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7. 如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，连接 PA，PB，PC，PA:PB:PC=3:4:5，以 AC 为边作$△ AP'C ≌ △ APB$，连接 $PP'$，则有以下结论：
①$△ APP'$是等边三角形；②$△ PCP'$是直角三角形；③$∠ APB=150°$；
④$∠ APC=105°$。其中一定正确的是（填序号）。
①$△ APP'$是等边三角形；②$△ PCP'$是直角三角形；③$∠ APB=150°$；
④$∠ APC=105°$。其中一定正确的是（填序号）。
答案
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
∵ △AP'C ≌ △APB，
∴ AP=AP'，∠P'AC=∠PAB，P'C=PB。
∴ ∠PAP' = ∠PAC + ∠P'AC = ∠PAC + ∠PAB = ∠BAC = 60°，
∴ 有一个内角为60°的等腰△APP'是等边三角形，结论①正确。
设PA=3k，PB=4k，PC=5k（k＞0），
由△APP'是等边三角形得PP'=PA=3k，
又P'C=PB=4k，
∴ $PP'^2 + P'C^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 25k^2 = (5k)^2 = PC^2$，
由勾股定理逆定理可得△PCP'是直角三角形，且∠PP'C=90°，结论②正确。
∵ △AP'C ≌ △APB，
∴ ∠APB = ∠AP'C，
又△APP'是等边三角形，故∠AP'P=60°，
∴ ∠AP'C = ∠AP'P + ∠PP'C = 60° + 90° = 150°，
即∠APB=150°，结论③正确。
在Rt△PCP'中，PP'=3k，PC=5k，可得∠P'PC≠45°，
∴ ∠APC = ∠APP' + ∠P'PC = 60° + ∠P'PC ≠ 105°，结论④错误。
综上，一定正确的是①②③。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°。
∵ △AP'C ≌ △APB，
∴ AP=AP'，∠P'AC=∠PAB，P'C=PB。
∴ ∠PAP' = ∠PAC + ∠P'AC = ∠PAC + ∠PAB = ∠BAC = 60°，
∴ 有一个内角为60°的等腰△APP'是等边三角形，结论①正确。
设PA=3k，PB=4k，PC=5k（k＞0），
由△APP'是等边三角形得PP'=PA=3k，
又P'C=PB=4k，
∴ $PP'^2 + P'C^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 25k^2 = (5k)^2 = PC^2$，
由勾股定理逆定理可得△PCP'是直角三角形，且∠PP'C=90°，结论②正确。
∵ △AP'C ≌ △APB，
∴ ∠APB = ∠AP'C，
又△APP'是等边三角形，故∠AP'P=60°，
∴ ∠AP'C = ∠AP'P + ∠PP'C = 60° + 90° = 150°，
即∠APB=150°，结论③正确。
在Rt△PCP'中，PP'=3k，PC=5k，可得∠P'PC≠45°，
∴ ∠APC = ∠APP' + ∠P'PC = 60° + ∠P'PC ≠ 105°，结论④错误。
综上，一定正确的是①②③。
8. 用反证法证明：$△ ABC$中至少有两个角是锐角。
答案
证明：
假设△ABC中至多有一个锐角，即△ABC中锐角的个数小于2，其余内角都大于或等于90°。
若△ABC中没有锐角，三个内角均≥90°，则三个内角的和≥270°，这与三角形内角和为180°矛盾；
若△ABC中仅有一个锐角，剩余两个内角都≥90°，此时三个内角的和＞90°+90°=180°，这也与三角形内角和为180°矛盾。
因此假设不成立，所以△ABC中至少有两个角是锐角。
假设△ABC中至多有一个锐角，即△ABC中锐角的个数小于2，其余内角都大于或等于90°。
若△ABC中没有锐角，三个内角均≥90°，则三个内角的和≥270°，这与三角形内角和为180°矛盾；
若△ABC中仅有一个锐角，剩余两个内角都≥90°，此时三个内角的和＞90°+90°=180°，这也与三角形内角和为180°矛盾。
因此假设不成立，所以△ABC中至少有两个角是锐角。
9.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△CAP和△CBQ都是等边三角形,BQ和CP交于点H,求证:BH=QH。
答案
证明：
过点Q作QM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP，交CP的延长线于点N。
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCN = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°。
在Rt△BNC中，∠BNC = 90°，∠BCN = 30°，
∴ BN = $\frac{1}{2}$BC。
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ CQ = CB，∠BCQ = 60°。
∴ ∠QCM = ∠BCQ - ∠BCN = 60° - 30° = 30°。
在Rt△QMC中，∠QMC = 90°，∠QCM = 30°，
