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8. [2026 苏州高新实验中学月考]如图，D为$△ ABC$内一点，CD平分$∠ ACB$，$BD ⊥ CD$于点D，$∠ A = ∠ ABD$.若$BD = 1$，$BC = 3$，则AC的长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
A
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
8 A 如图,延长$BD$与$AC$交于点$E$(平分+垂直,延长构等腰).$\because ∠ A=∠ ABD$,$\therefore BE=AE$.
$\because BD⊥ CD$,$CD$平分$∠ ACB$,
$\therefore BC=CE$.$\because BE⊥ CD$,$\therefore 2BD=BE$.$\because BD=1$,$BC=3$,$\therefore CE=3$,$AE=BE=2$,$\therefore AC=AE+EC=2+3=5$.
解析
【分析】
遇到“角平分线+垂直于角平分线的线段”的组合条件时，优先考虑延长垂线段构造等腰三角形，这是常见的几何辅助线技巧。本题先延长BD交AC于点E，首先利用角平分线和垂直的条件证明△CBE是等腰三角形，得到CE=BC、D是BE中点，再结合∠A=∠ABD利用等角对等边得到AE=BE，最后将AE和CE相加即可得到AC的长度。
【解析】
延长$BD$与$AC$交于点$E$。
1. 因为$CD$平分$∠ACB$，$BD⊥CD$，所以$△ CBE$为等腰三角形，可得$CE=BC=3$，且$D$为$BE$的中点，因此$BE=2BD=2×1=2$。
2. 又因为$∠A=∠ABD$，根据等角对等边可得$AE=BE=2$。
3. 因此$AC=AE+CE=2+3=5$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，角平分线的定义，等角对等边
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，核心是掌握“角平分线+高线构造等腰三角形”的辅助线模型，结合等角对等边的性质即可快速求解，能有效考查学生对几何模型的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
遇到“角平分线+垂直于角平分线的线段”的组合条件时，优先考虑延长垂线段构造等腰三角形，这是常见的几何辅助线技巧。本题先延长BD交AC于点E，首先利用角平分线和垂直的条件证明△CBE是等腰三角形，得到CE=BC、D是BE中点，再结合∠A=∠ABD利用等角对等边得到AE=BE，最后将AE和CE相加即可得到AC的长度。
【解析】
延长$BD$与$AC$交于点$E$。
1. 因为$CD$平分$∠ACB$，$BD⊥CD$，所以$△ CBE$为等腰三角形，可得$CE=BC=3$，且$D$为$BE$的中点，因此$BE=2BD=2×1=2$。
2. 又因为$∠A=∠ABD$，根据等角对等边可得$AE=BE=2$。
3. 因此$AC=AE+CE=2+3=5$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，角平分线的定义，等角对等边
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，核心是掌握“角平分线+高线构造等腰三角形”的辅助线模型，结合等角对等边的性质即可快速求解，能有效考查学生对几何模型的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 教材P54T10变式［2026宿迁钟吾初级中学月考］如图，在$△ ABC$中，$ED// BC$，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$ED$于点$G$，$F$.若$FG=4$，$ED=8$，则$EB + DC =$
12
.答案
9 12 由题意可得$BG$平分$∠ ABC$,$CF$平分$∠ ACB$,$\therefore ∠ ABG=∠ CBG$,$∠ DCF=∠ BCF$.又$\because ED// BC$,$\therefore ∠ EGB=∠ CBG$,$∠ DFC=∠ BCF$,$\therefore ∠ EBG=∠ EGB$,$∠ DFC=∠ DCF$,$\therefore EG=BE$,$DF=DC$,$\therefore EB+DC=EG+DF=ED+FG=12$.
