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1. [2026连云港新海实验中学期中]在等腰三角形中，一个内角比另一个内角的2倍还多$10°$,则该等腰三角形中最小的内角的度数是
32°或42.5°
.答案
1 32°或42.5° 设等腰三角形的底角为α,顶角为β. 分两种情况:①若 β =2α +10°,则由三角形内角和定理得 2α +β =180°,即 2α + (2α +10°) =180°,解得 α =42.5°,
∴ β =2×42.5° +10° =95°,此时最小角为42.5°;②若 α =2β +10°,则 2α +β =180°,即 2(2β +10°) +β =180°,解得 β =32°,
∴ α =2×32° +10° =74°,此时最小角为32°. 综上所述,该等腰三角形中最小的内角的度数为32°或42.5°.
∴ β =2×42.5° +10° =95°,此时最小角为42.5°;②若 α =2β +10°,则 2α +β =180°,即 2(2β +10°) +β =180°,解得 β =32°,
∴ α =2×32° +10° =74°,此时最小角为32°. 综上所述,该等腰三角形中最小的内角的度数为32°或42.5°.
解析
【分析】
等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目未明确“一个内角”和“另一个内角”是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角是底角的2倍多10°；②底角是顶角的2倍多10°。分别根据内角和列方程求解，再比较每种情况中三个内角的大小，得到最小内角即可。
【解析】
设等腰三角形的底角度数为$α$，顶角度数为$β$，根据三角形内角和定理可得$2α+β=180°$，分两种情况讨论：
①若顶角是底角的2倍多$10°$，即$β=2α+10°$，代入内角和公式得：
$2α + (2α + 10°) = 180°$
$4α = 170°$
解得$α=42.5°$，此时$β=2×42.5°+10°=95°$
三个内角度数为$42.5°$、$42.5°$、$95°$，最小内角为$42.5°$；
②若底角是顶角的2倍多$10°$，即$α=2β+10°$，代入内角和公式得：
$2(2β + 10°) + β = 180°$
$5β + 20° = 180°$
$5β=160°$
解得$β=32°$，此时$α=2×32°+10°=74°$
三个内角度数为$74°$、$74°$、$32°$，最小内角为$32°$。
综上，该等腰三角形中最小的内角的度数是$32°$或$42.5°$。
【答案】
$32°$或$42.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略未明确角的类型而漏解，解题时需结合等腰三角形角的性质分情况讨论，求出结果后可通过内角和验证结果是否正确。
【难度系数】
0.6
等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目未明确“一个内角”和“另一个内角”是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①顶角是底角的2倍多10°；②底角是顶角的2倍多10°。分别根据内角和列方程求解，再比较每种情况中三个内角的大小，得到最小内角即可。
【解析】
设等腰三角形的底角度数为$α$，顶角度数为$β$，根据三角形内角和定理可得$2α+β=180°$，分两种情况讨论：
①若顶角是底角的2倍多$10°$，即$β=2α+10°$，代入内角和公式得：
$2α + (2α + 10°) = 180°$
$4α = 170°$
解得$α=42.5°$，此时$β=2×42.5°+10°=95°$
三个内角度数为$42.5°$、$42.5°$、$95°$，最小内角为$42.5°$；
②若底角是顶角的2倍多$10°$，即$α=2β+10°$，代入内角和公式得：
$2(2β + 10°) + β = 180°$
$5β + 20° = 180°$
$5β=160°$
解得$β=32°$，此时$α=2×32°+10°=74°$
三个内角度数为$74°$、$74°$、$32°$，最小内角为$32°$。
综上，该等腰三角形中最小的内角的度数是$32°$或$42.5°$。
【答案】
$32°$或$42.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易因忽略未明确角的类型而漏解，解题时需结合等腰三角形角的性质分情况讨论，求出结果后可通过内角和验证结果是否正确。
【难度系数】
0.6
2. [2026盐城响水期中]等腰三角形的周长是30，其中一边长是8，则等腰三角形的底边长是
14或8
。答案
2 14或8 分两种情况:①当等腰三角形的腰长为8时,
∵ 等腰三角形的周长是30,
∴ 它的底边长 =30 -8 -8 =14;②当等腰三角形的底边长为8时,
∵ 等腰三角形的周长是30,
∴ 它的腰长 =1/2 ×(30 -8) =11. 综上所述,等腰三角形的底边长是14或8.
