1. 下列三角形中,等腰三角形的个数是 ()
(1)
5
5
4
(2)
90°
45°

(4)
50°
35°
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

1 C

【分析】
要判断三角形是否为等腰三角形，依据两个判定规则：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。我们依次对4个三角形逐一验证即可得到结果。
【解析】
逐个分析每个三角形：
1. 图(1)的三角形有两条边长均为5，满足“两条边相等”的判定条件，属于等腰三角形；
2. 图(2)的三角形，根据三角形内角和为180°，第三个角为$\displaystyle 180°-90°-45°=45°$，有两个45°的角，满足等角对等边，属于等腰三角形；
3. 图(3)的三角形，第三个角为$\displaystyle 180°-100°-40°=40°$，有两个40°的角，满足等角对等边，属于等腰三角形；
4. 图(4)的三角形，第三个角为$\displaystyle 180°-50°-35°=95°$，三个内角均不相等，也无相等的已知边，不属于等腰三角形。
综上，等腰三角形共有3个。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查等腰三角形的判定方法，解题时先结合三角形内角和求出未知角，再判断是否存在等边或等角即可。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$中，$∠ A = 70°$,当$∠ B = \_\_\_\_\_\_$时，$△ ABC$是等腰三角形。

2 $70°,55°$或$40°$ $\because ∠ A=70°, \therefore$ ①当$∠ B=70°$时,$△ ABC$是等腰三角形;②当$∠ B=(180°-70°)÷2=55°$时,$△ ABC$是等腰三角形;③当$∠ B=180°-70°×2=40°$时,$△ ABC$是等腰三角形.

【分析】
要解决这道题，首先明确等腰三角形的判定依据：有两个内角相等的三角形是等腰三角形。已知∠A=70°，我们需要分三类讨论哪两个内角是相等的角：第一类是∠A和∠B相等；第二类是∠A和∠C相等；第三类是∠B和∠C相等，每一类结合三角形内角和为180°计算∠B的度数，同时验证所得角度符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=70°，若△ABC为等腰三角形，则存在两个内角相等，分三种情况计算：
① 当∠A=∠B时，∠B=70°，此时∠C=180°-70°-70°=40°，符合三角形内角和定理，成立；
② 当∠A=∠C时，∠C=70°，此时∠B=180°-70°×2=40°，符合要求，成立；
③ 当∠B=∠C时，∠B=(180°-70°)÷2=55°，符合要求，成立。
【答案】
70°、55°或40°
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时要全面考虑等腰三角形相等内角的所有可能情况，避免漏解，计算后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理。
【难度系数】
0.6

3. [2026徐州期中]如图,上午8时,一条船从A处出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,则从B处到灯塔C的距离是海里.

3 30 由题意,得$AB=2×15=30$(海里).$\because ∠ NAC=42°$,$∠ NBC=84°$,$\therefore ∠ C=∠ NBC-∠ NAC=84°-42°=42°$,$\therefore ∠ C=∠ NAC$,$\therefore BC=AB=30$海里,即从$B$处到灯塔$C$的距离是30海里.

【分析】
解题首先根据船的航行速度和行驶时间计算出A到B的距离AB；再观察角的关系，∠NBC是△ABC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出∠C的度数；对比∠C和∠NAC的度数发现二者相等，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得到BC与AB相等，从而求出B处到灯塔C的距离。
【解析】
首先计算AB的长度：船从上午8时航行到10时，行驶时长为$10-8=2$小时，已知航行速度为15海里/时，因此$AB=15×2=30$海里。
已知$∠ NAC=42°$，$∠ NBC=84°$，$∠ NBC$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质可得$∠ NBC=∠ NAC+∠ C$，因此$∠ C=∠ NBC-∠ NAC=84°-42°=42°$。
由此可得$∠ C=∠ NAC$，根据等角对等边可知$BC=AB=30$海里。
【答案】
30
【知识点】
三角形外角性质；等角对等边；行程路程计算
【点评】
本题是几何知识与简单行程问题的结合题，解题核心是利用三角形外角性质推导角的等量关系，进而判定等腰三角形得到边的等量关系，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.8

4.如图,AD为$△ ABC$的角平分线,$DE// AB$交AC于点E.若$AE=5$ cm,则$DE=$ cm.

4 5 $\because AD$为$△ ABC$的角平分线,$\therefore ∠ BAD=∠ EAD$.$\because DE// AB$,$\therefore ∠ BAD=∠ ADE$,$\therefore ∠ ADE=∠ EAD$,$\therefore DE=AE=5$ cm.