解析
【分析】
本题可利用“平行线+角平分线”的常见几何模型推导等腰三角形，进而转化线段求解。首先结合角平分线定义得到相等的角，再根据平行线的内错角相等进行等量代换，得到两个等腰三角形，将EB、DC转化为ED上的线段EG、DF，最后分析线段EG、DF的和与已知线段ED、FG的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
∵ BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴ ∠ABG=∠CBG，∠DCF=∠BCF。
又
∵ ED//BC，
∴ ∠EGB=∠CBG（两直线平行，内错角相等），∠DFC=∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠DCF，
∴ EG=BE，DF=DC（等角对等边），
∴ EB+DC = EG + DF。
观察线段关系可得：EG = EF + FG，DF = FG + GD，
∴ EG + DF = EF + FG + FG + GD = (EF + FG + GD) + FG = ED + FG，
将FG=4，ED=8代入得：EB+DC = 8 + 4 = 12。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“平行线与角平分线结合构造等腰三角形”模型的典型应用，解题的核心是通过角的等量关系得到等角对等边，将所求线段和转化为已知线段的和，日常练习中注意总结这类常见几何模型的规律，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题可利用“平行线+角平分线”的常见几何模型推导等腰三角形，进而转化线段求解。首先结合角平分线定义得到相等的角，再根据平行线的内错角相等进行等量代换，得到两个等腰三角形，将EB、DC转化为ED上的线段EG、DF，最后分析线段EG、DF的和与已知线段ED、FG的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
∵ BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴ ∠ABG=∠CBG，∠DCF=∠BCF。
又
∵ ED//BC，
∴ ∠EGB=∠CBG（两直线平行，内错角相等），∠DFC=∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠DCF，
∴ EG=BE，DF=DC（等角对等边），
∴ EB+DC = EG + DF。
观察线段关系可得：EG = EF + FG，DF = FG + GD，
∴ EG + DF = EF + FG + FG + GD = (EF + FG + GD) + FG = ED + FG，
将FG=4，ED=8代入得：EB+DC = 8 + 4 = 12。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“平行线与角平分线结合构造等腰三角形”模型的典型应用，解题的核心是通过角的等量关系得到等角对等边，将所求线段和转化为已知线段的和，日常练习中注意总结这类常见几何模型的规律，可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 易错题 [2026徐州三十三中期中] 
，在△ABC中，∠B=25°，∠A=100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是
，在△ABC中，∠B=25°，∠A=100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是100°或55°或70°
。答案
10 $100°$或$55°$或$70°$ 由题意,分情况讨论:①如图1,当点$P$在$AB$上时,只有一种情况:$AP=AC$,此时顶角为$∠ BAC=100°$.②当点$P$在$BC$上时,有三种情况.$\because ∠ B=25°$,$∠ BAC=100°$,$\therefore ∠ C=180°-25°-100°=55°$.若$AC=PC$,如图2所示,此时顶角为$∠ C=55°$;若$AC=AP$,如图3所示,此时顶角为$∠ CAP=180°-2∠ C=180°-2×55°=70°$;若$PA=PC$,则$∠ C=∠ PAC=55°$,此时顶角为$180°-2×55°=70°$.综上所述,当$△ PAC$为等腰三角形时,其顶角的度数为$100°$或$55°$或$70°$.
解析
【分析】
解题时先计算出△ABC的内角∠C的度数，再结合点P在△ABC三边上运动的条件分类讨论：首先排除点P在AC上的情况（三点共线无法构成△PAC），再分别讨论点P在AB上、BC上时，△PAC为等腰三角形的所有可能情况，每种情况结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理计算顶角的度数，注意等腰三角形中钝角只能作为顶角，排除不符合的情况。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算∠C的度数：
$∠ C=180°-∠ B-∠ BAC=180°-25°-100°=55°$。
分情况讨论点P的位置：