∵ 等腰三角形的周长是30,
∴ 它的底边长 =30 -8 -8 =14;②当等腰三角形的底边长为8时,
∵ 等腰三角形的周长是30,
∴ 它的腰长 =1/2 ×(30 -8) =11. 综上所述,等腰三角形的底边长是14或8.
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的边长计算，由于题干未明确长度为8的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①假设8为腰长，结合周长公式计算底边长；②假设8为底边长，结合周长公式计算腰长，最后需要验证两种情况下的三边是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），确保能构成三角形。
【解析】
分两种情况讨论：
①当等腰三角形的腰长为8时：
已知等腰三角形周长为30，根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长，可得底边长 = 30 - 8 - 8 = 14；
此时三边长为8、8、14，满足8+8＞14，可构成三角形，符合题意。
②当等腰三角形的底边长为8时：
根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长，可得腰长 = $\frac{1}{2}$×(30 - 8) = 11；
此时三边长为11、11、8，满足11+8＞11，可构成三角形，符合题意。
综上所述，等腰三角形的底边长是14或8。
【答案】
14或8
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型基础题，解题的关键是明确未指定边的类型时要分类讨论，同时不要忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的边长计算，由于题干未明确长度为8的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①假设8为腰长，结合周长公式计算底边长；②假设8为底边长，结合周长公式计算腰长，最后需要验证两种情况下的三边是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），确保能构成三角形。
【解析】
分两种情况讨论：
①当等腰三角形的腰长为8时：
已知等腰三角形周长为30，根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长，可得底边长 = 30 - 8 - 8 = 14；
此时三边长为8、8、14，满足8+8＞14，可构成三角形，符合题意。
②当等腰三角形的底边长为8时：
根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长，可得腰长 = $\frac{1}{2}$×(30 - 8) = 11；
此时三边长为11、11、8，满足11+8＞11，可构成三角形，符合题意。
综上所述，等腰三角形的底边长是14或8。
【答案】
14或8
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型基础题，解题的关键是明确未指定边的类型时要分类讨论，同时不要忽略验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.7
3. 在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，一边上的中线$BD$将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为
7或11
。答案
3 7或11 分两种情况:①当15是腰长与腰长一半时,AC + 1/2 AC =15,
∴ AC =10,此时底边长为12 - 1/2 ×10 =7;②当12是腰长与腰长一半时,AC + 1/2 AC =12,
∴ AC =8,此时底边长为15 - 1/2 ×8 =11. 综上所述,该等腰三角形的底边长为7或11.
∴ AC =10,此时底边长为12 - 1/2 ×10 =7;②当12是腰长与腰长一半时,AC + 1/2 AC =12,
∴ AC =8,此时底边长为15 - 1/2 ×8 =11. 综上所述,该等腰三角形的底边长为7或11.