【分析】
解题时先从已知条件入手分析：首先AD是△ABC的角平分线，可得到一组相等的角；其次DE平行AB，可根据平行线的性质得到一组相等的内错角；通过等量代换可推出△ADE中两个内角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定，就能得到DE和AE的长度关系，代入AE的数值即可求出DE的长度。
【解析】
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADE=∠EAD，
∴DE=AE，
又
∵AE=5 cm，
∴DE=5 cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，综合考察了基础几何性质的应用，解题关键是结合角平分线和平行线的性质推导等角，再利用等腰三角形的判定得到等边关系，整体思路清晰易懂。
【难度系数】
0.9

5. [2026 扬州仪征期中] 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$, $AD // BC$, $∠ C = 2 ∠ D$. 求证:$△ ABD$是等腰三角形.

5 证明:$\because AB=AC$,$\therefore ∠ C=∠ ABC$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ D=∠ DBC$.
$\because ∠ C=2∠ D$,$\therefore ∠ ABC=2∠ D=∠ DBC+∠ ABD$,
$\therefore ∠ D=∠ ABD$,$\therefore AD=AB$,
$\therefore △ ABD$是等腰三角形.

【分析】要证明△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的判定定理，可通过证明该三角形有两个内角相等来推导。首先从已知条件入手：①由AB=AC，根据等边对等角可得∠C=∠ABC；②由AD//BC，根据两直线平行内错角相等可得∠D=∠DBC；③结合∠C=2∠D的条件，将∠C替换为∠ABC、∠D替换为∠DBC，可得∠ABC=2∠DBC，又因为∠ABC=∠ABD+∠DBC，代入后可推出∠ABD=∠D，最后根据等角对等边即可得到AB=AD，完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠C=∠ABC$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠D=∠DBC$。
$\because ∠C=2∠D$，
$\therefore ∠ABC=2∠D=∠DBC+∠ABD$，
$\therefore ∠D=∠ABD$，
$\therefore AD=AB$，
$\therefore △ABD$是等腰三角形。
【答案】
△ABD是等腰三角形
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用已知条件完成角的等量代换，能有效考查学生对基础几何定理的运用能力，需要熟练掌握角的转换方法。
【难度系数】
0.8

6. 一题多解 证明:如果一个三角形从一个顶点出发的中线和角平分线重合,那么这个三角形是等腰三角形.
已知:如图,在△ABC中，
.
求证:△ABC是等腰三角形.

6 “已知:”处填入$AD$平分$∠ BAC$,$D$为$BC$的中点
证法1:如图1,延长$AD$,使$DE=AD$,连接$BE$.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$△ ADC$和$△ EDB$中,$\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ ADC=∠ EDB,\\ CD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ EDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ CAD=∠ BED$,$AC=EB$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore ∠ BED=∠ BAD$,$\therefore AB=EB$.
又$\because AC=EB$,$\therefore AB=AC$,
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.

证法2:如图2,过点$D$作$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,$∠ DEB=∠ DFC=90°$.
$\because D$为$BC$的中点,$\therefore DB=DC$.
在$\mathrm{Rt}△ BED$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中,$\begin{cases} DE=DF,\\ DB=DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ B=∠ C$,$\therefore △ ABC$是等腰三角形.

【分析】
要证明该三角形为等腰三角形，核心是证明AB=AC或∠B=∠C。首先补全已知条件：AD既是∠BAC的角平分线，也是BC边上的中线，即AD平分∠BAC，D为BC中点。
思路1（倍长中线法）：遇到中线时，可通过延长中线至等长构造全等三角形，实现边和角的转移。延长AD到E使DE=AD，证明△ADC≌△EDB，将AC转化为BE，再结合角平分线的等角条件推导出AB=BE，即可得AB=AC。
思路2（角平分线性质法）：遇到角平分线时，可过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，得到DE=DF，再结合D是中点的条件，证明两个直角三角形全等得到∠B=∠C，即可由等角对等边判定三角形为等腰三角形。
【解析】
首先补全已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC的中点。
证法1：如图1，延长AD，使DE=AD，连接BE。
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ADC≌△EDB（SAS），
∴ ∠CAD=∠BED，AC=EB。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∴ ∠BED=∠BAD，
∴ AB=EB。
又
∵ AC=EB，
∴ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。

证法2：如图2，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°。
∵ D为BC的中点，
∴ DB=DC。
在Rt△BED和Rt△CFD中，
$\begin{cases} DE=DF,\\ DB=DC, \end{cases}$
∴ Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴ ∠B=∠C，
∴ △ABC是等腰三角形。

【答案】
已知处填入：$AD$平分$∠ BAC$，$D$为$BC$的中点
证明如下：
证法1:如图1,延长$AD$,使$DE=AD$,连接$BE$.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$△ ADC$和$△ EDB$中,$\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ ADC=∠ EDB,\\ CD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ EDB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ CAD=∠ BED$,$AC=EB$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore ∠ BED=∠ BAD$,$\therefore AB=EB$.
又$\because AC=EB$,$\therefore AB=AC$,
$\therefore △ ABC$是等腰三角形.

