80$。
答：第三根钢筋的长度应大于20 cm且小于80 cm。
解析
【分析】
要确定第三根钢筋的长度范围，需依据三角形三边的关系求解。首先回忆三角形的构成条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根钢筋的长度分别为30cm和50cm，我们可以设第三根钢筋的长度为x cm，第三边的长度需同时满足大于已知两边的差、小于已知两边的和，据此列不等式即可直接求出取值范围，无需额外分类讨论。
【解析】
解：设第三根钢筋的长度为$x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系，可得：
$50 - 30 ＜ x ＜ 50 + 30$
即$20 ＜ x ＜ 80$。
答：第三根钢筋的长度应大于20 cm且小于80 cm。
【答案】
第三根钢筋的长度应大于20 cm且小于80 cm
【知识点】
三角形三边关系、不等式的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查三角形三边关系的运用，解题时直接代入已知边长即可求出第三边的取值范围，需注意取值不能取端点值，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
要确定第三根钢筋的长度范围，需依据三角形三边的关系求解。首先回忆三角形的构成条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根钢筋的长度分别为30cm和50cm，我们可以设第三根钢筋的长度为x cm，第三边的长度需同时满足大于已知两边的差、小于已知两边的和，据此列不等式即可直接求出取值范围，无需额外分类讨论。
【解析】
解：设第三根钢筋的长度为$x\ \mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系，可得：
$50 - 30 ＜ x ＜ 50 + 30$
即$20 ＜ x ＜ 80$。
答：第三根钢筋的长度应大于20 cm且小于80 cm。
【答案】
第三根钢筋的长度应大于20 cm且小于80 cm
【知识点】
三角形三边关系、不等式的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查三角形三边关系的运用，解题时直接代入已知边长即可求出第三边的取值范围，需注意取值不能取端点值，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