解析
【分析】
解题时首先明确BD是等腰三角形腰AC上的中线，可得$AD=DC=\frac{1}{2}AC$；由于题目未说明周长被分成的15和12两部分分别对应哪部分边长和，因此需要分两种情况讨论：第一种是腰长与半腰长的和为15，第二种是腰长与半腰长的和为12；计算出腰长和底边长后，还要验证三边是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况即可得到底边长。
【解析】
设等腰三角形的腰长$AB=AC=x$，底边长$BC=y$，
∵BD是AC边上的中线，
∴$AD=DC=\frac{1}{2}x$。
分两种情况讨论：
① 当腰长与半腰长的和为15时，即$x+\frac{1}{2}x=15$，
解得$x=10$，
此时底边长$y=12-\frac{1}{2}x=12-5=7$，
三角形三边长为10、10、7，满足三角形三边关系，符合题意；
② 当腰长与半腰长的和为12时，即$x+\frac{1}{2}x=12$，
解得$x=8$，
此时底边长$y=15-\frac{1}{2}x=15-4=11$，
三角形三边长为8、8、11，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，该等腰三角形的底边长为7或11。
【答案】
7或11
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，中线的定义
【点评】
本题易错点在于容易漏分情况讨论，或者计算后忽略验证三角形三边是否符合构成条件，解题时遇到未明确说明的分段条件，要养成分类讨论的习惯，最终结果要符合几何实际意义。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确BD是等腰三角形腰AC上的中线，可得$AD=DC=\frac{1}{2}AC$；由于题目未说明周长被分成的15和12两部分分别对应哪部分边长和，因此需要分两种情况讨论：第一种是腰长与半腰长的和为15，第二种是腰长与半腰长的和为12；计算出腰长和底边长后，还要验证三边是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况即可得到底边长。
【解析】
设等腰三角形的腰长$AB=AC=x$，底边长$BC=y$，
∵BD是AC边上的中线，
∴$AD=DC=\frac{1}{2}x$。
分两种情况讨论：
① 当腰长与半腰长的和为15时，即$x+\frac{1}{2}x=15$，
解得$x=10$，
此时底边长$y=12-\frac{1}{2}x=12-5=7$，
三角形三边长为10、10、7，满足三角形三边关系，符合题意；
② 当腰长与半腰长的和为12时，即$x+\frac{1}{2}x=12$，
解得$x=8$，
此时底边长$y=15-\frac{1}{2}x=15-4=11$，
三角形三边长为8、8、11，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，该等腰三角形的底边长为7或11。
【答案】
7或11
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，中线的定义
【点评】
本题易错点在于容易漏分情况讨论，或者计算后忽略验证三角形三边是否符合构成条件，解题时遇到未明确说明的分段条件，要养成分类讨论的习惯，最终结果要符合几何实际意义。
【难度系数】
0.6
4. [2026 常州正衡中学考]一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $50°$,则该等腰三角形的顶角度数为
40°或140°
.答案
4 40°或140° 分两种情况:①当三角形为锐角三角形时,如图1所示,AB = AC,∠ABD =50°,BD 为高,即 ∠ADB =90°,此时 ∠A + ∠ABD + ∠ADB =180°,
∴ ∠A =180° - ∠ABD - ∠ADB =180° -50° -90° =40°,即此时等腰三角形的顶角度数为40°;②当三角形为钝角三角形时,如图2所示,AB = AC,∠ABD =50°,BD 为高,即 ∠ADB =90°,此时 ∠BAC = ∠ADB + ∠ABD =90° +50° =140°. 综上所述,等腰三角形的顶角的度数为40°或140°.