证法2:如图2,过点$D$作$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,$∠ DEB=∠ DFC=90°$.
$\because D$为$BC$的中点,$\therefore DB=DC$.
在$\mathrm{Rt}△ BED$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中,$\begin{cases} DE=DF,\\ DB=DC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ B=∠ C$,$\therefore △ ABC$是等腰三角形.

【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型一题多解类习题，考察了几何证明中两种常用辅助线的构造方法：倍长中线法、角平分线作垂线段法，通过构造全等三角形实现边角的等量转化，有助于拓展几何证明的思路，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

7. [2026 扬州高邮期中] 如图,在锐角三角形ABC中,点E是AB边上一点,BE = CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.
(1)求证:△AEG为等腰三角形;
(2)若GD = 5,G为CE的中点,求AG的长.

7 解题思路:
(1)

(2)过点$E$作$EH⊥ AG$,利用等腰三角形的“三线合一”,得$AG=2HG$,然后利用$\mathrm{AAS}$证明$△ EHG≌△ CDG$,从而得$HG=DG$,进而得$AG$的长.
(1)证明:$\because AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ ADB=∠ GDC=90°$,
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ B$,$∠ CGD=90°-∠ DCG$.
$\because BE=CE$,$\therefore ∠ B=∠ DCG$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CGD$.
又$\because ∠ CGD=∠ AGE$,$\therefore ∠ BAD=∠ AGE$,
$\therefore △ AEG$为等腰三角形.
(2)解:如图,过点$E$作$EH⊥ AD$,垂足为$H$.

在$△ EHG$和$△ CDG$中,$\begin{cases} ∠ EHG=∠ CDG,\\ ∠ EGH=∠ CGD,\\ EG=CG, \end{cases}$
$\therefore △ EHG≌△ CDG(\mathrm{AAS})$,$\therefore HG=DG$.
$\because AE=EG$,$EH⊥ AD$,
$\therefore AH=HG$,$\therefore AH=DG$.
又$\because DG=5$,$\therefore AG=2AH=2×5=10$.

【分析】
(1)要证明△AEG为等腰三角形，核心是证明两个内角相等，即∠EAG=∠EGA。首先由AD⊥BC可得两个直角，利用直角三角形两锐角互余，得到∠BAD和∠B互余、∠CGD和∠DCG互余；再结合BE=CE可推出∠B=∠DCG，得到∠BAD=∠CGD，最后利用对顶角相等转化角即可得证。
(2)求AG的长时，先过E作EH⊥AD，借助(1)的结论，利用等腰三角形三线合一的性质得到AH=HG，即AG=2HG；再结合G是CE中点的条件，用AAS证明△EHG和△CDG全等，得到HG=DG，即可推出AG=2DG，代入数值计算即可。
【解析】
(1)证明：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ GDC=90°$，
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ B$，$∠ CGD=90°-∠ DCG$。
$\because BE=CE$，$\therefore ∠ B=∠ DCG$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CGD$。
又$\because ∠ CGD=∠ AGE$，$\therefore ∠ BAD=∠ AGE$，
$\therefore △ AEG$为等腰三角形。

(2)解：如图，过点$E$作$EH⊥ AD$，垂足为$H$。

在$△ EHG$和$△ CDG$中，$\begin{cases} ∠ EHG=∠ CDG,\\ ∠ EGH=∠ CGD,\\ EG=CG, \end{cases}$
$\therefore △ EHG≌△ CDG(\mathrm{AAS})$，$\therefore HG=DG$。
$\because AE=EG$，$EH⊥ AD$，
$\therefore AH=HG$，$\therefore AH=DG$。
又$\because DG=5$，$\therefore AG=2AH=2×5=10$。
【答案】
(1)△AEG为等腰三角形，证明见上述解析；
(2)$AG=10$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定(AAS)、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题综合考查了角的关系转化、等腰三角形相关性质以及全等三角形的应用，第一问通过等角的余角相等即可推导，第二问构造垂线辅助线是解题的关键，能够锻炼学生的逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7