① 当点P在AB边上时，如图1：
此时$∠ PAC=∠ BAC=100°$，为钝角，等腰三角形中钝角只能为顶角，因此仅存在$AP=AC$的情况，此时△PAC的顶角为$∠ PAC=100°$。
② 当点P在BC边上时，分三种等腰情况讨论：
若$AC=PC$，如图2，此时等腰三角形两腰为AC、PC，顶角为两边的夹角$∠ C=55°$；
若$AC=AP$，如图3，此时两腰为AC、AP，底角为$∠ C=∠ APC=55°$，因此顶角$∠ CAP=180°-2×55°=70°$；
若$PA=PC$，此时两腰为PA、PC，底角为$∠ C=∠ PAC=55°$，因此顶角$∠ APC=180°-2×55°=70°$。
③ 当点P在AC边上时，P、A、C三点共线，无法构成三角形，舍去该情况。
综上可得出△PAC为等腰三角形时的顶角度数。
【答案】
$100°$或$55°$或$70°$
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的易错题，解题的核心是根据点的位置和等腰三角形腰的选择进行全面分类讨论，做题时容易因漏掉某一种情况导致答案不全，同时要注意排除无法构成三角形的无效情况。
【难度系数】
0.6
解题时先计算出△ABC的内角∠C的度数，再结合点P在△ABC三边上运动的条件分类讨论：首先排除点P在AC上的情况（三点共线无法构成△PAC），再分别讨论点P在AB上、BC上时，△PAC为等腰三角形的所有可能情况，每种情况结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理计算顶角的度数，注意等腰三角形中钝角只能作为顶角，排除不符合的情况。
【解析】
首先根据三角形内角和为180°，计算∠C的度数：
$∠ C=180°-∠ B-∠ BAC=180°-25°-100°=55°$。
分情况讨论点P的位置：
① 当点P在AB边上时，如图1
：此时$∠ PAC=∠ BAC=100°$，为钝角，等腰三角形中钝角只能为顶角，因此仅存在$AP=AC$的情况，此时△PAC的顶角为$∠ PAC=100°$。
② 当点P在BC边上时，分三种等腰情况讨论：
若$AC=PC$，如图2
，此时等腰三角形两腰为AC、PC，顶角为两边的夹角$∠ C=55°$；若$AC=AP$，如图3
，此时两腰为AC、AP，底角为$∠ C=∠ APC=55°$，因此顶角$∠ CAP=180°-2×55°=70°$；若$PA=PC$，此时两腰为PA、PC，底角为$∠ C=∠ PAC=55°$，因此顶角$∠ APC=180°-2×55°=70°$。
③ 当点P在AC边上时，P、A、C三点共线，无法构成三角形，舍去该情况。
综上可得出△PAC为等腰三角形时的顶角度数。
【答案】
$100°$或$55°$或$70°$
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的易错题，解题的核心是根据点的位置和等腰三角形腰的选择进行全面分类讨论，做题时容易因漏掉某一种情况导致答案不全，同时要注意排除无法构成三角形的无效情况。
【难度系数】
0.6
11. ▶一题多解 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$分别是$AB$及$AC$延长线上的点,且$BD=CE$,连接$DE$交$BC$于点$G$.求证:$GD=GE$.
答案
11 解题思路:
证明:✅通解 如图1,过点$E$作$EF// AB$交$BC$的延长线于点$F$.
$\because AB=AC$,$EF// AB$,
$\therefore ∠ B=∠ ACB=∠ ECF=∠ F$,$\therefore EF=EC=BD$.
又$\because ∠ DGB=∠ EGF$,
$\therefore △ DBG≌△ EFG(\mathrm{AAS})$,$\therefore GD=GE$.
✅另解1 如图2,过点$D$作$DH// AC$交$BC$于点$H$.
$\because AB=AC$,$DH// AC$,
$\therefore ∠ B=∠ ACB=∠ DHB$,$∠ DHG=∠ ECG$,$\therefore BD=DH$.
又$\because BD=CE$,$\therefore DH=CE$.
在$△ DHG$和$△ ECG$中,
$\because ∠ DHG=∠ ECG$,$∠ HGD=∠ CGE$,$DH=EC$,
$\therefore △ DHG≌△ ECG$,$\therefore GD=GE$.
✅另解2 如图3,过点$D$,$E$分别作$BC$的垂线$DM$,$EN$,垂足分别为$M$,$N$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ ACB$.
又$\because ∠ ACB=∠ ECN$,
$\therefore ∠ B=∠ ECN$.
在$△ BMD$和$△ CNE$中,
$\because ∠ B=∠ ECN$,$∠ DMB=∠ N$,$BD=CE$,
$\therefore △ BMD≌△ CNE$,$\therefore DM=NE$.
在$△ DMG$和$△ ENG$中,
$\because ∠ DMG=∠ N$,$∠ DGM=∠ EGN$,$DM=EN$,
$\therefore △ DMG≌△ ENG$,$\therefore GD=GE$.
