8. 如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AB上,AD交CE于点F.
(1)图中有几个三角形?把它们一一写出来;
(2)写出含有∠FDC的三角形;
(3)在△ACF中,写出∠ACF所对的边;
(4)以线段BC为边的三角形有哪些?

解：
(1) 图中有8个三角形，分别是$△ AEF$，$△ ACF$，$△ CDF$，$△ AEC$，$△ ADC$，$△ BEC$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) 含有$∠ FDC$的三角形是$△ ADC$，$△ CDF$。
(3) 在$△ ACF$中，$∠ ACF$所对的边是$AF$。
(4) 以线段$BC$为边的三角形有$△ ABC$，$△ BEC$。

【分析】
解决这类问题需要紧扣三角形的相关概念：1. 数三角形时可按“从小到大、从单个到组合”的顺序计数，避免漏数、重复数；2. 找含指定角的三角形，需先确定角的顶点和两边，再找包含该角的所有三角形；3. 三角形中一个角的对边是指不经过该角顶点的边；4. 找以指定线段为边的三角形，只需依次找能和线段两个端点构成三角形的第三个顶点即可。
【解析】
(1) 按顺序计数：先数单个小三角形，有$△ AEF$、$△ ACF$、$△ CDF$，共3个；再数由2个小三角形组合成的三角形，有$△ AEC$、$△ ADC$、$△ ABD$，共3个；最后数由多个图形组合成的更大的三角形，有$△ BEC$、$△ ABC$，共2个。合计$3+3+2=8$个。
(2) $∠ FDC$的顶点为D，两边为DC、DF，观察图形可得包含该角的三角形。
(3) 在$△ ACF$中，$∠ ACF$的顶点是C，找不经过点C的边即为其对边。
(4) BC的两个端点为B、C，找出所有能与B、C构成三角形的第三个顶点，即可得到对应三角形。
【答案】
(1) 8个，分别是$△ AEF$，$△ ACF$，$△ CDF$，$△ AEC$，$△ ADC$，$△ BEC$，$△ ABD$，$△ ABC$。
(2) $△ ADC$，$△ CDF$。
(3) $AF$。
(4) $△ ABC$，$△ BEC$。
【知识点】
三角形的概念，三角形的角与对边，三角形计数
【点评】
本题属于三角形基础题型，重点考查对三角形构成要素的识别能力，解题时按规律计数能有效避免漏数或重复，熟练掌握相关基础概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

9. 如图，图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题。

(1)将下表填写完整：

(2)在第n个图形中有个三角形(用含n的式子表示)。

解：
(1) 观察图形可知，后一个图形比前一个图形的三角形个数多4：
图④的三角形个数为 $9 + 4 = 13$，
图⑤的三角形个数为 $13 + 4 = 17$。
表格依次填写：$\boldsymbol{13}$，$\boldsymbol{17}$。
(2) 推导规律：
第1个图形：$1 = 4×1 - 3$
第2个图形：$5 = 4×2 - 3$
第3个图形：$9 = 4×3 - 3$
因此第$n$个图形中有 $\boldsymbol{4n-3}$ 个三角形。

【分析】
本题属于图形规律探究题，解题思路如下：第一步先统计前3个已知图形的三角形个数，对比相邻图形的数量差，找到每次增加4个三角形的固定变化规律，利用该规律计算第4、5个图形的三角形个数，完成表格填写；第二步将前几个图形的三角形个数与对应图形序号建立联系，归纳推导得出第n个图形的三角形个数的通用表达式。
【解析】
(1) 首先统计已知图形的三角形个数：
图①有1个三角形，图②有5个三角形，图③有9个三角形，观察可发现规律：后一个图形比前一个图形的三角形个数多4。
因此图④的三角形个数为：$9 + 4 = 13$，
图⑤的三角形个数为：$13 + 4 = 17$，
故表格依次填写13、17。
(2) 推导第n个图形的三角形个数规律：
当n=1时，三角形个数$1 = 4×1 - 3$，
当n=2时，三角形个数$5 = 4×2 - 3$，
当n=3时，三角形个数$9 = 4×3 - 3$，
以此类推，第n个图形中三角形的个数为$4n - 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$，$\boldsymbol{17}$；(2) $\boldsymbol{4n-3}$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、三角形的认识
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是通过观察对比相邻图形的数量变化，找到固定增量规律，再结合序号归纳通用公式，能有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.75