解析
【分析】
解题时首先要明确，未指明类型的等腰三角形，一腰上的高的位置存在两种可能：锐角等腰三角形的高在三角形内部，钝角等腰三角形的高在三角形外部（腰的延长线上），因此需要分类讨论求解。每种情况结合高与腰夹角为90°的性质，利用三角形内角和定理或外角性质计算顶角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，AB=AC，BD为AC边上的高，即∠ADB=90°。
已知∠ABD=50°，在△ABD中根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A=180°-∠ ADB-∠ ABD=180°-90°-50°=40°$，即此时顶角为40°。
② 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2所示，AB=AC，BD为AC边上的高（交CA的延长线于D），即∠ADB=90°。
已知∠ABD=50°，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得顶角：
$∠ BAC=∠ ADB+∠ ABD=90°+50°=140°$。
综上，该等腰三角形的顶角度数为40°或140°。
【答案】
40°或140°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时容易忽略高在三角形外部的情况，只需结合三角形高的位置特点分情况计算，即可得到完整答案。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确，未指明类型的等腰三角形，一腰上的高的位置存在两种可能：锐角等腰三角形的高在三角形内部，钝角等腰三角形的高在三角形外部（腰的延长线上），因此需要分类讨论求解。每种情况结合高与腰夹角为90°的性质，利用三角形内角和定理或外角性质计算顶角即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，AB=AC，BD为AC边上的高，即∠ADB=90°。
已知∠ABD=50°，在△ABD中根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A=180°-∠ ADB-∠ ABD=180°-90°-50°=40°$，即此时顶角为40°。
② 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2所示，AB=AC，BD为AC边上的高（交CA的延长线于D），即∠ADB=90°。
已知∠ABD=50°，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得顶角：
$∠ BAC=∠ ADB+∠ ABD=90°+50°=140°$。
综上，该等腰三角形的顶角度数为40°或140°。
【答案】
40°或140°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时容易忽略高在三角形外部的情况，只需结合三角形高的位置特点分情况计算，即可得到完整答案。
【难度系数】
0.6
5. [2026 无锡宜兴期中] 在$△ ABC$中，$AB = AC$，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为$40°$，则底角$∠ B$的度数为
65°或25°
.答案
5 65°或25° 分两种情况:①当△ABC 为锐角三角形时,如图1所示. 设 AB 的垂直平分线交线段 AC 于点 D,交 AB 于点 E.
∵ ∠ADE =40°,DE ⊥ AB,
∴ ∠A =90° -40° =50°.
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = 1/2(180° - ∠A) =65°;②当△ABC 为钝角三角形时,如图2所示. 设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 CA 的延长线于点 D.
∵ ∠ADE =40°,DE ⊥ AB,
∴ ∠DAB =50°.
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ ∠B + ∠C = ∠DAB,
∴ ∠B + ∠B =50°,
∴ ∠B =25°. 综上所述,∠B 的度数为65°或25°.
解析
【分析】
解题时首先关注题目中“AB的垂直平分线与AC所在直线相交”的表述，“所在直线”说明交点位置存在两种情况：①交点在线段AC上，此时△ABC为锐角三角形；②交点在CA的延长线上，此时△ABC为钝角三角形，两种情况都要分析避免漏解。接下来结合垂直平分线的垂直性质得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出顶角（或顶角的外角）度数，再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和或外角性质计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，即∠AED=90°。
已知∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠A = 90° - ∠ADE = 90° - 40° = 50°。
又
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，底角∠B=∠C。
根据三角形内角和为180°，得$∠ B = \frac{1}{2}×(180° - ∠ A) = \frac{1}{2}×(180° - 50°) = 65°$。
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，即∠AED=90°。
已知∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠DAB = 90° - ∠ADE = 90° - 40° = 50°。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
根据三角形外角性质，∠DAB是△ABC的外角，等于与它不相邻的两个内角和，即∠DAB = ∠B + ∠C。
代入∠B=∠C，得$2∠ B = 50°$，解得∠B=25°。
综上所述，∠B的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解。解题时要注意几何题中“所在直线”这类表述的分类讨论要求，结合图形分情况分析，再运用相关性质计算角度即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先关注题目中“AB的垂直平分线与AC所在直线相交”的表述，“所在直线”说明交点位置存在两种情况：①交点在线段AC上，此时△ABC为锐角三角形；②交点在CA的延长线上，此时△ABC为钝角三角形，两种情况都要分析避免漏解。接下来结合垂直平分线的垂直性质得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出顶角（或顶角的外角）度数，再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和或外角性质计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，即∠AED=90°。
已知∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠A = 90° - ∠ADE = 90° - 40° = 50°。
又
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，底角∠B=∠C。
根据三角形内角和为180°，得$∠ B = \frac{1}{2}×(180° - ∠ A) = \frac{1}{2}×(180° - 50°) = 65°$。
②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，即∠AED=90°。
已知∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠DAB = 90° - ∠ADE = 90° - 40° = 50°。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
根据三角形外角性质，∠DAB是△ABC的外角，等于与它不相邻的两个内角和，即∠DAB = ∠B + ∠C。
代入∠B=∠C，得$2∠ B = 50°$，解得∠B=25°。
综上所述，∠B的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解。解题时要注意几何题中“所在直线”这类表述的分类讨论要求，结合图形分情况分析，再运用相关性质计算角度即可。
【难度系数】
0.6
6. [2026徐州期中]在等腰三角形ABC中,过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形,求∠BAC的度数.