解析
【分析】
要证明GD=GE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知，∠BGD与∠CGE是对顶角，天然相等，已知条件给出BD=CE，结合AB=AC可推得∠B=∠ACB，因此只需通过作辅助线构造出一组相等的角或边，即可得到全等三角形完成证明，常见的辅助线作法有作平行线构造等角、作垂线构造直角三角形全等两类。
【解析】
方法一（通解）
如图1，过点$E$作$EF// AB$交$BC$的延长线于点$F$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠ACB$，
$\because EF// AB$，$\therefore ∠B=∠F$，
又$\because ∠ACB=∠ECF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ECF=∠F$，$\therefore EF=EC$，
$\because BD=CE$，$\therefore EF=BD$。
在$△ DBG$和$△ EFG$中：
$\begin{cases}∠DGB=∠EGF（对顶角相等）\\∠B=∠F\\BD=FE\end{cases}$
$\therefore △ DBG≌△ EFG(\mathrm{AAS})$，$\therefore GD=GE$。
方法二（另解1）
如图2，过点$D$作$DH// AC$交$BC$于点$H$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠ACB$，
$\because DH// AC$，$\therefore ∠DHB=∠ACB$，$∠DHG=∠ECG$，
$\therefore ∠B=∠DHB$，$\therefore BD=DH$，
$\because BD=CE$，$\therefore DH=CE$。
在$△ DHG$和$△ ECG$中：
$\begin{cases}∠DHG=∠ECG\\∠HGD=∠CGE（对顶角相等）\\DH=EC\end{cases}$
$\therefore △ DHG≌△ ECG(\mathrm{AAS})$，$\therefore GD=GE$。
方法三（另解2）
如图3，过点$D$、$E$分别作$DM⊥BC$于点$M$，$EN⊥BC$交$BC$的延长线于点$N$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠ACB$，
$\because ∠ACB=∠ECN$（对顶角相等），$\therefore ∠B=∠ECN$。
在$△ BMD$和$△ CNE$中：
$\begin{cases}∠DMB=∠N=90°\\∠B=∠ECN\\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BMD≌△ CNE(\mathrm{AAS})$，$\therefore DM=NE$。
在$△ DMG$和$△ ENG$中：
$\begin{cases}∠DMG=∠N=90°\\∠DGM=∠EGN（对顶角相等）\\DM=EN\end{cases}$
$\therefore △ DMG≌△ ENG(\mathrm{AAS})$，$\therefore GD=GE$。
【答案】
11 解题思路:
证明:✅通解 如图1,过点$E$作$EF// AB$交$BC$的延长线于点$F$.
$\because AB=AC$,$EF// AB$,
$\therefore ∠ B=∠ ACB=∠ ECF=∠ F$,$\therefore EF=EC=BD$.
又$\because ∠ DGB=∠ EGF$,
$\therefore △ DBG≌△ EFG(\mathrm{AAS})$,$\therefore GD=GE$.
✅另解1 如图2,过点$D$作$DH// AC$交$BC$于点$H$.
$\because AB=AC$,$DH// AC$,
$\therefore ∠ B=∠ ACB=∠ DHB$,$∠ DHG=∠ ECG$,$\therefore BD=DH$.
又$\because BD=CE$,$\therefore DH=CE$.
在$△ DHG$和$△ ECG$中,
$\because ∠ DHG=∠ ECG$,$∠ HGD=∠ CGE$,$DH=EC$,
$\therefore △ DHG≌△ ECG$,$\therefore GD=GE$.
✅另解2 如图3,过点$D$,$E$分别作$BC$的垂线$DM$,$EN$,垂足分别为$M$,$N$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ ACB$.
又$\because ∠ ACB=∠ ECN$,
$\therefore ∠ B=∠ ECN$.
在$△ BMD$和$△ CNE$中,
$\because ∠ B=∠ ECN$,$∠ DMB=∠ N$,$BD=CE$,
$\therefore △ BMD≌△ CNE$,$\therefore DM=NE$.
在$△ DMG$和$△ ENG$中,
$\because ∠ DMG=∠ N$,$∠ DGM=∠ EGN$,$DM=EN$,
$\therefore △ DMG≌△ ENG$,$\therefore GD=GE$.