∴ QM = $\frac{1}{2}$CQ。
又∵ CQ = CB，
∴ QM = BN。
在△QHM和△BHN中：
$\{\begin{array}{l}∠QMH = ∠BNH = 90° \\∠QHM = ∠BHN \\QM = BN\end{array} $
∴ △QHM ≌ △BHN（AAS）。
∴ BH = QH。
过点Q作QM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP，交CP的延长线于点N。
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCN = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°。
在Rt△BNC中，∠BNC = 90°，∠BCN = 30°，
∴ BN = $\frac{1}{2}$BC。
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ CQ = CB，∠BCQ = 60°。
∴ ∠QCM = ∠BCQ - ∠BCN = 60° - 30° = 30°。
在Rt△QMC中，∠QMC = 90°，∠QCM = 30°，
∴ QM = $\frac{1}{2}$CQ。
又∵ CQ = CB，
∴ QM = BN。
在△QHM和△BHN中：
$\{\begin{array}{l}∠QMH = ∠BNH = 90° \\∠QHM = ∠BHN \\QM = BN\end{array} $
∴ △QHM ≌ △BHN（AAS）。
∴ BH = QH。
10.已知:如图,AB=AC,AE⊥BE于点E,且BE=BD=DC。求证:∠BAE=∠BAD=∠DAC。
答案
证明：
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD⊥BC，即∠ADB=90°（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合）。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠E=90°，即∠E=∠ADB=90°。
在Rt△AEB和Rt△ADB中，
$\{\begin{array}{l}AB=AB \\BE=BD\end{array} $
∴ Rt△AEB ≌ Rt△ADB（HL），
∴ ∠BAE=∠BAD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\BD=DC \\AD=AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS），
∴ ∠BAD=∠DAC。
∴ ∠BAE=∠BAD=∠DAC。
∵ AB=AC，BD=DC，
∴ AD⊥BC，即∠ADB=90°（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合）。
∵ AE⊥BE，
∴ ∠E=90°，即∠E=∠ADB=90°。
在Rt△AEB和Rt△ADB中，
$\{\begin{array}{l}AB=AB \\BE=BD\end{array} $
∴ Rt△AEB ≌ Rt△ADB（HL），
∴ ∠BAE=∠BAD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\BD=DC \\AD=AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS），
∴ ∠BAD=∠DAC。
∴ ∠BAE=∠BAD=∠DAC。
11.如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，AE//BF，CE//DF。
(1)求证:△ACE≌△BDF；
(2)若AB=8，AC=2，求CD的长。
(1)求证:△ACE≌△BDF；
(2)若AB=8，AC=2，求CD的长。
答案
(1) 证明：
∵ $AE// BF$，
∴ $∠ A = ∠ B$。
∵ $CE// DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ BDF$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ B \\∠ ACE = ∠ BDF \\AE = BF\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（AAS）。
(2) 解：
∵ $△ ACE ≌ △ BDF$，
∴ $BD = AC = 2$。
∵ $AB = 8$，
∴ $CD = AB - AC - BD = 8 - 2 - 2 = 4$。
∵ $AE// BF$，
∴ $∠ A = ∠ B$。
∵ $CE// DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ BDF$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ B \\∠ ACE = ∠ BDF \\AE = BF\end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（AAS）。
(2) 解：
∵ $△ ACE ≌ △ BDF$，
∴ $BD = AC = 2$。
∵ $AB = 8$，
∴ $CD = AB - AC - BD = 8 - 2 - 2 = 4$。