7. 如图,在△ABC中,AB = AC,∠B = 30°.将△ABC从图中虚线的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°＜α＜100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.当△DOM是等腰三角形时,求旋转角α的度数.
7. 如图,在△ABC中,AB = AC,∠B = 30°.将△ABC从图中虚线的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°＜α＜100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.当△DOM是等腰三角形时,求旋转角α的度数.
答案
6 解:不妨设点 D 在 BC 上.
∵ △ABC 是等腰三角形,A 是顶点,
∴ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C. 设 ∠B = ∠C =x. 分两种情况:①当 BD = AD,CD = AD 时,如图1.
∵ BD = AD,CD = AD,
∴ ∠BAD = ∠B =x,∠CAD = ∠C =x,
∴ 4x =180°,解得 x =45°,
∴ ∠BAC =2x =45°×2 =90°.
②当 AD = BD,AC = CD 时,如图2.
∵ AD = BD,AC = CD,
∴ ∠BAD = ∠B =x,∠CAD = 1/2(180° -x),
∵ ∠CAD + ∠BAD = ∠BAC,
∴ 1/2(180° -x) +x =180° -2x,解得 x =36°,
∴ ∠BAC =180° -2x =180° -2×36° =108°.
综上所述,∠BAC 的度数为90°或108°.
7 解:由旋转的性质,得 ∠D = ∠B =30°. 分情况讨论如下:
①如图1,当 DM = OM 时,∠MOD = ∠D =30°.
∴ α = ∠MOD =30°;
②如图2,当 DM = DO 时,∠DMO = ∠DOM = 1/2(180° - ∠D) =75°,
∴ α = ∠DOM =75°;
③如图3,当 OM = OD 时,∠OMD = ∠D =30°,
∴ α = ∠DOM =120°,不合题意,
这种情形不存在.
综上所述,当△DOM 是等腰三角形时,旋转角 α 的度数为30°或75°.
解析
第6题
【分析】
本题是等腰三角形分割类问题，解题时先明确△ABC为等腰三角形且A是顶角顶点，因此AB=AC，∠B=∠C。要使AD分割得到的两个三角形都是等腰三角形，需分两类情况讨论：①两个小三角形均以AD为腰；②一个小三角形以AD为腰，另一个以AC为腰。设∠B=∠C=x，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
不妨设点 D 在 BC 上.
∵ △ABC 是等腰三角形,A 是顶点,
∴ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C. 设 ∠B = ∠C =x. 分两种情况:
①当 BD = AD,CD = AD 时,如图1.
∵ BD = AD,CD = AD,
∴ ∠BAD = ∠B =x,∠CAD = ∠C =x,
∴ 4x =180°,解得 x =45°,
∴ ∠BAC =2x =45°×2 =90°.
②当 AD = BD,AC = CD 时,如图2.
∵ AD = BD,AC = CD,
∴ ∠BAD = ∠B =x,∠CAD = $\frac{1}{2}$(180° -x),
∵ ∠CAD + ∠BAD = ∠BAC,
∴ $\frac{1}{2}$(180° -x) +x =180° -2x,解得 x =36°,
∴ ∠BAC =180° -2x =180° -2×36° =108°.
综上所述,∠BAC 的度数为90°或108°.