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型证明题，通过多种辅助线构造方法实现一题多解，核心是利用已知条件构造全等三角形证明线段相等，有助于培养发散性思维，提升几何证明中辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.6
要证明GD=GE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知，∠BGD与∠CGE是对顶角，天然相等，已知条件给出BD=CE，结合AB=AC可推得∠B=∠ACB，因此只需通过作辅助线构造出一组相等的角或边，即可得到全等三角形完成证明，常见的辅助线作法有作平行线构造等角、作垂线构造直角三角形全等两类。
【解析】
方法一（通解）
如图1，过点$E$作$EF// AB$交$BC$的延长线于点$F$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠ACB$，
$\because EF// AB$，$\therefore ∠B=∠F$，
又$\because ∠ACB=∠ECF$（对顶角相等），
$\therefore ∠ECF=∠F$，$\therefore EF=EC$，
$\because BD=CE$，$\therefore EF=BD$。
在$△ DBG$和$△ EFG$中：
$\begin{cases}∠DGB=∠EGF（对顶角相等）\\∠B=∠F\\BD=FE\end{cases}$
$\therefore △ DBG≌△ EFG(\mathrm{AAS})$，$\therefore GD=GE$。
方法二（另解1）
如图2，过点$D$作$DH// AC$交$BC$于点$H$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠ACB$，
$\because DH// AC$，$\therefore ∠DHB=∠ACB$，$∠DHG=∠ECG$，
$\therefore ∠B=∠DHB$，$\therefore BD=DH$，
$\because BD=CE$，$\therefore DH=CE$。
在$△ DHG$和$△ ECG$中：
$\begin{cases}∠DHG=∠ECG\\∠HGD=∠CGE（对顶角相等）\\DH=EC\end{cases}$
$\therefore △ DHG≌△ ECG(\mathrm{AAS})$，$\therefore GD=GE$。
方法三（另解2）
如图3，过点$D$、$E$分别作$DM⊥BC$于点$M$，$EN⊥BC$交$BC$的延长线于点$N$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠ACB$，
$\because ∠ACB=∠ECN$（对顶角相等），$\therefore ∠B=∠ECN$。
在$△ BMD$和$△ CNE$中：
$\begin{cases}∠DMB=∠N=90°\\∠B=∠ECN\\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BMD≌△ CNE(\mathrm{AAS})$，$\therefore DM=NE$。
在$△ DMG$和$△ ENG$中：
$\begin{cases}∠DMG=∠N=90°\\∠DGM=∠EGN（对顶角相等）\\DM=EN\end{cases}$
$\therefore △ DMG≌△ ENG(\mathrm{AAS})$，$\therefore GD=GE$。
【答案】
11 解题思路:
证明:✅通解 如图1,过点$E$作$EF// AB$交$BC$的延长线于点$F$.
$\because AB=AC$,$EF// AB$,
$\therefore ∠ B=∠ ACB=∠ ECF=∠ F$,$\therefore EF=EC=BD$.
又$\because ∠ DGB=∠ EGF$,
$\therefore △ DBG≌△ EFG(\mathrm{AAS})$,$\therefore GD=GE$.
✅另解1 如图2,过点$D$作$DH// AC$交$BC$于点$H$.
$\because AB=AC$,$DH// AC$,
$\therefore ∠ B=∠ ACB=∠ DHB$,$∠ DHG=∠ ECG$,$\therefore BD=DH$.
又$\because BD=CE$,$\therefore DH=CE$.
在$△ DHG$和$△ ECG$中,
$\because ∠ DHG=∠ ECG$,$∠ HGD=∠ CGE$,$DH=EC$,
$\therefore △ DHG≌△ ECG$,$\therefore GD=GE$.
✅另解2 如图3,过点$D$,$E$分别作$BC$的垂线$DM$,$EN$,垂足分别为$M$,$N$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ ACB$.
又$\because ∠ ACB=∠ ECN$,
$\therefore ∠ B=∠ ECN$.
在$△ BMD$和$△ CNE$中,
$\because ∠ B=∠ ECN$,$∠ DMB=∠ N$,$BD=CE$,
$\therefore △ BMD≌△ CNE$,$\therefore DM=NE$.
