12. 定义:若一个四边形中相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为“勾股四边形”。如图,将$△ ABC$绕顶点$B$按顺时针方向旋转$60°$,得到$△ DBE$,连接$AD,DC,CE$,已知$∠ DCB=30°$。
(1)求证:$△ BCE$是等边三角形;
(2)求证:$DC^2+BC^2=AC^2$,即四边形$ABCD$是“勾股四边形”。

证明：
(1) 由旋转的性质可知：$△ ABC ≌ △ DBE$，
$\therefore BC=BE$，
又由题意得旋转角$∠ CBE=60°$，
$\therefore △ BCE$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，
$\therefore △ BCE$是等边三角形。
(2) 由(1)得$△ BCE$是等边三角形，
$\therefore BC=CE$，$∠ BCE=60°$，
已知$∠ DCB=30°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ DCB + ∠ BCE = 30° + 60° = 90°$，
$\therefore △ DCE$是直角三角形，
由勾股定理得：$DC^2 + CE^2 = DE^2$，
由旋转的性质得$AC=DE$，结合$CE=BC$代入上式，可得：
$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$满足“勾股四边形”的定义，即四边形$ABCD$是“勾股四边形”。

13. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$DE$是过点$A$的直线，$BD⊥ DE$于点$D$，$CE⊥ DE$于点$E$。
(1)如图1，若点$B$，$C$在$DE$的同侧，且$AD=CE$，求证：$AB⊥ AC$。
(2)如图2，若点$B$，$C$在$DE$的两侧，且$AD=CE$，其他条件不变，$AB$与$AC$仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由。

(1) 证明：
∵ $BD⊥ DE$，$CE⊥ DE$，
∴ $∠ ADB = ∠ CEA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\AD = CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CAE$（HL）。
∴ $∠ BAD = ∠ ACE$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ BAC = 180° - (∠ BAD + ∠ CAE) = 90°$，
即 $AB⊥ AC$。
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(2) 解：$AB$与$AC$仍垂直，证明如下：
∵ $BD⊥ DE$，$CE⊥ DE$，
∴ $∠ ADB = ∠ CEA = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\AD = CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CAE$（HL）。
∴ $∠ BAD = ∠ ACE$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ CAE$中，$∠ ACE + ∠ CAE = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAE = 90°$。
又∵ 点$A$在直线$DE$上，$∠ DAE = 180°$，即$∠ CAE + ∠ BAC + ∠ BAD = 180°$，
∴ $∠ BAC = 180° - (∠ BAD + ∠ CAE) = 90°$，
即 $AB⊥ AC$。

14. 我们知道“在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半”是真命题。小明同学提出疑问：这个命题的逆命题是真命题还是假命题？
(1)写出原命题的逆命题：。
(2)如图 1，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$BC=\frac{1}{2}AB$。求证：$∠ BAC=30°$。
(3)拓展运用：如图 2，某货轮由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方向是北偏东 $x°$，又继续航行8海里后，在 B 处测得小岛 P 的方向是北偏东 $y°$，此时小岛 P 到 B 处的距离为8海里，到航线 AB 的距离为4海里，求 x 和 y 的值。

(1)
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30°$。
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(2) 证明：
延长$BC$到点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore AC⊥ BD$，$∠ ACD=90°$。
在$△ ACB$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AC=AC \\∠ ACB=∠ ACD \\BC=CD\end{cases}$
$\therefore △ ACB≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=AD$。
$\because BC=\frac{1}{2}AB$，$BD=BC+CD=2BC$，
$\therefore BD=AB$，
$\therefore AB=AD=BD$，即$△ ABD$是等边三角形，
$\therefore ∠ B=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ B=30°$。
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(3) 解：
过点$P$作$PH⊥ AB$于点$H$，由题意得$PH=4$海里，$PB=8$海里，$AB=8$海里。
在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$PH=\frac{1}{2}PB$，由(2)的结论可得$∠ PBH=30°$。
$\because AB=PB=8$海里，
$\therefore △ ABP$是等腰三角形，$∠ PAB=∠ APB$。
$\because ∠ PBH$是$△ ABP$的外角，
$\therefore ∠ PBH=∠ PAB+∠ APB=2∠ PAB=30°$，
$\therefore ∠ PAB=15°$。
$\because A$处的正北方向与航线$AB$垂直，
$\therefore x° + ∠ PAB=90°$，解得$x=75$。
$\because B$处的正北方向与航线$AB$垂直，
$\therefore y° + ∠ PBH=90°$，解得$y=60$。
答：$x$的值为$75$，$y$的值为$60$。