【答案】
∠BAC的度数为90°或108°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形等边对等角的性质，解题的关键是根据分割后两个三角形均为等腰三角形的要求合理分类，结合三角形内角和建立方程求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
---
第7题
【分析】
本题结合旋转背景考查等腰三角形的分类讨论，首先根据旋转的性质可得∠D=∠B=30°，旋转角α=∠BAD。△DOM为等腰三角形时，需分三种情况讨论：DM=OM、DM=DO、OM=OD，分别利用等腰三角形等边对等角的性质计算∠DOM的度数，再结合旋转角的范围0°＜α＜100°排除不符合条件的解即可。
【解析】
由旋转的性质,得 ∠D = ∠B =30°. 分情况讨论如下:
①如图1,当 DM = OM 时,∠MOD = ∠D =30°.
∴ α = ∠MOD =30°;
②如图2,当 DM = DO 时,∠DMO = ∠DOM = $\frac{1}{2}$(180° - ∠D) =75°,
∴ α = ∠DOM =75°;
③如图3,当 OM = OD 时,∠OMD = ∠D =30°,
∴ α = ∠DOM =120°,不合题意,
这种情形不存在.
综上所述,当△DOM 是等腰三角形时,旋转角 α 的度数为30°或75°.
【答案】
旋转角α的度数为30°或75°
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合旋转考查等腰三角形的性质，解题时要对等腰三角形腰的所有可能情况进行分类讨论，同时注意结合旋转角的取值范围筛选答案，避免出现多余解。
【难度系数】
0.55
【分析】
本题是等腰三角形分割类问题，解题时先明确△ABC为等腰三角形且A是顶角顶点，因此AB=AC，∠B=∠C。要使AD分割得到的两个三角形都是等腰三角形，需分两类情况讨论：①两个小三角形均以AD为腰；②一个小三角形以AD为腰，另一个以AC为腰。设∠B=∠C=x，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
不妨设点 D 在 BC 上.
∵ △ABC 是等腰三角形,A 是顶点,
∴ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C. 设 ∠B = ∠C =x. 分两种情况:
①当 BD = AD,CD = AD 时,如图1.
∵ BD = AD,CD = AD,
∴ ∠BAD = ∠B =x,∠CAD = ∠C =x,
∴ 4x =180°,解得 x =45°,
∴ ∠BAC =2x =45°×2 =90°.
②当 AD = BD,AC = CD 时,如图2.
∵ AD = BD,AC = CD,
∴ ∠BAD = ∠B =x,∠CAD = $\frac{1}{2}$(180° -x),
∵ ∠CAD + ∠BAD = ∠BAC,
∴ $\frac{1}{2}$(180° -x) +x =180° -2x,解得 x =36°,
∴ ∠BAC =180° -2x =180° -2×36° =108°.
综上所述,∠BAC 的度数为90°或108°.
【答案】
∠BAC的度数为90°或108°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形等边对等角的性质，解题的关键是根据分割后两个三角形均为等腰三角形的要求合理分类，结合三角形内角和建立方程求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
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第7题
【分析】
本题结合旋转背景考查等腰三角形的分类讨论，首先根据旋转的性质可得∠D=∠B=30°，旋转角α=∠BAD。△DOM为等腰三角形时，需分三种情况讨论：DM=OM、DM=DO、OM=OD，分别利用等腰三角形等边对等角的性质计算∠DOM的度数，再结合旋转角的范围0°＜α＜100°排除不符合条件的解即可。
【解析】
由旋转的性质,得 ∠D = ∠B =30°. 分情况讨论如下:
①如图1,当 DM = OM 时,∠MOD = ∠D =30°.
∴ α = ∠MOD =30°;
②如图2,当 DM = DO 时,∠DMO = ∠DOM = $\frac{1}{2}$(180° - ∠D) =75°,
∴ α = ∠DOM =75°;
③如图3,当 OM = OD 时,∠OMD = ∠D =30°,
∴ α = ∠DOM =120°,不合题意,
这种情形不存在.
综上所述,当△DOM 是等腰三角形时,旋转角 α 的度数为30°或75°.
【答案】
旋转角α的度数为30°或75°
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合旋转考查等腰三角形的性质，解题时要对等腰三角形腰的所有可能情况进行分类讨论，同时注意结合旋转角的取值范围筛选答案，避免出现多余解。
【难度系数】
0.55