在$△ DMG$和$△ ENG$中,
$\because ∠ DMG=∠ N$,$∠ DGM=∠ EGN$,$DM=EN$,
$\therefore △ DMG≌△ ENG$,$\therefore GD=GE$.
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的典型证明题，通过多种辅助线构造方法实现一题多解，核心是利用已知条件构造全等三角形证明线段相等，有助于培养发散性思维，提升几何证明中辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.6
12. 新趋势·尺规作图 [2026南京五十中月考] 利用直尺和圆规，用两种不同的方法，过点P作直线交∠MAN的两边于点B,C，使得△ABC为等腰三角形.(保留作图痕迹，不写作法)
答案
12 解题思路 方法一:作$AE$平分$∠ MAN$,作$PF⊥ AE$交$AM$于点$B$,交$AN$于点$C$,$△ ABC$即为所求.
方法二:在$AN$上任意取一点$T$,作$∠ RTA=∠ A$,过点$P$作直线$JW// AM$,交$RT$于点$W$,作$∠ JPB=∠ JWT$,$PB$交$AM$于点$B$,交$AN$于点$C$,$△ ABC$即为所求.
解:如图,$△ ABC$即为所求.
解析
【分析】
要构造过点P的直线截∠MAN得到等腰△ABC，可结合等腰三角形的判定思路设计作图：思路1利用等腰三角形“三线合一”的性质逆推，先作∠MAN的角平分线，再过点P作角平分线的垂线，截得的三角形满足AB=AC，即为等腰三角形；思路2利用“等角对等边”的判定定理，通过构造等角、平行线转移角的关系，使三角形中有两个内角相等，从而得到等腰三角形。
【解析】
方法一：①用尺规作∠MAN的角平分线AE；②过点P作PF⊥AE，PF分别交AM于点B、交AN于点C。此时AE平分∠BAC且AE⊥BC，可证△ABE≌△ACE（ASA），得AB=AC，故△ABC为等腰三角形。
方法二：①在AN上任取一点T，用尺规作∠RTA=∠MAN；②过点P作直线JW//AM，交RT于点W；③作∠JPB=∠JWT，延长PB交AM于点B、交AN于点C。由∠JPB=∠JWT可得BC//RT，故∠ACB=∠RTA=∠MAN，即∠ACB=∠BAC，得AB=BC，故△ABC为等腰三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求。
【知识点】
等腰三角形的判定；基本尺规作图；平行线的性质
【点评】
本题将尺规作图与等腰三角形的判定相结合，需要灵活运用几何性质设计作图方案，解法不唯一，能较好地考查几何作图能力和发散思维能力。
【难度系数】
0.6
要构造过点P的直线截∠MAN得到等腰△ABC，可结合等腰三角形的判定思路设计作图：思路1利用等腰三角形“三线合一”的性质逆推，先作∠MAN的角平分线，再过点P作角平分线的垂线，截得的三角形满足AB=AC，即为等腰三角形；思路2利用“等角对等边”的判定定理，通过构造等角、平行线转移角的关系，使三角形中有两个内角相等，从而得到等腰三角形。
【解析】
方法一：①用尺规作∠MAN的角平分线AE；②过点P作PF⊥AE，PF分别交AM于点B、交AN于点C。此时AE平分∠BAC且AE⊥BC，可证△ABE≌△ACE（ASA），得AB=AC，故△ABC为等腰三角形。
方法二：①在AN上任取一点T，用尺规作∠RTA=∠MAN；②过点P作直线JW//AM，交RT于点W；③作∠JPB=∠JWT，延长PB交AM于点B、交AN于点C。由∠JPB=∠JWT可得BC//RT，故∠ACB=∠RTA=∠MAN，即∠ACB=∠BAC，得AB=BC，故△ABC为等腰三角形。
【答案】
如图，△ABC即为所求。
【知识点】
等腰三角形的判定；基本尺规作图；平行线的性质
【点评】
本题将尺规作图与等腰三角形的判定相结合，需要灵活运用几何性质设计作图方案，解法不唯一，能较好地考查几何作图能力和发散思维能力。
【难度系数】
0.6
13. 应用意识【知识回顾】我们已经学习了五种用尺规完成的基本作图:①作一条线段等于已知线段;②作一个角等于已知角;③作一个角的平分线;④过一点作已知直线的垂线;⑤作一条线段的垂直平分线.
【图形呈现】
有一个内角为36°的等腰三角形叫黄金三角形.我们将底角为36°的等腰三角形称为“黄金1号”;顶角为36°的等腰三角形称为“黄金2号”.这两种黄金三角形,你中有我,我中有你.
【实践操作】我们可运用尺规作图将一个大的黄金三角形分割成两个小的黄金三角形.
(1)小乐同学选择尺规基本作图①,如图1,在黄金1号△ABC的底边BC上截取BM = AB,连接AM后,得到△ABM和△ACM.小乐认为这两个三角形都是黄金三角形,小乐的说法对吗?请判断并证明你的结论.
(2)请你从尺规基本作图②③④⑤中选择一种,在图2的黄金2号△DEF的腰DF上找一点G,连接EG,将△DEF分割成两个小的黄金三角形.(要求:不写作法,保留作图痕迹,标注字母)
【图形呈现】
有一个内角为36°的等腰三角形叫黄金三角形.我们将底角为36°的等腰三角形称为“黄金1号”;顶角为36°的等腰三角形称为“黄金2号”.这两种黄金三角形,你中有我,我中有你.
【实践操作】我们可运用尺规作图将一个大的黄金三角形分割成两个小的黄金三角形.
(1)小乐同学选择尺规基本作图①,如图1,在黄金1号△ABC的底边BC上截取BM = AB,连接AM后,得到△ABM和△ACM.小乐认为这两个三角形都是黄金三角形,小乐的说法对吗?请判断并证明你的结论.
(2)请你从尺规基本作图②③④⑤中选择一种,在图2的黄金2号△DEF的腰DF上找一点G,连接EG,将△DEF分割成两个小的黄金三角形.(要求:不写作法,保留作图痕迹,标注字母)
答案
13 解:(1)小乐的说法对.证明如下:
$\because ∠ ABC=∠ ACB=36°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-2×36°=108°$.
由作图知$AB=MB$,
$\therefore ∠ BAM=∠ BMA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$,
$\therefore △ ABM$为黄金三角形.
$\because ∠ MAC=∠ BAC-∠ BAM=36°=∠ C$,
$\therefore AM=CM$,$\therefore △ ACM$为黄金三角形.
(2)利用②作$∠ GEF=∠ D$,如图1所示.
$\because ∠ D=36°$,$DE=DF$,
$\therefore ∠ DEF=∠ F=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$.
由作图知$∠ GEF=∠ D=36°$,
$\therefore ∠ DEG=∠ DEF-∠ GEF=36°$,$\therefore DG=EG$,
$∠ EGF=∠ DEG+∠ D=72°=∠ F$,
$\therefore EG=EF$,$\therefore △ DEG$,$△ EFG$均为黄金三角形.
利用③作$∠ DEF$的平分线,如图2所示.
由作图知$∠ DEG=∠ GEF=\frac{1}{2}∠ DEF=36°$,
$\therefore ∠ DEG=∠ D$,$∠ EGF=180°-∠ GEF-∠ F=72°=∠ F$,
$\therefore DG=EG$,$EG=EF$,
$\therefore △ DEG$,$△ EFG$均为黄金三角形.
(答案不唯一,利用⑤作$DE$的垂直平分线也可以,选择一种即可)
解析
【分析】
(1) 解题核心是紧扣黄金三角形的定义：底角为36°的等腰三角形是黄金1号，顶角为36°的等腰三角形是黄金2号。首先计算原黄金1号△ABC的各内角度数，再结合作图条件$AB=BM$，分别推导两个小三角形的内角，判断是否满足等腰且存在36°角即可。
(2) 黄金2号△DEF顶角$∠D=36°$，两底角为72°，要分割出两个黄金三角形，只需将72°的底角拆分为两个36°的角即可，可通过作角平分线、作一个角等于36°、作线段垂直平分线这几种尺规作图实现。
【解析】
(1) 小乐的说法对，证明如下：
$\because △ABC$是黄金1号，$\therefore ∠ABC=∠ACB=36°$,
根据三角形内角和为180°，得$∠BAC=180°-2×36°=108°$.
由作图知$AB=MB$，$\therefore △ABM$为等腰三角形，
$\therefore ∠BAM=∠BMA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$,
△ABM的顶角为36°，是等腰三角形，符合黄金2号定义，$\therefore △ABM$为黄金三角形.
$\because ∠MAC=∠BAC-∠BAM=108°-72°=36°=∠C$,
$\therefore AM=CM$，△ACM是底角为36°的等腰三角形，符合黄金1号定义，$\therefore △ACM$为黄金三角形.
(2) 以选择基本作图③作角平分线为例：
$\because △DEF$是黄金2号，$\therefore ∠D=36°$，$DE=DF$,
$\therefore ∠DEF=∠F=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$.
作$∠DEF$的平分线EG交DF于G，由角平分线定义得$∠DEG=∠GEF=\frac{1}{2}∠DEF=36°$,
$\therefore ∠DEG=∠D$，$\therefore DG=EG$，△DEG是顶角为36°的等腰三角形，为黄金三角形；
$∠EGF=180°-∠GEF-∠F=180°-36°-72°=72°=∠F$，$\therefore EG=EF$，△EFG是顶角为36°的等腰三角形，为黄金三角形。
（选择作图②、⑤同理可证）
【答案】
(1) 小乐的说法对，证明如上；
(2) 示例1（作$∠GEF=∠D$）：
示例2（作$∠DEF$的平分线）：
（答案不唯一，任选一种即可）
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题结合新定义“黄金三角形”考查几何知识的综合应用，既需要准确理解新定义的内涵，也需要熟练运用等腰三角形的性质、判定和角度计算的相关知识，同时对尺规作图的动手操作能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 解题核心是紧扣黄金三角形的定义：底角为36°的等腰三角形是黄金1号，顶角为36°的等腰三角形是黄金2号。首先计算原黄金1号△ABC的各内角度数，再结合作图条件$AB=BM$，分别推导两个小三角形的内角，判断是否满足等腰且存在36°角即可。
(2) 黄金2号△DEF顶角$∠D=36°$，两底角为72°，要分割出两个黄金三角形，只需将72°的底角拆分为两个36°的角即可，可通过作角平分线、作一个角等于36°、作线段垂直平分线这几种尺规作图实现。
【解析】
(1) 小乐的说法对，证明如下：
$\because △ABC$是黄金1号，$\therefore ∠ABC=∠ACB=36°$,
根据三角形内角和为180°，得$∠BAC=180°-2×36°=108°$.
由作图知$AB=MB$，$\therefore △ABM$为等腰三角形，
$\therefore ∠BAM=∠BMA=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$,
△ABM的顶角为36°，是等腰三角形，符合黄金2号定义，$\therefore △ABM$为黄金三角形.
$\because ∠MAC=∠BAC-∠BAM=108°-72°=36°=∠C$,
$\therefore AM=CM$，△ACM是底角为36°的等腰三角形，符合黄金1号定义，$\therefore △ACM$为黄金三角形.
(2) 以选择基本作图③作角平分线为例：
$\because △DEF$是黄金2号，$\therefore ∠D=36°$，$DE=DF$,
$\therefore ∠DEF=∠F=\frac{1}{2}×(180°-36°)=72°$.
作$∠DEF$的平分线EG交DF于G，由角平分线定义得$∠DEG=∠GEF=\frac{1}{2}∠DEF=36°$,
$\therefore ∠DEG=∠D$，$\therefore DG=EG$，△DEG是顶角为36°的等腰三角形，为黄金三角形；
$∠EGF=180°-∠GEF-∠F=180°-36°-72°=72°=∠F$，$\therefore EG=EF$，△EFG是顶角为36°的等腰三角形，为黄金三角形。
（选择作图②、⑤同理可证）
【答案】
(1) 小乐的说法对，证明如上；
(2) 示例1（作$∠GEF=∠D$）：
示例2（作$∠DEF$的平分线）：
（答案不唯一，任选一种即可）
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题结合新定义“黄金三角形”考查几何知识的综合应用，既需要准确理解新定义的内涵，也需要熟练运用等腰三角形的性质、判定和角度计算的相关知识，同时对尺规作图的动手操作能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
